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人教版高二数学选修1-1 第一章《常用逻辑用语》教案2(有答案)


选修 1-1 第一章《常用逻辑用语》
§1.2.2 充要条件
【知识要点】
? ? p 是q 的充分条件同时p 又是q 的必要条件则称p 是q 的充要条件. 充要性的证明注意分清充分性及必要性进行证明.

【例题精讲】 【例 1】设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条
件,那么( ) B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 丙,即丙是甲的充分不必要条件.分析2:画图观察之.答:选A.

A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 C.丙是甲的充要条件 分析 1:由丙 乙 甲且乙

点评:抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便

【例 2】设有非空集合 A、B、C,若“a∈A”的充要条件是“a∈B 且a∈C ”,则“a∈B”是“a∈A”的
( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案: 选 B B.必要条件 D.既不充分也不必要条件

【例 3】ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是(
A.0<a≤1 B.a<1 C.a≤1

) D.0<a≤1 或 a<0

【例 4】设α,β 是方程 x2-ax+b=0 的两个实根,试分析a>2 且b>1 是两根α,β 均大于1 的什
么条件?

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【基础达标】
1.不等式 A. C. 2. p 是q 的充要条件的是( ) 的解集为R 的充要条件是( B. D. )

A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5 B.p:a>2,b<2,q:a>b C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形 D.p:a≠0,q:关于x 的方程ax=1 有惟一解 3.设A、B、C 三个集合,为使A A.充分条件 C.充要条件 (B∪C),条件A B 是( )

B.必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.x∈R,|x|(1+x)是正数的充分必要条件是( A.|x|<1 C.x<-1 B.x<1

D.x>-1 且 x≠0

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5.三个实数a、b、c 不全为零的充要条件是( A.a、b、c 都不是零 C.a、b、c 中只有一个是零 6.p:x-4=0,q:

) B.a、b、c 中至多有一个是零 D.a、b、c 中至少有一个不是零

,则p 是q 的

. .

7.在平面直角坐标系中,点(x2+5x,1-x2)在第一象限的充要条件是 1~5:BDADD 6.充分不必要条件 7.0<x<1

【能力提高】
8.求证:关于x 的方程 有一个根为1 的充要条件是 .

9.已知

,求证

的充要条件是



10.集合 值范围.

,若“a=1”是“

”的充分条件,求 b 的取

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§1.3.1 简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”
【知识要点】
? 如果用 p,q,r,s??表示命题,则复合命题的形式接触过的有以下三种: p 或q p 且q 非p ? 常见词语的否定 记作 p ? q 记作 p ? q 记作 ? p 当且仅当p、q 同为假时为假 当且仅当p、q 同为真时为真 与 p 的真假性相反

【例题精讲】 【例 1】命题“方程
A.没有使用联结词 C.使用了联结词“非” 答案:B 说明:常见的表示是用“或”还是“非”,要根据实际情况定,比如“x=1,y=2.则 x+y=3 成立” 中的 x=1,y=2 所用的联结词为且. 的解为 ”,使用逻辑联结词的情况是( B.使用了联结词“或” D.使用了联结词“且” )

【例 2】分别写出由下列各种命题构成的“p 或q”“p 且q”“非p”形式的复合命题:
1.p:李明是高中一年级学生 2.p: q:李明是共青团员 q: 是无理数

【例 3】命题“非空集合A∩B 中的元素既是A 中的元素也是B 中元素”是
命题“非空集合A∪B 中的元素是A 的元素或是B 的元素”是 分析:x∈A∩B 则x∈A 且x∈B,填p 且q. 答:填p 且q;p 或q. 形式.

形式;

x∈A∪B 则x∈A 或x∈B.填p 或q.

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【例 4】命题 ①梯形不是平行四边形;②等腰三角形的底角相等;③有两个内角互补的四边形是梯
形或圆内接四边形或是平行四边形;④60 是5 或2 的公倍数, 其中复合命题有( A.①③④ B.③④ C.③ D.①③ )

分析:②是简单命题,其余的均为复合命题.选A.

【例 5】分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题,并指出复合命题的真假.
(1)8 或6 是30 的约数; (2)矩形的对角线垂直平分; (3)方程x2-2x+3=0 没有实数根.

分析:分清形式结构,判断简单命题真假,利用真值表再判断原复合命题真假. 解:(1)p 或q; p:8 是30 的约数(假),q:6 是30 的约数(真).“p 或q”为真. (2)p 且q; p:矩形的对角线互相垂直(假),q:矩形的对角线互相平分(真).“p 且q”为假. (3)非p;p:x2-2x+3=0 有实根(假). 非p 为真. 点评:将简易逻辑知识负载在其它知识之上.

【基础达标】
1.命题“方程x2-4=0 的解是x=± 2”中,使用的逻辑联结词的情况是( A.没有使用联结词 C.使用了逻辑联结词“且” 2.以下判断正确的是( ) B.使用了逻辑联结词“或” D.使用了逻辑联结词“非” )

A.若p 是真命题,则“p 且q”一定是真命题 B.命题“p 且q”是真命题,则命题p 一定是真命题 C.命题“p 且q”是假命题时,则命题p 一定是假命题 D.命题p 是假命题时,则命题“p 且q”不一定是假命题 3.如果命题“p 或 q”与命题“非p”都是真命题,那么( A.命题p 不一定是假命题 C.命题q 不一定是真命题 )

B.命题q 一定是真命题 D.命题p 与命题q 的真值相同 ) D.p 假q 真

4.若 p、q 是两个简单命题,且“p 或q”的否定是真命题,则必有( A.p 真q 真 B.p 假q 假 C.p 真q 假 )

5.如果命题“p 或q”是真命题,那么( A.命题p 与命题q 都是真命题

B.命题p 与命题q 的真值是相同的,即同真同假 C.命题p 与命题q 中只有一个是真命题
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D.命题p 与命题q 中至少有一个是真命题 6.下列命题中: (1) 1 ? 1 ; (2)集合 是 的子集;

(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等. 其中为真命题的序号依次为 7.有下列四个命题: (1)40 能被3 或5 整除; (3)对任意实数x,均有x+1>x; 其中假命题为 1~5:BBBBD _ 6.①② (2)不存在实数x,使x2+x+1<0; (4)方程x2-2x+3=0 有两个不等的实根; .(只填序号) 7. (4) .

【能力提高】
8.分别指出下列各组命题构成的“p 或 q”、“p 且 q”、“非 p”形式的复合命题的真假. (1)p: 3 是无理数, q: 3 是实数; 解:(1)p 或q:真;p 且q:真;非p:假. (2)p:4>6, q:4+6≠10. (2)p 或q:假;p 且q:假;非p:真.

9.已知命题p、q,写出“p 或q”、“p 且q”、“非p”并判断真假. (1)p:2 是偶数, (2)p:0 的倒数还是0, q:2 是质数; q:0 的相反数还是0. p 且q:2 是偶数且是质数,真命题

(1) p 或q:2 是偶数或质数,真命题 非 p:2 不是偶数,假命题.

(2)p 或q:0 的倒数还是0 或0 的相反数还是0,真命题. p 且q:0 的倒数还是0 且0 的相反数还是 0,假命题. 非p:0 的倒数不是0,真命题. 10.写出命题“5>2 且 4>6”的否定,并判断其真假,由此分别讨论“p 或 q”、“p 且 q”的否定形 式.

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§1.4.1 全称量词与存在量词及其否定
【知识要点】
? 短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用“ ? ”表示.含有全称量词 的命题叫全称命题. ? 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用“ ? ”表示.含有存在量词 的命题叫特称命题. ?

【例题精讲】 【例 1】下列真命题的个数(


A.0 答案:D

B.1

C.2

D. 3

【例 2】下列命题中真命题的个数是(



(1)所有的素数是奇数;(2) ? x ∈R , ( x -1) 2+1 ? 1;(3)有的无理数的平方是无理数 A.0 答案:C B.1 C.2 D.3

【例 3】下列特称命题中假命题的个数是(



(1) ? x ∈R ,使 2 x 2+x +1=0;(2)存在两条相交直线垂直于同一个平面;(3) ? x∈R,x 2 ? 0 A.0 答案:C B.1 C.2 D.3

【例 4】下列全称命题的否命题中,假命题的个数是(



(1)所有能被 3 整除的数能被 6 整除;(2)所有实数的绝对值是正数;(3) ? x∈Z ,x2 的个位数不是 2 A.0 答案:B B.1 C.2 D.3

【例 5】命题: ? x ∈N , x 3 ? x 2 的否定是



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命题: ? x ∈R ,x 2-x+1> 0 的否定是

_.

【例 6】命题:“存在一个四边形,它的对角线互相垂直且平分”的否定是
答案:所有四边形的对角线互相垂直或平分.



【例 7】写出下列命题的否定.
(1)所有自然数的平方是正数; (3)对任意实数x,存在实数y,使x+y>0; 解: (1)存在自然数的平方是负数或0; (2)任何实数x 都是5x-12=0 的根; (4)有些质数是奇数. (2)存在实数x,它不是5x-12=0 的根; (4)任何质数都不是奇数.

(3)存在实数x,同时存在实数y,使x+y ? 0;

点评:简单全称命题及特称命题的否定,对于条件的否定仅否定全称量词及存在量词.

【基础达标】
1.下列命题为真命题的是( A.所有的质数都是奇数 C.实数的平方都是正数 2.下列命题中假命题的个数是( (1)有的梯形是等腰梯形; (3)每个正方形都是平行四边形; A.0 B.1 ) (2)有的菱形是正方形; (4)每个矩形都是正方形. C.3 D.4 ) ) B.有些三角形不是锐角三角形 D.存在一个三角形,它的内角和小于 180°

3.命题“原函数与反函数的图象关于直线y=x 对称”的否定是( A.原函数与反函数的图象关于直线y=-x 对称 B.原函数不与反函数的图象关于直线y=x 对称 C.存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y=x 对称 D.存在原函数与反函数的图象关于直线y=x 对称 4.命题“对任意的x∈R,x 3-x 2+1≤0 ”的否定是( A.不存在 x∈R,x 3-x 2+1≤0 C.存在 x∈R,x 3-x 2+1>0 5.已知命题p : ? x∈R ,sin x ≤1 ,则( A. ? p : ? x ∈R ,sin x ≥1 )

B.存在 x∈R,x 3-x 2+1≤0 D.对任意的 x∈R,x 3-x 2+1>0 ) B. ? p : ? x∈R ,sin x ≥1

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C. ? p : ? x ∈R ,sin x>1 6.命题“ 7.命题“ 1~5:BBCCC ”的否定为

D. ? p : ? x∈R ,sin x>1 . .

”的否定为

【能力提高】
8.用符号“ ? ”与“ ? ”表示下列含有量词的命题: (1)能被4 整除的整数能被2 整除; (2)任何大于2 的偶数可表示为两个素数之和; (3)有些数的平方小于0.

9.判断以下命题的真假: (1) ? x∈R,-x 2 +x-1<0;

①真; ②真; ③真; ④假

10.指出下列命题是特称命题还是全称命题,并写出其否命题,并判断否命题的真假. (1)直线与x 轴都有交点; (3)梯形的对角线相等; (2)正方形都是菱形; (4)存在一个三角形,它的内角和大于 180° 真命题 假命题 真命题 真命题

(1)全称命题:否命题为有些直线与 x 轴没有交点 (2)全称命题:否命题为有些正方形不是菱形 (3)全称命题:否命题为有些梯形对角线不相等 (4)特称命题:否命题为所有三角形内角和小于或等于 180 度

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《常用逻辑用语》全章复习
掌握四种命题,充要条件逻辑联结词“且”“或”“非”,全称量词与存在量词及其否定. 会 判断充要条件,并能证明.

【例题精讲】 【例 1】分别写出命题“若x2+y2=0,则x、y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题.

【例 2】“若 P={x |x|<1},则0∈P”的等价命题是



【例 3】
A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.既不充分也不必要条件

【基础达标】
1.命题“若A∪B=A,则A∩B=B”的否命题是( A.若A∪B≠A,则A∩B≠B C.若A∩B≠A,则A∪B≠B )

B.若A∩B=B,则A∪B=A D.若A∪B=B,则A∩B=A

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2.命题“若 a>b,则 ac2>bc2”(这里 a、b、c 都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真 命题的个数为( A.4 个 3.下列说法: (1)四种命题中真命题的个数一定是偶数. (2)若一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题一定是真命题. (3)逆命题与否命题之间是互为逆否的关系. (4)若一个命题的逆否命题是假命题,则它的逆命题与否命题都是假命题. 其中正确的有( A.1 个 )个. B.2 个 C.3 个 ) D.x<1 且 x≠-1 D.4 个 ) B.3 个 C.2 个 D.0 个

4.x∈R,(1-x)(1+x)是正数的充分必要条件是( A.-1<x<1 5.下列说法正确的是( B.x<1 )

C.x<-1

A.x≥3 是x>5 的充分而不必要条件 C.若 ? p ? ? q,则p 是q 的充分条件

B.x≠±1 是|x|≠1 的充要条件 D.一个四边形是矩形的充分条件是:它是平行四边形 条件. 的形式. 的形式. 7.p 或q; p 且q

6.集合 A={x|x>1},B={x|x<2};则“x∈A 或x∈B”是“x∈A∩B”的 7.命题“非空集A∪B 中的元素是A 中的元素或B 中的元素”是 命题“CI A 中的元素是I 中的元素但不是A 中的元素”是 1.A 2.C 3.C 4.D 5.B 6.必要非充分条件

【能力提高】
8.写出“ ? x ∈R,使得 ”的否命题.

9.写出“ ? x > 0 ,x2+x+2 ? 0”的否命题.

10.用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.

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