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数值分析2014年复习题部分答案


1.

求 一 个 次 数 不 高 于

4

次 的 多 项 式 .

, 使 它 满 足

解法一(待定参数法) 满足 式为

的 Hermite 插值多项



,令



>于是 解法二(带重节点的 Newton 插值法) 建立如下差商表

这样可以写出 Newton 插值公式

3. 设 计算各节点间中点处

,在 与

上取

,按等距节点求分段线性插值函数



的值,并估计误差.

解 步长 值函数



.在区间

上的线性插

分段线性插值函数定义如下

, 各区间中点的函数值及插值函数值如表所示

估计误差:在区间









的驻点

,于是

故有结论

, 右端与 无关,于是有 ,

4. 设 证明 以 和

且 为插值节点建立

.求证: 的不超过一次的插值多项式

应用插值余项公式有

8. 求函数 式.

在指定区间上关于

的最佳平方逼近多项

解 对

做线性变换

,即

利用勒让德正交多项式

为基建立

的一次最佳平方逼近多项式

的最佳平方逼近为

10. 计算积分

,若复化梯形公式,问区间

应分多少等份才能使截断误差不

超过

?若改用复化辛普森公式,要达到同样精确度,区间应分多少等份?

解 由于

,故对复化梯形公式,要求



。取

,即将区间

分为 213 等份时,用复化梯形

公式计算,截断误差不超过 用复化辛普森公式,要求





。取

,即将区间等分为 8 等份时,复化辛普森公式可达

精度



12. 已知

。 上的插值型求积公式;

(1)推导以这 3 个点作为求积节点在 (2)指明求积公式所具有的代数精确度; (3)用所求公式计算 。 解 (1)过这 3 个点的插值多项式

故 其中

故所求的插值型求积公式为

( 2 )上述求积公式是由二次插值函数积分而来,故至少具有 2 次代数精确度。再将 代入上述求积公式,有

故上述求积公式具有 3 次代数精确度。

(3)

由于该求积公式具有 3 次代数精确度,从而



的精确度。

13. 确定 量高,并指明求积公式所具有的代数精确度。 解 令 ,代入公式两端并令其相等,得

中的待定参数,使其代数精确度尽

解得



,得

令 精确度。

,得

故求积公式具有 3 次代数

17. 用追赶法求解如下的三对角方程组

解 设有分解

由公式

其中

分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素,故有

从而有

















18. 设 的充要条件。 解 雅可比法的迭代矩阵

,求解方程组

,求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛



故雅可比法收敛的充要条件是 高斯-赛德尔法的迭代矩阵





故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是 19. 设求解方程组 证:若 证明 由于 的雅可比迭代格式为

。 ,其中 ,求

,则相应的高斯-赛德尔法收敛。 是雅可比法的迭代矩阵,故



,故





,故

故系数矩阵 A 按

行严格对角占优,从而高斯-赛德尔法收敛。

23. 对于迭代函数 (1) 当 (2) 为何值时, 取何值时收敛最快?

,试讨论: 产生的序列 收敛于 ;

(3) 分别取 解 (1)

计算

的不动点

,要求 ,

,根据定理 7.3,当

亦即

时迭代收敛。

(2)由定理 7.4 知,当 收敛最快。

,即

时迭代至少是二阶收敛的,

(3)分别取

,并取

,迭代计算结果如表 7-4 所示。

0 1 6 12 13

1.2 1.48 1.413369586 1.414209303 1.414215327

0 1 2 3 4

1.2 1.397989899 1.414120505 1.414213559 1.414213562

此时都达到

。事实上,

24. 设 以 解

,试确定函数 为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。 要求 三阶收敛到 于是由 的根



,使求解



, 根 据 定 理 7.4 , 应 有



故取 即迭代至少三阶收敛。


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