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含单存在量词的“有解”问题归类解析


2 0 1 3年 5月 1日  

理科 考试研 究 ? 数 学版 

含 单存 在 量词 的“ 有 解 "问题 归类 解 析 
安徽 省枞 阳层 会 宫 中学
新课 标 中 , 出现 了两 个 新 名 词 : 全称量词“ V”  

( z 4 6 7 4 0 )  

朱 贤 良 

与存 在 量词 “了” , 由它 们 构 成 的 “ 不等式恒成立 ”  
问题 及 “ 不等式 、 方程 有解 ”问题 常常在 知识交 汇 点 

之, 这极可能简化函数最值 的求解过程.   2 . 注意 函数 最值 不存 在 的情 况 
'  

处设 置 , 极易 与导数 等其 它数学 知识交 融在 一起 , 渗 
透 着 函数与方 程 、 化 归与 转化 、 分类讨 论及 数形结 合 

例2  j  ∈( 1 , 2 ) ,   _ L  一 l n x 一 口 ≥0 , 则实 数 
‘  

口的 取 值 范 围 是 .   .  

等 数学 思想 , 在高考 中极 为常见 . 本文 拟对 含单量 词  的“ 有 解 ”问 题 作 一 归 类 , 供 读 者 解 这 类 问 题 时  参 考.  


解 析  刍  ∈( 1 , 2 ) ,  
1  


l n x 一口 ≥ 0 

‘ 



“ 不等 式有解 ”问题 中参数 范 围的求 法 

々   j   ∈( 1 , 2 ) , 口 ≤{   一 l n x .  
?

1 . 当函数 最值 存在 时 , 直接 转化 或 分 离主 元 与 

参 数后 再转化 为 求函数 最值 问题 
1  



。   ∈( 1 , 2 )时 , ) , =  
● 

一l n x 递增 , 其值 域 为 

例1  j  ∈[ 1 , 2 ] , ÷ 一 l n x 一 口 ≥0 , 则实数  ( ÷, 2一l n 2 ) ,  
二 

口的 取 值 范 围是 一

 


? .

口 < 2一I n 2.  

思 路一  直接转 化 为 函数 最值 问题.  

总结  当函数  )的最 值 不 存 在 时 的 “ 不 等  式有 解 ”问题 可 以这样 解 决 :  
( 1 )当  ∈I 时, 函数  )的值 域为 ( m, n ) , 则 
j   ∈, , o<   )   口 <n ;  

题意等价于函 数) , = ÷ 一 l  一 口 ,  ∈[ 1 , 2 ]  
的最 大值 大于 或等于 0 .  

由导数知识得 ,  ∈[ 1 , 2 ] 时, Y=  

一 l n x一  

E, , 口≤   j   ∈, , 口>  
j   ∈, , 口≥  

)   口 <, l ;   )   口> m;  
) 车   口> , 7 1 .  

口 递增 , 其 最大值 为 2一l n 2—0 , 故 2一l n 2一口≥O  口  
≤ 2一l n 2.  

思 路二  分离 主元 与参数 , 再求 函数最 值  

( 2 )当  ∈ I时 ,函 数 
+∞) , 则 
了   ∈, , 口<  

)的值 域 为 ( m,  

j   ∈[ 1 , 2 ] ,   甘j   ∈[ 1 , 2 ] ,  
口 ≤  一l n x 

一l n  一口≥0  

) {   口 ∈ R;  

∈, , 口≤   ) 车   口 ∈R;  

( 3 )当  ∈ I时 , 函 数  )的 值 域 为 ( 一∞,  
n ) , 则  E, , 口>   )   a ∈R;  

口 ≤(   - L  一 l n x )  ,  ∈[ 1 , 2 ] .  
?

了   ∈, , 口≥  ) {   口E   R.  


。   ∈[ 1 , 2 ] 时, y=  

一l n x 递增 , 其最大值 

以上结论 , 读者不妨加 以验证.  
二、 “ 方 程有解 ”问题 中参数范 围 的求法 
1 . “ 方程 有 解”问题 的 两种转 化途 径 

为 2一I n 2 ,  
‘ .


口≤ 2一I n 2.  

总结  当函数  )在 区间 D 上 最 值存 在 时 ,  

例3   已知函数  )=e   一 2 x+口 有零点 , 则 
口的取值 范 围是一   思 路 一  直 接将 “ 方 程有 解 ”或“ 函数 有零 点 ”   转化 为 “ 函数 图象 与  轴 有 交 点 “ . 先利 用 导数 研 究  函数  )图象 号 陡质 :  

“j  E   D  

) >0 ( ≥0 ) ”的充 要 条件 是 “  ∈D  

时, , (  ) 一 > 0 ( ≥0 ) ” , “ j  E   D   )<0 ( ≤0 ) ”   的充要 条件是 “   ∈ D时  )   m<0 . ( ≤0 ) ” . 一般  地, 当不等式中主元与参数易于分离 时可考虑分离 

?

2?  

理科考 试研 究 ? 数 学版 

2 0 1 3年 5月 1日  

f   (  )= e  一2 =O =   戈 =I n 2,   列表 :  
( 一∞ , I n 2 )   f  (  )   , (  )   递减  l r   O   最小值  ( I n 2, +∞)   +   递增 

例5 ( 1 ) ( 2 0 0 7 湖北) 设 二 次 函数  茗 )=   +   似 +口 , 方程  髫 )一   =o的 两根  1 和 2 满足 0 <   l<  2< 1 , 求 实数 口的取值 范围.  

( 2 ) 函数厂 (   )=4  + m? 2   +1 有且仅有 个 
零点, 则 实数 m 的值 是   .  

由题知 , 函数, (   ) 图象 与 轴有交点 , 即有 
l n 2 )=2—2 l n 2+口≤ 0  
O≤ 2 1 n 2 —2.  

解 析  ( 1 )令 

g (  ) =   个 不等 实根.  
则 可得 
△ > 0。  
o < 

)一   =  2+( 口一1 ) 茹+口 ,  

题 意 即二 次方 程 g ( 茗 )=0 在 区间 ( O, 1 ) 上 有两 

思路二  将主元  与参数口 分离, 即得关于 的 
方程 2 x—e  =口有解 , 即得 函数  Y ,=2 x—e   与y 2  
=口的 图象 有交 点.   同思路一 , 可判 断 函数 Y  =2 x—e   在( 一∞ ,  

< 1,  

l n 2 )上递 增 , 在( 1 n 2 ,+∞ )上递 减 , 因而 其值 域 为 

( 一∞, 2 1 n 2— 2 ] . 要使两函数图象有交点 , 则口 的取 
值范 围就 是 函数 Y=2 x—e  的值域 , 即 口∈ ( 一∞ ,  

g ( 1 ) >0,   g ( 0 )> . 0  
吐 > 0’  


2 1 n 2— 2 ] .  
总结  “ 方程有 解 ” 问题 的求解 , 不论是 直 接转 

甘2 —1<口 < 1 ,  

化为 函数 图象 与  轴 相 交 , 还 是 分离 主元 与参 数 后 

n<3一 z / f , 或 口>3+z / f  
甘 0 < 口<3一  

再转 化为 两 函数 图象 相 交 , 其 实 质是 数 形 结合 思 想 
的应用. 明 白 了这 一 点 , 读 者 可 尝试 具 体 解 决 以下 
问题.  

( 2 )令 t=2   , 记g ( t )=   )=   +m ? t +1 ,   由题知 , 二次 方程 g ( t ) =t  +m ? t +1=0在 

例4 ( 1 )已知 函数 

区间( 0 . +∞) 上 有且仅 有一 解 , 符 合题 意 的情况有 
三种 :  

f ( x  =  
L (  一   1 、 ) , 。 ,  x   <   2   .  

① 若二次方程 g ( £ )=0   有 两个 相等 正根 , 则 


若关于 的方程  )=k 有两个不同的实根 ,  
则 实数 k的 取 值 范 围是 一 ( 答案: 0 <k <1 )    

△ = 0,  
> 0 

{ L  一
一  

=   m =一 2 ;   ’  

( 2 )已知 口 是 实数 , 函数  )=2 a x   +2  一3一  

② 若二 次方程 g ( t ) =0  
有一 正根一 零根 , 则 


口 . 如果 函数 Y=   ) 在 区间[ 一1 , 1 ] 上有 零 点 , 求0  
的 取 值 范 围.  

△ = 0,  

( 答案 : 题 意 即关于  的 方程 ( 2   一1 ) 口 =3—  

{ t l + t 2 >0 ,  m ∈  ;  
t 2: 0  

2 戈 在 区间 [ 一1 , 1 ]上有根 § 关于  的方程 0 =  

在 区 间 [ 一   , 一 譬 ) u ( 一 譬 , 譬 ) u ( 譬 , ? ]  
上 有 解 ? 数 形 结 合 的 思 想 , 函 数 Y 。 麦  ,   ∈  
参数 。的 取 值 范 围 , 从 而 口的 取 值 范 围是 (一 ∞ ,  
一  

③ 若二次方程 g ( t )=0  
有一 正根一 负根 , 则 
t 1?t 2 <0   巩 ∈  .  

综上, m =一2 .  

[ 一 l , 一 譬 ) u ( 一   , 譬 ) u ( 譬 ’ 1 ] 的 值 域 即 为  题 型 , 以上 “ 一元 二次 方程 有解 ”问题 一般 都 转化 为 



总 结  “ 三个 二次 ”问题 是 高考 中经典 与热 点 

元 二 次方程根 的分 布 ”问题 , 其解 决过 程 往往 要 

]U [ 1 ,+∞) .  
2 . “ 一元 二 次方程 有解”问题 

结合二次函数图象、 二次方程 根与系数 的关 系等相 
关知 识 , 具 有一定 的综 合性 与 灵活性 , 读 者 还可 以沿 
此思 路去求 解本 文 中例 4 ( 2 ) .  


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