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暑假高中数学赛前培训经典例题分析(1)


暑假高中数学赛前培训经典例题分析(1) 姓名 一、准确填空: 1、在 4×7 的方格纸板上面有如阴影所示的“6”字,阴影边缘是线段或圆弧.问阴 影面积占纸板面积的几分之几? 答:19/28. 理由:矩形纸板共 28 个小正方格,.其中弧线都是 非阴影部分 共 6 个, 1 圆周, 4 也共六个, 可拼成 6 个小正方格. 因此阴影部分共 28-6-3=19 个小正方格.(图 6-15) 所以,阴影面积占纸板面积的 19/28. 图 6-15 2、 如图是一座立交桥俯视图.中心部分路面宽 20 米, AB=CD=100 米.阴影部分为四 个四分之一圆形草坪(图 6-16).现有甲、 乙两车分别图 6-16 在 A, D 两处按箭头方向 行驶.甲车速 56 千米/小时,乙车速 50 千米/小时.问甲车要追上乙车至少需要 分钟?(圆周率取 3.1) 答:2.62 分钟. 理由: 依交通规则, 甲车行进路线为 A→B→C→D(其中 →表示沿弧线行进),因而两车初始相距 1 100 ? 20 200+ ? ? =200+3.1×20=262(米) 2 2 现甲车每小时比乙车多行 6 千米,所以每分钟甲车可追 6000 及乙车 =100 米.所以 60 262÷100=2.62(分) 即甲车至少需要经过 2.62 分钟才能追及乙车. 二、谨慎推理: 3、如图 6-17 中正六边形 ABCDEF 的面积是 54. AP=2PF, CQ=2BQ,求阴影四边形 CEPQ 的面积. 答:31 理由:如图 7-17a,将正六边形 ABCDEF 等分为 54 个小正三角形.根据平行四边形对 图 6-17 角线平分平行四边形面积.采用数小三角形的办法来计算面积. 1 图 6-16 △PEF 面积=3 △CDE 面积=9 四边形 ABQP 面积=11. 上述三块面积之和为 3+9+11=23.因此,阴影四边 形 CEPQ 面积为 54-23=31. 4、轮船从武汉到九江要行驶 5 小时,从九江到武汉要行驶 7 小时,问一长江飘流队 员要从武汉乘木筏自然飘流到九江需要多少小时? 答:35 小时. 理由:轮船顺水速=静水船速+水速, 轮船逆水速=静水船速-水速 由于武汉到九江距离为定值,所以, (静水船速+水速)×5=(静水船速-水速)×7 这表明 12×水速=2×静水船速, 即 6×水速=静水船速,也就是, 轮船以 7×水速的 速度 5 小时可从武汉到九江.所以, 木筏以 1 个水速的速度要 35 小时可从武汉(自然 飘流)到九江. 三、急中生智: 5、你能在 3×3 的方格表中每个格子里都填一个自然数,使得每行、每列及两条对 角线上的三数之和都等于 1997 吗?若能,请填出一例,若不能,请说明理由. 答:不能. 理由:若能填入九个自然数 a1 , a2 , a3 ,?, a8 , a9 满足题设条件,则 a1 ? a5 ? a9 ? 1997, a2 ? a5 ? a8 ? 1997, a3 ? a5 ? a7 ? 1997, a4 ? a5 ? a6 ? 1997 a1 a4 a7 a2 a5 a8 a3 a6 a9 上面四个等式相加得, ?a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? ? 3a5 ? 4 ?1997. 而 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 3 ?1997, 所以 3a5 ? 1997, a5 ? 1997 ,与 a5 是自然数矛盾。


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