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导数小题专练三


导数小题专练三 - 1.[2014· 全国卷] 曲线 y=xex 1 在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.e C.2 D.1 2.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.[2014· 湖北卷] 若函数 f(x),g(x)满足?1 f(x)g(x)dx

=0,则称 f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函

?2x3+3x2+1(x≤0), ? 13.若函数 f(x)=? ax 在[-2,2]上的最大值为 2,则 a 的取值范围是 ? ?e (x>0)

( 1 ? ? 1 ? A.? ?2ln 2,+∞? B.?0,2ln 2? C.(-∞,0] 1 ? D.? ?-∞,2ln 2?

)

?- 1

1 1 数,给出三组函数:①f(x)=sin x,g(x)=cos x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为 2 2 区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2π 4.[2014· 湖南卷] 已知函数 f(x)=sin(x-φ),且∫ 0f(x)dx=0,则函数 f(x)的图像的一条对称轴是 3 5π π π 7π A.x= B.x= C.x= D.x= 6 12 3 6 5.[2014· 江西卷] 若 f(x)=x2+2?1f(x)dx,则?1f(x)dx=(

14. 【安徽省六校教育研究会 2014 届高三素质测试数学(理) 】 e, ? 分别是自然对数的底和圆周率,则下 列不等式不成立的是 ( A log? e ? ? log e ? ? ? 2
2

) B log?

e ? loge ? ? 1 C ee ? e ? e? ? ?

D

?e ? ? ?

3

? 4 ? e3 ? ? 3 ?

(

?0

?0

)

sin x sin x1 sin x2 15 . 若 函 数 f(x) = x , 且 0<x1<x2<1 , 设 a = ,b= ,则 a,b 的大小关系是 x1 x2 ) A.a>b B.a<b C.a=b D.a、b 的大小不能确定

A.-1 B.-

1 1 C. D.1 3 3 ) 2 C. 2 D. 4 )A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
0

16. 【福建省宁德一中、罗源一中、尚德中学 2013 届高三下学期第二次联考数学试题(理) 】函数 f ( x ) 具 有下列特征: f (0) ? 1, f ?(0) ? 0,

6.[2014· 山东卷] 直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A. 2 2 B. 4 7.[2014· 陕西卷] 定积分?1(2x+ex)dx 的值为( ?

f ?( x) ? 0, x ? f ??( x) ? 0 ,则 f ( x) 的图形可以是下图中的( x2



8.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数 a,b,若 a<b,则必 有 A.af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a) 17. 【安徽省望江四中 2014 届高三上学期第一次月考数学 (理) 】 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2(a ? 0) 有
3 2

9.(2014· 昆明调研)若曲线 f(x)=acos x 与曲线 g(x)=x2+bx+1 在交点(0,m)处有公切线,则 a+b= A.-1 B.0 C.1 D.2

3 10(2014· 浙江省名校联考)设函数 ht(x)=3tx-2t2,若有且仅有一个正实数 x0,使得 h7(x0)≥ht(x0)对任意的 正数 t 都成立,则 x0= A.5 B. 5 C.3 D. 7

且仅有两个不同的零点 x1 , x2 ,则( A.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 C.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0

) B.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 D.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0

11.做一个圆柱形锅炉,容积为 V,两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元,侧面的材料每单位面积 的价格为 b 元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为 a A. b a2 B. b b C. a b2 D. a

18. 【安徽省阜阳一中 2013——2014 学年高三第一次月考数学试题 (理) 】 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4) =1,f′(x)为函数 f(x)的导函数.已知函数 y=f′(x)的图象如图所示,两个正数 a、b 满足 f(2a+b)<1, 则 b+2 的取值范围是( ) a+2 1 1 1 (A)( , ) (B)(-∞, )∪(3,+∞) 3 2 2

12.(2014· 东北三省三校联考)当 a>0 时,函数 f(x)=(x2-2ax)ex 的图象大致是

1 (C)( ,3) 2

(D)(-∞,-3)

导数小题专练三 1.C 2.D 3.C [解析] 由题意,要满足 f(x),g(x)是区间[-1,1]上的正交函数,即需满足?1

?- 1

f(x)g(x)dx=0. 1 1 1 1 - cos x?1 ①?1 f(x)g(x)dx=?1 sin xcos xdx= ?1 sinxdx=? ? 2 ?-1=0,故第①组是区间[-1,1]上的正 2 2 2? ? ?
-1 -1 -1

交函数; x3 4 -x?1 ②?1 f(x)g(x)dx=?1 (x+1)(x-1)dx=? -1=- ≠0,故第②组不是区间[-1,1]上的正交函数; 3 ? ? 3 ? ? x41 ③? f(x)g(x)dx=? x·x dx= -1=0,故第③组是区间[-1,1]上的正交函数. 4 ? ?
1 1 2
-1 -1 -1 -1

综上,是区间[-1,1]上的正交函数的组数是 2. 故选 C. 4.A 5.B 6.D 7.C 8A [∵xf′(x)≤-f(x),f(x)≥0, xf′(x)-f(x) -2f(x) f(x) f(x)? ∴? ≤ ≤0.则函数 在(0,+∞)上是单调递减的, x x2 x2 ? x ?′= f(a) f(b) 由于 0<a<b,则 ≥ .即 af(b)≤bf(a).]9C a b [依题意得,f′(x)=-asin x,g′(x)=2x+b,

于是有 f′(0)=g′(0),即-asin 0=2×0+b,b=0,m=f(0)=g(0),即 m=a=1,因此 a+b=1,选 C.] 10D [∵h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数 t 都成立,∴h7(x0)≥ht(x0)max. 15A 16.

3 1 记 g(t)=ht(x0)=3tx0-2t2,则 g′(t)=3x0-3t2,令 g′(t)=0,得 t=x2 0,
3 3 易得 ht(x0)max=g(x2 0)=x0,∴21x0-14 7≥x0,将选项代入检验可知选 D.]

11.C

[如图,设圆柱的底面半径为 R,高为 h,

V 则 V=πR2h.设造价为 y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb· = πR2 2πaR2+ 12B 2bV 2bV 2R b ,∴y′=4πaR- 2 .令 y′=0,得 = .] R h a R

[利用导数研究函数的单调性、极值等函数性质.

由 f(x)=0 且 a>0 得函数有两个零点 0,2a,排除 A 和 C; 又因为 f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+(2-2a)x-2a]ex, 有 Δ=(2-2a)2+8a>0 恒成立, 所以 f′(x) =0 有两个不等根,即原函数有两个极值点,排除 D,故选 B.] 13D [当 x≤0 时,f′(x)=6x2+6x,易知函数 f(x)在(-∞,0]上的极大值点是 ln 2 在(0, x 17.

x=-1,且 f(-1)=2,故只要在(0,2]上,eax≤2 即可,即 ax≤ln 2 在(0,2]上恒成立,即 a≤ 1 2]上恒成立,故 a≤ ln 2.] 2 14.

. 18.


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