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两角差的余弦公式.ppt


3.1.1 两角差的余弦公式

温故知新
1.设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P M

y
?

(cos ? , sin ? ) . P(x,y),用α 角表示P点的坐标是______
2.已知 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 它

们的夹角 ?,则a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 a ? b cos ? _______=_______. 3.求下列三角函数的值.
O

x

第1题

cos 30? ? cos 15? ?

, sin 45? ? , cos 75? ?

新知探究
问题1:

cos15 ? cos(45 ? 30 ) ? cos 45 ? cos30
cos75 ? cos(45 ? 30 ) ? cos45 ? cos30 成立吗?
? ? ? ? ?

问题2: 对任意角α、β, cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ?

cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? 一定成立吗?

在单位圆O上 作角: ?AOX=?
OA ? ? cos ? ,sin ? ?

?BOX=?
A
?

y

A (cos? ,sin?) B(cos? ,sin?)
OB ? ? cos ? ,sin ? ?

αβ
O

B

C

D x

OA ? OB ? OA ? OB cos ?

OA ? OB ? ? cos ? ,sin ? ? ? ? cos ? ,sin ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

所以

cos ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
上述推导是否有不严谨的地方?

y
当α-β为任意角时,由诱导公式,总可以找到
一个角?∈[0,2?),使cos?=cos(α -β) A

? αβ
O

B

①若?∈[0,?),
则OA·OB=cos?=cos(α -β ) ②若?∈[?,2?), 则2?-? ∈(0,?] 则OA·OB=cos(2?-?)=cos(α -β )

x

y

又因为 OA ? OB ? cos? cos? ? sin ? sin ?
于是,对于任意角α ,β都有

? α
O

B β

2?-?

x

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
称为差角的余弦公式。简记为 C(? ?? )

A

两角和的余弦公式推导:
cos(? ? ? ) ? cos(? ? (? ? )) ? cos? cos(? ? ) ? sin ? sin(? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

公式:

C(? ? ? ) : cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
C(? ? ? ) : cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

问题1

利用差角余弦公式求cos15°的值.
方法一: cos15? ? cos(45? ? 30?)

解:

? cos 45? cos 30? ? sin 45? sin 30?
? 2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2 6? 4 2

方法二:

cos15 ? cos(60 ? 45 )
? cos 60 cos 45 ? sin 60 sin 45
? 1 2 3 2 ? ? ? 2 2 2 2

?

2? 6 4

变式训练: 求sin75°的值.

问题2

求cos6°cos36°+ cos84°sin36°的值.

解:原式= cos 6 cos 36 ? sin 6 sin 36
? cos(6 ? 36 )

求 cos(A+B)cosB +sin(A+B)sinB的值.

问题3

解:
3 ?4? cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5?
2
2

12 ? 5? 2 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 13 ? 13 ?
5 ? 4 ? 12 ? 33 ? 3? ? ? ?? ???? ? ? ??? ??? 65 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 13 ?

课堂小结
1. cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? 是错误的.

2.利用单位圆上向量的知识来证明两角差余弦公式.
3.两角和余弦公式的推导. 4.两角和与差的余弦公式.

作业:
1. P 140 练习2,4 2.补充题
3 ? ? 已知 cos ? ? ? ,? ? ( , ? ), 求 sin(? ? )的值. 5 2 3

探究二
第一步: 寻找角

做锐角?、?,且? ? ?
y
P1

β P
?

O

x

第二步: 找线
根据三角函数线的知识:

y

PM ? X 轴

cos(? ? ? ) ? OM

A

P1 C P x

作PA ? OP , AB ? X 轴得: 1

cos(? ? ? ) ? OM ? OB ? BM
PC ? AB

?

β

? OA cos ? ? BM ? OA cos ? ? CP ? OA cos ? ? AP sin ?PAB

O B M

?PAC ? ?OAB ? 90

?? ? ?OAB ? 90 ? ?? ? ?PAB

? OA cos ? ? AP sin ? ? OP cos ? cos ? ? OP sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

结论:
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

思考:以上结果为 ?、?、? ? ?
均为锐角,且 ? ? 的情况下得到 的,此式是否对任意角都成立呢?


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