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抽象函数专题研究


抽象函数专题研究
抽象函数,即为给解析式的函数。 对于此类型的问题,应注意多从函数的奇偶性,单调性出发。 思想方法:数形结合,赋值法等。 做题时应该多猜想,多尝试,也就是数学中我们常说的,大胆猜测,小心求证。 【归纳拓展】 抽象函数在高中数学中常常考查,解决的方法一般是赋值法,如果能知道与抽象 函数相对应的具体函数, 在解题中可以起到事半功倍的效果。常见的抽象函数形 式

有如下几种: 抽象函数 (1) f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) (2) f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) (3) f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) (4) f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 具体函数模型 正比例函数 f ( x) ? kx(k ? 0) 指数函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 ) 对数函数 y ? log a x ( a ? 0 且 a ? 1 )
a 幂函数 y ? x

★与单调性,奇偶性相关的题目 (1)已知偶函数 f ( x) 在区间 [0, ??) 上单增,则满足 f (2 x ? 1) < f ( 1 ) 的 x 的取值 3 范围是 A.

(1 , 2) 3 3

B. [ 3 ,

1

2 3

)

C. ( 1 , 2 ) 2 3

2 D. [ 1 , 3 ) 2

(2) 定义在 R 上的偶函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且在区间 [?1, 0] 上为增函 数,则 A. f (3) ? f ( 2) ? f (2) C. f (3) ? f (2) ? f ( 2) B. f (2) ? f (3) ? f ( 2) D. f ( 2) ? f (3) ? f (2)

(3)若 f ( x) 在 [?5,5] 上是奇函数,在区间 [0,5] 上是单调函数,且 f (3) ? f (1) ,

则判断 f (?1), f (?3), f (0), f (1), f (?5) 的大小

(4)已知 f ( x) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,且 f ( x) 单减 ①求函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域 ②若 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? 0 ,求 x 的取值范围

★利用赋值法解决的相关问题 (1)已知函数 f ( x) ,当 x, y ? R 时恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ①求 f (0) ②证 f ( x) 为奇函数

? x (2)若 f ( x) 满足 2 f ( x ) f 1( ?)

3 x ,

求① f ( 1 , f ( 2 ) )

② f ( x) 的解析式

(3) 已知 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 且 f ( 1 ) ? 1 , 若对于 0<x<y 2

都有 f ( x) ? f ( y) ①求 f (1) ②解不等式 f (? x) ? f ( 3? x )? 2

(4)已知定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 x, y ? R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且 x>0 时, f ( x) ? 0 , f (1) ? ?2 求① f (?1) ②判断 f ( x) 的奇偶性, 并证明你的结论 ③求 f ( x) 在区间 [?3,3] 上的最值

(6) 已知函数 f ( x) 的定义域 (?2, 2) , f ( x) ? 0 , 且对任意实数啊, ? (?2, 2) 均 a,b 满足 f (a ? b) ? f (a ? b) ? 2 f (a) f (b) ①求 f (0) 的值 ②判断 f ( x) 的奇偶性并说明理由 ③当 x ? (?2,0) 时, f ( x) 为增函数,若 f (1 ? m) ? f (m) 成立,求 m 的取值范围


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