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1.2.1-1.2.2基本初等函数的导数公式


一、复习
1.导数的几何意义: 曲线在某点处的切线的斜率;
物理意义: 物体在某一时刻的瞬时度。
(瞬时速度或瞬时加速度)

2、由定义求导数(三步法) 步骤:

(1) 求增量 ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x );
?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ( 2)

算比值 ? ; ?x ?x

?y (3) 当?x ? 0, ? f ?( x) ?x

3.导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到, f’(x0) 是一个确定的数. 那么, 当x变化时, f’(x)便是 x的

一个函数, 我们叫它为f(x)的导函数.即:

?y f (x ? ?x) ? f (x) f ? ( x ) ? y ? ? lim ? lim ?x? 0 ? x ?x? 0 ?x
在不致发生混淆时,导函数也简称为导数.

函数 y ? f ( x )在点 x0处的导数 f ?( x0 ) 等于导函数 f ?( x )在点 x0处的函数值.

二、几种常见函数的导数
1) y ? f ( x) ? C 2) y ? f ( x) ? x, 3) y ? f ( x) ? x ,
2

y' ? 0 y ' ?1
y ' ? 2x 1 y' ? ? 2 x 1
y' ? 2 x

1 4) y ? f ( x) ? , x 5) y ? f ( x) ? x

三、基本初等函数的导数公式

公式6:

(sin x)? ? cos x

公式7:

(cos x)? ? ? sin x

公式8:指数函数的导数

(1) (a )? ? a ln a(a ? 0, a ? 1).
x x

(2)

(e )? ? e .
x x

公式9:对数函数的导数

1 (1) (log a x)? ? (a ? 0, a ? 1). x ln a 1 (2) (ln x)? ? . x

注意:关于a x 和x a 是两个不同 的函数,例如:

(1)(3 )? ? 3 ln a
x

x

(2)(x )? ? 3 x
3

2

总结:今后可以直接使用的基本导数公式

公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x , 则f '( x) ? nx
n n ?1

;

公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a (a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

例1:求下列函数的导数

(1) y ? x

?5

(2) y ? x x x
3

例2: (1)已知y ? x , 求f ?(2).
1 (2)已知y ? 2 , 求f ?(3). x

例3.求下列函数的导数

(1) y ? 4
例4:

x

(2) y ? log x
3

假设某国家在20年期间的年通货膨胀 率为5﹪,物价p(单位:元)与时间t(单 t 位:年)有函数关系 p ? t ? ? p0 ?1 ? 5% ? ,其 中 p0 为t=0时的物价.假定某商品的 p0 ? 1 那么在第10个年头,这种商品的价格上涨 的速度的大约是多少(精确到0.01)?0

? 1 , 1:求曲线y=cosx上点P处( ) 3 2
的切线的直线方程.
? ?
f ( x) ? cos x,? f ?( x) ? ? sin x, 3 ? f ?( ) ? ? sin ? ? . 3 3 2 ? 1

切线问题

3 故曲线在点P( , )处的切线斜率为? , 3 2 2 1 3 ? ? 所求的直线方程为 y? ?? ( x ? ), 2 2 3 3? 即 3x ? 2 y ? 1 ? ? 0. 3

2:已知曲线 行且距离等于 10 ,求直线m的方程.

y?

1 x 3在点P(1,1)处的切线与直线m平

1 1 ?3 ?4 ? ? ? 解:y ? 3 , y ? ( 3 ) ? ( x ) ? ?3 x ; x x ?曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k ? y? | x ?1 ? ?3,
从而切线方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1),即3 x ? y ? 4 ? 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b ? (?4) | 32 ? 1 ? 10 ?| b ? 4 |? 10,? b ? 6或b ? ?14;

故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.


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