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2011中考数学复习专题-动点问题2


动 点 问 题 探 究
——中考复习专题

2012年中考数学专题复习---动点问题
最后一题并不可怕,更要有信心!
图形中的点、线运动,构成了数学中的一个新问题---动态几何。它通常分为三种类型:动点问题、动线问题、 动形问题。在解这类问题时,要充分发挥空间想象的能力, 不要被“动”所迷惑,而是要在“动”中求“静”,化 “动”

为“静”,抓住它运动中的某一瞬间,寻找确定的 关系式,就能找到解决问题的途径。 本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问 题。

----动点问题。

1、如图:已知 ABCD中,AB=7,BC=4, ∠A=30°(1)点P从点A沿AB边向点B运动, 速度为1cm/s。 若设运动时间为t(s),连接PC,当t为何值时, △PBC为等腰三角形?
D C

若△PBC为等腰三角形 则PB=BC

A

30°

4

P
7

B

∴7-t=4
∴t=3

如图:已知

ABCD中,AB=7,BC=4,∠A=30°

(2)若点P从点A沿 射线 AB运动,速度仍是1cm/s。
当t为何值时,△PBC为等腰三角形?
D C

P
A

4
B

7

小组合作交流讨论

1、如图:已知 ABCD中,AB=7,BC=4,∠A=30° (2)若点P从点A沿射线AB运动,速度仍是1cm/s。 当t为何值时,△PBC为等腰三角形?
D C
D C

P
A

4
B
A

4
7
B

7

P

D

当BP=BC时 (钝角)
C

当BP=BC时 (锐角)
D C

4
30°
A

E

4
P

7

B

2 3

E

当CB=CP时

探究动点关键:化动为静,分类讨论,关注全过程


P

A

7

B

当PB=PC时

1.如图:已知

ABCD中,AB=7,BC=4,∠A=30°

(3)当t>7时,是否存在某一时刻t,使得线段 DP将线段BC三等分? 解决动点问题 D C 的好助手:
E
A B

P

数形结合定相似 比例线段构方程

D

C

E
A B

P

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm

点P由点A出发,沿AC向C匀速运动,速度为2cm/s 同时点Q由AB中点D出发,沿DB向B匀速运动, 速度为1cm/s, 连接PQ,若设运动时间为t(s) (0<t ≤ (1)当t为何值时,PQ∥BC?
A

D

P

Q
B C

(1)当t为何值时,PQ∥BC?

若PQ∥BC
A

则△ AQP~△ABC
? AQ AB ? AP AC

D

Q
B

P
C

?

5 ? t 10

?

2t 6

? t ?

15 7

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm, BC=8cm, 点P由点A出发,沿AC向C运动,速度为2cm/s,同时 点Q由AB中点D出发,沿DB向B运动,速度为1cm/s, 连接PQ,若设运动时间为t(s) (0<t ≤3)

(2)设△ APQ的面积为y( 的函数关系。
A

cm

2

),求y与t之间
A

M D

P Q
C B

D ∟

P
N
C

Q
B

三 相

2.(2)
D

A

∵△AQN∽ △ABC
? QN BC ? AQ AB

P
∟ N
C

Q
B

?

QN 8

?

5 ? t 10
4 5

? QN

? 4 ?

t

相似法

4 ? ? ? y ? ? 2t ? ? 4 ? t? 2 5 ? ? 1 ? y ? 4 5 t
2

? 4t

2.(2)
D

A

在 Rt ? ABC 中, ? C ? 90 ?
? SinA ? 8 10

P
N
C

Q
B

?

QN AQ

?

8 10

三角函数法
? y ? ? y ? 1 4 5
2

4 ? ? ? 2t ? ? 4 ? t? 2 5 ? ? t ? 4t



?

QN 5 ? t

?

8 10

? QN

? 4 ?

4 5

t

2.(3)是否存在某一时刻t,使△ APQ的面积 与△ ABC的面积比为7︰15?若存在,求 出相应的t的值;不存在说明理由。
A

S ? ABC
? S

?

1 2
y

? 8 ? 6 ? 24
? 7 15

D

P

Q
B C

? ABC

?

4 5

t

2

? 4t ?

7 15

? 24

计算要仔细

? t ? 5 t ? 14 ? 0
2

? ( t ? 7 )( t ? 2 ) ? 0
? t ? ? 7 ( 舍去), t ? 2

∴当t=2时, △ APQ的面积与△ ABC的面积比为7︰15

2.(4)连接DP,得到△QDP,那么是否存在 某一时刻t,使得点D在线段QP的中垂线上? 若存在,求出相应的t的值;若不存在,说明 理由。 证明:若点D在线段PQ的中垂线上
∟G

∴DQ=DP
? DQ
2

? DP
2

2

?t

2

? 4 ? ( 2 t ? 3)
2

2

? 3 t ? 12 t ? 25 ? 0
∵ △ = —156<0 ∴方程无解。 即点D都不可能在线段QP的中垂线 上。

小结:
1、比例
2、平行
A

积累就是知识

3、求面积
A

D

C
D D

M

P

Q
B

P
C
B

Q
C

A

B

思 路

化动为静

分类讨论 数形结合

构建函数模型、方程模型

.1、如图,已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC ,∠B=90°, AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A开始沿AD边向点D,以1cm/秒的 速度运动,动点Q从点C开始沿CB向点B以3厘米/秒的速度运动, P、Q分别从点A点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点 也随之停止运动,设运动时间为t秒,求: 1)t为何值时,四边形PQCD为平行四边形 2) t为何值时,等腰梯形?
1t

3t

1)解: ∵AD∥BC,∴只要QC=PD,则四边形PQCD为 平行四边形, ∵CQ=3t,AP=t ∴3t=24-t ∴t=6,∴当t=6秒时,四边形PQCD为平行四边 形

2)解:
由题意,只要PQ=CD,PD≠QC,则四边形PQCD为等腰梯形

过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F, 则EF=PD,QE=FC=2
? 2 ? 1 2 [ 3 t ? ( 24 ? t )]

∴t=7,∴当t=7秒时,四边形PQCD为等腰梯形。



E F



小结:

积累就是知识

动点问题 动点题是近年来中考的的一个热点问题, 解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态 问题来解。一般方法:首先根据题意理清题目中两个变量 X、Y及相关常量。第二找关系式。把相关的量用一个自 变量的表达式表达出来,再解出。第三,确定自变量范 围,画相应的图象。 必要时,多作出几个符合条件的草图也是解决问题 的好办法。
收获一:化动为静
收获二:分类讨论

收获三:数形结合
收获四:构建函数模型、方程模型

谢 谢! 请各位老师批评指正!

3、(2009中考)如图在边长为2cm的正方 形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为 对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则 △ PBQ 周长的最小值是-----cm (结果不取 近似值)
A D
P

B

Q

C


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