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2.2.6切变变换


几种常见的平面变换 -----切变变换

? F
S

? F
S

? F

? F

一块矩形材料,当它的两个侧面受到与侧面平 行的大小相等方向相反的力作用时,形状就要 发生改变,如图,这种形式的形变叫切变。

问题情境

副码好的纸牌,现将它的左边与一把直尺对 齐,保持直尺底端右下角和最下面一张纸牌不动, 用直尺轻轻推动纸牌,使得纸牌的形状变换为如图2 所示的模样,问纸牌被推动的前后存在什么变化规 律吗?

图2 图1

问题情境
问题1:仔细观察,你发现了什么? 问题2:你能将问题数学化吗?

图3

图4

解决问题
矩阵
?1 k ? ?0 1 ? 把平面上的点P(x, y)沿x轴方向 ? ?

平移|ky|个单位: 当ky>0时,沿x轴正方向移动; 当ky<0时,沿x轴负方向移动; 当ky=0时,原地不动. 在此变换作用下,图形在x轴上的点是不动点。

建构数学
?1 k ? ? 确定的变换通常叫做切变变换, 像由矩阵 ? 0 1 ? ?

对应的矩阵叫做切变变换矩阵。

数学探究
如图所示,已知矩形ABCD在变换T的作用 下变成图形A’B’C’D’,试求变换T对应的矩阵M。

说明:
?1 0? ? k 1 ? 对应的变换是沿y轴方向的切变变换, ? ?

对于原图形中的任意一点,横坐标保持不变, 而纵坐标依横坐标的比例增加,它把平面上 的点沿y轴方向平移|kx|个单位: 当kx>0时,沿y轴正方向移动; 当kx<0时,沿y轴负方向移动; 当kx=0时,原地不动, 在此变换作用下,y轴上的点为不动点。

数学运用
例1.已知矩形的顶点A(-2,1),B(-2,-1),C(1,-1),D(1,1)

?1 2 ? ⑴求矩形ABCD在矩阵 ? 作用下变换得到的几何 ? ?0 1 ? 图形。
EXCEL

?1 0 ? ⑴求矩形ABCD在矩阵 ? 作用下变换得到的几何 ? ?2 1? 图形。

数学运用
例2、对于一个平面图形来说,在切变变换前 后,它的几何性质(如线段长度、角度、周 长、面积)有变化吗?试以例1(1)为例加以 说明。

课堂练习
?1 1? ?作用下变换得到的 1.考虑直线x+y=2在矩阵? 0 1 ? ?

几何图形。

2. 求把△ABC 变换成 △A’B’C’的变换矩阵, 其中A(-2,1)、B(0,1)、C(0,-1) 、A’(-2,-3)、 B’(0,1)、C’(0,-1).

课堂小结
1.切变变换与切变变换矩阵的概念。
?1 k ? ?0 1 ? 2. ? ?

是沿x轴方向的切变变换,x轴上 的点是不动点。
?1 0? ? k 1 ? 是沿y轴方向的切变变换,y轴上的 3. ? ?

点是不动点。

4.切变变换保持图形面积不变。

课后作业 完成创新课时卷


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