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学院附中高二理数学假期模拟卷(四)


学院附中高二理数学假期模拟卷(四)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 集合 P ? ?x ∈R |0 ≤x ?3 ? , M ? x ∈R x2 ≤ 9 ,则 P A.{1,2} B.{0,1,2}

?

?

M=

r />
C.?x 0 ≤ x ? 3?

D.?x 0 ≤ x ≤ 3?

2. 已知 a,b 是实数,则“a2>b2”是“a>|b|”的 A.充分必要条件 C.必要不充分条件 3. 给定下列四个命题 ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一条直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是 A.①② B.②③ C.③④ D.②④ B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 , 则

1 4 ? 的最小值为 m n 3 2
B.

A.

5 3

C.

9 4

D.不存在

5. 设抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为 ? 3 ,那么|PF|= A. 4 3 B.8 C. 8 3 D.16

?x ≥1 ? 6. 设不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ≥0 ,所表示的平面区域是?1,平面区域?1 与?2 关于直线 ?y≥ x ?
3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称。对于?1 中的任意点 A 与?2 中的任意点 B,|AB|的最小值等于

1

28 12 B.4 C. 5 5 7. 已知向量 a,b 满足|a+2b|≤1, 则 a· b 的最大值是
A. A. 1 B.

D.2

1 2

C.

1 4

D.

1 8

8.已知函数 f(x)=2x2+bx+c(b,c∈R)的定义域是[0,2],记|f(x)|的最大值是 M,则 M 的最小值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题.(本题共有 7 小题,其中第 9 题每空 2 分,第 10、11、12 题每空 3 分,第 13、14、15 题每空 4 分,共 36 分)
?? ?1 9. 设函数 f ( x) ? 2cos ? x ? ? ,则函数的最小正周期为 ▲ ,值域为 ▲ ,单调递增区 6? ?2

间为





10.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆,则该几何 体的体积为 ▲ ,表面积为 ▲ . ▲ . . .
第 10 题图

? x 2 ? 2 x, x ≥ 0, ? 11.已知函数 f(x)= ? 2 若 f(x)=3,则 x= ? ? x ? 2 x, x ? 0.
若 f(?a)+f(a)≤2f(1),则实数 a 的取值范围是 12. 设函数 f(x)=logax 过点(2,1),则 a= ▲ 13.已知 F1、 F2 是双曲线 ▲

, f(2)+f(4)+f(8)+?+ f(2n)= ▲

x2 y 2 以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2, ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点, a 2 b2
▲ .

若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是

14.已知 A,B 是圆 O:x2+y2=1 上的两个点,P 是 AB 线段上的动点,当△AOB 的面积最大时,则

AO ? AP ? AP 的最大值是

2





| y| ≤ 2} , B ? {( x, y) | ( x ? 6)2 ? y 2 ≤ 4} ,则 15.已知 A ? {( x, y)|| x| ?

x ? x2 y ? y2 ? ? C ? ?( x, y ) | x ? 1 ,y? 1 ,( x1 , y1 ) ∈ A,( x2 , y2 ) ∈ B ? 所表示区域的面积是 ▲ . 2 2 ? ?

2

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 15 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,若 sinA:sinB:sinC=5:6:7. (Ⅰ)求 cosA 的值;
?? ? (Ⅱ)求 sin ? 2 A ? ? 的值. 4? ?

17. (本题满分 15 分) 如图,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 △PAD 为正三角形,E、F 分别为 PC、BD 的中点. (Ⅰ)求证: EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值; (Ⅲ)求二面角 A?PD?B 的余弦值.
A D F B P E C

3

18. (本题满分 15 分) 设 f(x)=x2?2a|x?a|,a∈R. (Ⅰ)若函数 f(x)为偶函数,求实数 a 的值; (Ⅱ)求 f(x)的最小值.

4

19. (本题满分 15 分) 已知椭圆 E 的两个焦点分别为 F1(?1,0)和 F2(1,0),离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 l:y=x+m(m≠0)与椭圆 E 交于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 Q, 当 m 变化时,求△QAB 面积的最大值.
2 . 2

5

20. (本题满分 14 分)
a2 1 (n ∈ N ? ). 已知数列{an}满足: a1 ? , an ?1 ? an ? n 3 n2

(Ⅰ)证明:对一切 n ∈ N? 有 an ? an ?1 ; (Ⅱ)证明:当 n≥2 时,

4n ?1 n ?1 ? an ? . 9n n

6


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