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2012届高三数学一轮复习:导数及其应用


导数 第 3 章
一、选择题

第1节

1.(文)2010· 瑞安中学)函数 y=x2+1 在[1,1+Δx]上的平均变化率是( A.2 C.2+Δx [答案] C [解析]
2 2 Δy [?1+Δx? +1]-?1 +1? = =Δx+2. Δx Δx

)

B.2x D.

2+Δx2

(理)二次函数 y=f(x)的图象过原点,且它的导函数 y=f ′(x)的图象是过第一、二、三象 限的一条直线,则函数 y=f(x)的图象的顶点在( A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] 由题意可设 f(x)=ax2+bx,f ′(x)=2ax+b,由于 f ′(x)图象是过第一、二、三象 b b2 b b2 限的一条直线,故 2a>0,b>0,则 f(x)=a(x+ )2- ,顶点(- ,- )在第三象限,故选 2a 4a 2a 4a C. 2.(2010· 江西文,4)若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f ′(1)=2,则 f ′(-1)=( A.-1 C .2 [答案] B [解析] f ′(x)=4ax3+2bx, f ′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b), f ′(1)=4a+2b, ∴f ′(- 1)=-f ′(1)=-2 要善于观察,故选 B. [点评] 由 f ′(x)=4ax3+2bx 知,f ′(x)为奇函数, ∴f ′(-1)=-f ′(1)=-2. 3.(2010· 金华十校)曲线 y=x3 上一点 B 处的切线 l 交 x 轴于点 A,△OAB(O 是原点)是以 A 为顶点的等腰三角形,则切线 l 的倾斜角为( A.30° C.60° [答案] C [解析] 解法一:设 B(x0,x03),则 kOB=tan∠AOB=x02, ∵AB=AO,∴∠BAx=2∠BOA,曲线 y=x3 在 B 处切线斜率 kAB=3x02=tan∠BAx=tan2 B.45° D.120° ) B.-2 D.0 ) )

B.第二象限 D.第四象限

2x02 ∠BOA= , 1-x04 ∴x02= 3 ,∴kAB= 3,∴切线 l 倾斜角为 60° . 3

解法二:设 B(x0,x03),由于 y′=3x2,故曲线 l 的方程为 y-x03=3x02(x-x0),令 y=0 2x0 ? 2x0?2 3 2 ?2x0?2 ? 得点 A? ? 3 ,0?,由|OA|=|AB|得? 3 ? =?x0- 3 ? +(x0 -0) ,当 x0=0 时,题目中的三角形 1 3 不存在,故得 x04= ,故 x02= ,直线 l 的斜率 k=3x02= 3,故直线 l 的倾斜角为 60° . 3 3 4.已知 f(x)=logax(a>1)的导函数是 f ′(x),记 A=f ′(a),B=f(a+1)-f(a),C=f ′(a +1),则( ) B.A>C>B D.C>B>A

A.A>B>C C.B>A>C [答案] A

f?a+1?-f?a? [解析] 记 M(a,f(a)),N(a+1,f(a+1)),则由于 B=f(a+1)-f(a)= ,表示 ?a+1?-a 直线 MN 的斜率,A=f ′(a)表示函数 f(x)=logax 在点 M 处的切线斜率;C=f ′(a+1)表示函 数 f(x)=logax 在点 N 处的切线斜率.所以,A>B>C. π? 5.设函数 f(x)=sin? ?ωx+6?-1(ω>0)的导函数 f ′(x)的最大值为 3,则 f(x)图象的一条对 称轴方程是( π A.x= 9 π C.x= 3 [答案] A π? [解析] f ′(x)=ωcos? ?ωx+6?的最大值为 3, 即 ω=3, π? ∴f(x)=sin? ?3x+6?-1. π π π kπ 由 3x+ = +kπ 得,x= + (k∈Z). 6 2 9 3 故 A 正确. 6.(文)(2010· 深圳市九校)下图是函数 y=f(x)的导函数 f ′(x)的图象,则下面判断正确的 是( ) ) π B.x= 6 π D.x= 2

A.在区间(-2,1)上 f(x)是增函数 B.在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C.在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D.当 x=4 时,f(x)取极大值 [答案] C [解析] 由图象可知,在区间(4,5)上,f ′(x)>0, ∴f(x)在(4,5)上是增函数,故选 C. (理)(2010· 厦门三中,2011· 吉林省实验中学模拟)如图,函数 y=f(x)的图象在点 P(5,f(5)) 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+f ′(5)=( )

1 A. 2 C .2 [答案] C

B.1 D.0

[解析] 由条件知 f ′(5)=-1,又在点 P 处切线方程为 y-f(5)=-(x-5),∴y=-x+5 +f(5),即 y=-x+8,∴5+f(5)=8,∴f(5)=3,∴f(5)+f ′(5)=2. 7. (文)(2010· 广东汕头一中)函数 f(x)=e2x 的图象上的点到直线 2x-y-4=0 的距离的最小 值是( A. 3 3 2 C. 2 [答案] B [解析] 设 l 为与直线 2x-y-4=0 平行的函数 f(x)=e2x 的图象的切线,切点为(x0,y0), 则 kl=f ′(x0)=2e2x0=2, ∴x0=0, y0=1, ∴切点(0,1)到直线 2x-y-4=0 的距离 d= 即为所求. (理)(2010· 海南五校联考)点 P 是曲线 x2-y-2ln x=0 上任意一点,则点 P 到直线 4x+4y 5 = 5 5 ) B. 5 3 5 D. 5

+1=0 的最小距离是( A. C. 2 (1-ln2) 2 21 ( +ln2) 2 2

) B. 2 (1+ln2) 2

1 D. (1+ln2) 2

[答案] B [解析] 将直线 4x+4y+1=0 作平移后得直线 l: 4x+4y+b=0, 直线 l 与曲线切于点 P(x0, 1 1 1 y0), 由 x2-y-2ln x=0 得 y′=2x- , ∴直线 l 的斜率 k=2x0- =-1?x0= 或 x0=-1(舍 x x0 2 1 1 1 1 去),∴P( , +ln2),所求的最小距离即为点 P( , +ln2)到直线 4x+4y+1=0 的距离:d= 2 4 2 4 |2+?1+4ln2?+1| 2 = (1+ln2). 2 4 2 8.(文)(2010· 广东检测)设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,则( A.a<-1 1 C.a>- e [答案] A [解析] 由 y′=(ex+ax)′=ex+a=0 得,ex=-a, 即 x=ln(-a)>0?-a>1?a<-1. (理)若函数 f(x)=x3-3bx+b 在区间(0,1)内有极小值,则 b 的取值范围是( A.(-∞,1) C.(1,+∞) [答案] B [解析] 因为 f ′(x)=3x2-3b.令 f ′(x)=0,得 x=± b,易知 f(x)在(-∞,- b)和( b, +∞)上单调增,在(- b, b)上单调减,因此函数 f(x)在区间(0,1)内有极小值即 b∈(0,1), 所以 b∈(0,1). [点评] 函数和导数的复合问题能有效实现函数性质与导函数结构之间的相互转化,导函 数在分析函数的单调性及单调区间、极值和最值方面有较强的优势;同时导数也可以在解释 函数性质的基础上,解决诸如不等式的恒成立问题、实际问题的最优解问题、函数零点的判 定问题等等;因此,导数与函数性质的结合始终是高考命题的重点. π? 9.(文)(2010· 黑龙江省哈三中)已知 y=tanx,x∈? ?0,2?,当 y′=2 时,x 等于( π A. 3 π C. 4 [答案] C 2 B. π 3 π D. 6 ) B.(0,1) D.(-1,0) ) B.a>-1 1 D.a<- e )

sinx ? cos2x+sin2x 1 1 2 [解析] y′=(tanx)′=? ′ = = 2 =2,∴cos2x= ,∴cosx=± , ?cosx? cos2x cos x 2 2 π? π ∵x∈? ?0,2?,∴x=4. (理)(2010· 东北师大附中模拟)定义方程 f(x)=f ′(x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的“新驻 点”,若函数 g(x)=x,h(x)=ln(x+1),φ(x)=x3-1 的“新驻点”分别为 α,β,γ,则 α,β,γ 的大小关系为( A.α>β>γ C.γ>α>β [答案] C [解析] 由 g(x)=g′(x)得,x=1,∴α=1,由 h(x)=h′(x)得,ln(x+1)= +1<2,∴0<x<1,即 0<β<1, 由 φ(x)=φ′(x)得,x3-1=3x2,∴x2(x-3)=1, ∴x>3,故 γ>3,∴γ>α>β. [点评] 对于 ln(x+1)= 则 1 1 , 假如 0<x+1<1, 则 ln(x+1)<0, >1 矛盾; 假如 x+1≥2, x+1 x+1 1 ,故知 1<x x+1 ) B.β>α>γ D.β>γ>α

1 1 1 ≤ ,即 ln(x+1)≤ ,∴x+1≤ e,∴x≤ e-1 与 x≥1 矛盾. 2 2 x+1 10.(文)函数 f(x)=xcosx 的导函数 f ′(x)在区间[-π,π]上的图象大致为( )

[答案] A [解析] ∵f(x)=xcosx, ∴f ′(x)=cosx-xsinx, ∴f ′(-x)=f ′(x),∴f ′(x)为偶函数,排除 C; ∵f ′(0)=1,排除 D; π? π 由 f ′? ?2?=-2<0,f ′(2π)=1>0,排除 B,故选 A. (理)(2010· 胶州三中)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导函数 f ′(x)的部 分图象如图所示,则函数 f(x)的解析式为( )

1 π? A.f(x)=4sin? ?2x+4? 1 π? B.f(x)=2sin? ?2x+4? 1 3π? C.f(x)=2sin? ?2x+ 4 ? 1 3π? D.f(x)=4sin? ?2x+ 4 ? [答案] A π T 3π - ? [解析] f ′(x)=Aωcos(ωx+φ), 由 f ′(x)的图象知, Aω=2, 设周期为 T, 则 = -? 2 2 ? 2? =2π, 2π 1 ∴T= =4π,∴ω= ,∴A=4, ω 2 π ? π π π ?1 π ? ∵f ′(x)的图象过点? ?2,0?,∴2cos?2×2+φ?=0,∴4+φ=2+kπ,k∈Z,即 φ=4+kπ, k∈Z, π ∵0<φ<π,∴φ= .故选 A. 4 二、填空题 11.(文)若曲线 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 的坐标为 ________. [答案] (1,0) [解析] ∵f ′(x)=4x3-1,由题意 4x3-1=3, ∴x=1.故切点 P(1,0). (理)(2010· 广东实华梧州联考)已知曲线 y=x2-1 在 x=x0 处的切线与曲线 y=1-x3 在 x= x0 处的切线互相平行,则 x0 的值为________. 2 [答案] 0 或- 3 [解析] 由条件知, 2 2x0=-3x02,∴x0=0 或- . 3 12.(文)(2010· 湖北黄冈模拟)已知函数 f(x)的导数为 f ′(x),且满足 f(x)=3x2+2xf ′(2), 则 f ′(5)=________. [答案] 6 [解析] f ′(x)=6x+2f ′(2),令 x=2 得, f ′(2)=12+2f ′(2),∴f ′(2)=-12, ∴f(x)=3x2-24x,∴f ′(x)=6x-24,∴f ′(5)=6.

(理)(2010· 山东省实验中学模拟)若 f(x)在 R 上可导,f(x)=x2+2f ′(2)x+3,则?3f(x)dx=

?0

________. [答案] -18 [解析] ∵f(x)=x2+2f ′(2)x+3, ∴f ′(x)=2x+2f ′(2),∴f ′(2)=4+2f ′(2), ∴f ′(2)=-4,∴f(x)=x2-8x+3, 1 3 x -4x2+3x??03=-18. ∴?3f(x)dx= ? 3 ? ?? ?
0

[点评] 注意 f ′(2)是一个常数. 1 13.曲线 y=x3 在点(a,a3)(a≠0)处的切线与 x 轴,直线 x=a 所围成的三角形的面积为 , 6 则 a=________. [答案] ± 1 [解析] 因为 y ′=3x2,所以曲线在(a,a3)处切线斜率为 3a2, 切线方程为: y-a3=3a2(x-a)所围成三角形如右图所示的阴影部 分. 2 ? x=a 与 x 轴交于点 B(a,0); 设切线与 x 轴交于 A 点, 则 A? ?3a,0?; 设切线与 x=a 交于 M(a,a3), 2a 3 1 1 a- ? · S△ABM= ? 1. 3 ? a =6,得 a=± 2? 14.(文)已知 f(x)=x+lnx,g(x)=x3+x2-x(x>0),h(x)=ex-x,p(x)=cos2x,0<x<π 的导函 数 f ′(x),g′(x),h′(x),p′(x)的零点依次为 x1,x2,x3,x4,则将 x1,x2,x3,x4 按从小到 大用“<”连接起来为________. [答案] x1<x3<x2<x4 1 1 [解析] 由 f ′(x)=1+ =0 得 x=-1;由 g′(x)=3x2+2x-1=0 得 x=-1 或 x= , x 3 1 ∵x>0,∴x= ;由 h′(x)=ex-1=0 得,x=0; 3 kπ 由 p′(x)=-2sin2x=0 得,2x=kπ,k∈Z,∴x= , 2 π 1 π ∵0<x<π,∴x= ,∴x1=-1,x2= ,x3=0,x4= ,故有 x1<x3<x2<x4. 2 3 2 (理)设函数 f(x)=cos( 3x+φ)(0<φ<π),若 f(x)+f ′(x)为奇函数,则 φ=________. [答案] π 6

[解析] f ′(x)=- 3sin( 3x+φ),

由条件知 cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ) π π? π ? ? =2sin? ?6- 3x-φ?=-2sin? 3x+φ-6?为奇函数,且 0<φ<π,∴φ=6. 三、解答题 15.(文)(2010· 吉林市质检)定义在 R 上的函数 f(x)=ax3+bx2+cx+3 同时满足以下条件: ①f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,0)上是减函数; ②f(x)的导函数是偶函数; ③f(x)在 x=0 处的切线与第一、三象限的角平分线垂直. 求函数 y=f(x)的解析式. [解析] f ′(x)=3ax2+2bx+c, ∵f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,0)上是减函数, ∴f ′(-1)=3a-2b+c=0① 由 f(x)的导函数是偶函数得:b=0② 又 f(x)在 x=0 处的切线与第一、三象限的角平分线垂直, ∴f ′(0)=c=-1③ 1 由①②③得:a= ,b=0,c=-1, 3 1 即 f(x)= x3-x+3. 3 1-m+lnx (理)(2010· 湖南考试院调研)已知函数 f(x)= ,m∈R. x (1)求 f(x)的极值; (2)若 lnx-ax<0 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围. m-lnx [解析] (1)由导数运算法则知,f ′(x)= . x2 令 f ′(x)=0,得 x=em. 当 x∈(0,em)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增; 当 x∈(em,+∞)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减. 故当 x=em 时,f(x)有极大值,且极大值为 f(em)=e m.


lnx lnx (2)欲使 lnx-ax<0 在(0,+∞)上恒成立,只需 <a 在(0,+∞)上恒成立,等价于只需 x x 在(0,+∞)上的最大值小于 a. lnx 1 设 g(x)= (x>0),由(1)知,g(x)在 x=e 处取得极大值 . x e 1 1 ? 所以 a> ,即 a 的取值范围为? ?e,+∞?. e 16.(2010· 北京市延庆县模考)已知函数 f(x)=x3-(a+b)x2+abx,(0<a<b).

3π (1)若函数 f(x)在点(1,0)处的切线的倾斜角为 ,求 a,b 的值; 4 (2)在(1)的条件下,求 f(x)在区间[0,3]上的最值; (3)设 f(x)在 x=s 与 x=t 处取得极值,其中 s<t, 求证:0<s<a<t<b. 3π [解析] (1)f ′(x)=3x2-2(a+b)x+ab,tan =-1. 4
?f?1?=0 ?1-?a+b?+ab=0 ? ? 由条件得? ,即? , ?f ′?1?=-1 ?3-2?a+b?+ab=-1 ? ?

解得 a=1,b=2 或 a=2,b=1, 因为 a<b,所以 a=1,b=2. (2)由(1)知 f(x)=x3-3x2+2x,f ′(x)=3x2-6x+2, 令 f ′(x)=3x2-6x+2=0,解得 x1=1- 3 3 ,x2=1+ . 3 3

在区间[0,3]上,x,f ′(x),f(x)的变化情况如下表: x f ′(x) f(x) 0 0 (0,x1) + 递增 x1 0 2 3 9 (x1,x2) - 递减 - x2 0 2 3 9 (x2,3) + 递增 6 3

2 3 所以 f(x)max=6;f(x)min=- . 9 (3)证明:f ′(x)=3x2-2(a+b)x+ab, 依据题意知 s,t 为二次方程 f ′(x)=0 的两根. ∵f ′(0)=ab>0,f ′(a)=a2-ab=a(a-b)<0, f ′(b)=b2-ab=b(b-a)>0, ∴f ′(x)=0 在区间(0,a)与(a,b)内分别有一个根. ∵s<t,∴0<s<a<t<b. 1 17.(文)(2010· 北京东城区)已知函数 f(x)=ax2+blnx 在 x=1 处有极值 . 2 (1)求 a,b 的值; (2)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间. [解析] (1)因为函数 f(x)=ax2+blnx, b 所以 f ′(x)=2ax+ . x 1 又函数 f(x)在 x=1 处有极值 , 2

f ′?1?=0 2a+b=0 ? ? ? ? 所以? ,即? 1 , 1 ? ? ?f?1?=2 ?a=2 1 可得 a= ,b=-1. 2 1 (2)由(1)可知 f(x)= x2-lnx,其定义域是(0,+∞), 2 1 ?x+1??x-1? 且 f ′(x)=x- = . x x 当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:

所以函数 y=f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+∞). (理)(2010· 北京东城区)已知函数 f(x)=aln(x+1)+(x+1)2 在 x=1 处有极值. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)令 g(x)=f ′(x),若曲线 g(x)在(1,g(1))处的切线与两坐标轴分别交于 A、B 两点(O 为 坐标原点),求△AOB 的面积. [解析] (1)因为 f(x)=aln(x+1)+(x+1)2, a 所以 f ′(x)= +2x+2. x+1 a 由 f ′(1)=0,可得 +2+2=0,∴a=-8. 2 经检验 a=-8 时,函数 f(x)在 x=1 处取得极值, 所以 a=-8. (2)f(x)=-8ln(x+1)+(x+1)2, -8 2?x-1??x+3? f ′(x)= +2x+2= . x+1 x+1 而函数 f(x)的定义域为(-1,+∞), 当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:

由表可知,f(x)的单调减区间为(-1,1)单调增区间为(1,+∞).

-8 (3)由于 g(x)=f ′(x)= +2x+2, x+1 所以 g′(x)= 8 +2, ?x+1?2

当 x=1 时,g′(1)=4,g(1)=0. 所以切线斜率为 4,切点为(1,0), 所以切线方程为 y=4(x-1),即 4x-y-4=0. 令 x=0,得 y=-4,令 y=0,得 x=1. 1 所以△AOB 的面积 S= ×|-4|×1=2. 2

第3章
一、选择题

第2节

1.(文)函数 y=ax3-x 在 R 上是减函数,则( 1 A.a= 3 C.a=2 [答案] D [解析] y′=3ax2-1, ∵函数 y=ax3-x 在 R 上是减函数, ∴3ax2-1≤0 在 R 上恒成立,∴a≤0. B.a=1 D.a≤0

)

(理)(2010· 瑞安中学)若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调递增函数,则实数 m 的取 值范围是( ) 1? B.? ?-∞,3? 1? D.? ?-∞,3?

1 ? A.? ?3,+∞? 1 ? C.? ?3,+∞? [答案] C

1 [解析] f ′(x)=3x2+2x+m,由条件知,f ′(x)≥0 恒成立,∴Δ=4-12m≤0,∴m≥ , 3 故选 C. 2.(文)(2010· 柳州、 贵港、 钦州模拟)已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 切于点(1,3), 则 b 的值为( A.3 [答案] A ) B.-3 C.5 D.-5

[解析] 由条件知(1,3)在直线 y=kx+1 上,∴k=2. 又(1,3)在曲线 y=x3+ax+b 上,∴a+b=2, ∵y′=3x2+a,∴3+a=2,∴a=-1,∴b=3. (理)(2010· 山东滨州)已知 P 点在曲线 F:y=x3-x 上,且曲线 F 在点 P 处的切线与直线 x +2y=0 垂直,则点 P 的坐标为( A.(1,1) C.(-1,0)或(1,0) [答案] C [解析] ∵y′=(x3-x)′=3x2-1,又过 P 点的切线与直线 x+2y=0 垂直,∴y′=3x2 -1=2,∴x=± 1,又 P 点在曲线 F:y=x3-x 上,∴当 x=1 时,y=0,当 x=-1 时,y=0, ∴P 点的坐标为(-1,0)或(1,0),故选 C. 3.(2010· 山东文)已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数 1 关系式为 y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( 3 A.13 万件 C.9 万件 [答案] C [解析] 由条件知 x>0,y′=-x2+81,令 y′=0 得 x=9,当 x∈(0,9)时,y′>0,函数 单调递增,当 x∈(9,+∞)时,y′<0,函数单调递减,∴x=9 时,函数取得最大值,故选 C. [点评] 本题中函数只有一个驻点 x=9,故 x=9 就是最大值点. 4.(文)(2010· 四川双流县质检)已知函数 f(x)的定义域为 R,f ′(x)为其导函数,函数 y= f ′(x)的图象如图所示,且 f(-2)=1,f(3)=1,则不等式 f(x2-6)>1 的解集为( ) B.11 万件 D.7 万件 ) ) B.(-1,0) D.(1,0)或(1,1)

A.(2,3)∪(-3,-2) C.(2,3) [答案] A

B.(- 2, 2) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞)

[解析] 由 f ′(x)图象知,f(x)在(-∞,0]上单调递增,在[0,+∞)上单调递减,∴由条 件可知 f(x2-6)>1 可化为 0≤x2-6<3 或 0≥x2-6>-2, ∴2<x<3 或-3<x<-2. (理)(2010· 哈三中)设 f(x),g(x)分别为定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 g(x)≠0,当 x<0 时,f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且 f(-2)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集为( )

A.(-2,0)∪(0,2) B.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,-∞)∪(2,+∞) [答案] C [解析] 设 φ(x)=f(x)g(x), ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∵g(x)为偶函数,∴g(-x)=g(x),∴φ(-x)=f(-x)· g(-x)=-φ(x),故 φ(x)为奇函数, ∵f(-2)=0,∴φ(-2)=f(-2)· g(-2)=0, ∴φ(2)=0,∵x<0 时,φ′(x)=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,∴φ(x)在(-∞,0)上为增函数, ∴φ(x)在(0,+∞)上为增函数,故使 f(x)g(x)<0 成立的 x 取值范围是 x<-2 或 0<x<2. 5.函数 y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是( π π A.(-π,- )和(0, ) 2 2 π π B.(- ,0)和(0, ) 2 2 π π C.(-π,- )和( ,π) 2 2 π π D.(- ,0)和( ,π) 2 2 [答案] A [解析] y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx, π 当 x∈(-π,- )时,y′=xcosx>0,∴y 为增函数; 2 π 当 x∈(- ,0)时,y′=xcosx<0,∴y 为减函数; 2 π 当 x∈(0, )时,y′=xcosx>0,∴y 为增函数; 2 π 当 x∈( ,π)时,y′=xcosx<0,∴y 为减函数; 2 π π ∴y=xsinx+cosx 在(-π,- )和(0, )上为增函数,故应选 A. 2 2 6. 若函数 f(x)=x3-12x 在区间(k-1, k+1)上不是单调函数, 则实数 k 的取值范围是( A.k≤-3 或-1≤k≤1 或 k≥3 B.-3<k<-1 或 1<k<3 C.-2<k<2 D.不存在这样的实数 [答案] B ) )

[解析] 因为 y′=3x2-12, 由 y′>0 得函数的增区间是(-∞, -2)和(2, +∞), 由 y′<0, 得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以有 k-1<-2<k+1 或 k-1<2<k+1,解得-3<k<-1 或 1<k<3,故选 B. [点评] 已知函数 f(x),由 f ′(x)的符号可得到函数 f(x)的单调区间,而 f(x)在区间(k-1, k+1)上不单调,因此,k-1 与 k+1 应分布在函数 f(x)的两个单调区间内.请再练习下题: 已知函数 f(x)=x3-kx 在区间(-3,-1)上不单调,则实数 k 的取值范围是________. [答案] 3<k<27 k [解析] f ′(x)=3x2-k.由 3x2-k>0,得 x2> ,若 k≤0,则 f(x)显然在(-3,-1)上单调递 3 增, ∴k>0,∴x> k 或 x<- 3 k <x< 3 k . 3 k , 3 k , 3 k )上单调递减,在? 3 ? k ? ,+∞ 上单 3 ?

由 3x2-k<0 得- ∴f(x)在?-∞,-

?

k? 上单调递增,在(- 3?

调递增, 由题设条件知-3<- k <-1,∴3<k<27. 3 )

x 7.函数 y=e 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( 2 9 A. e2 2 C.2e2 [答案] D 1 x 1 [解析] ∵y′= · e ,∴切线的斜率 k=y′|x=4= e2, 2 2 2 1 ∴切线方程为 y-e2= e2(x-4), 2 令 x=0 得 y=-e2,令 y=0 得 x=2,∴S=e2. B.4e2 D.e2

8. 已知 a, b 是实数, 且 e<a<b, 其中 e 是自然对数的底数, 则 ab 与 ba 的大小关系是( A.ab>ba B.ab<ba C.ab=ba D.ab 与 ba 的大小关系不确定 [答案] A

)

1-lnx lnx [解析] 令 f(x)= ,则 f ′(x)= 2 .当 x>e 时,f ′(x)<0,∴f(x)在(e,+∞)上单调递 x x

减. lna lnb ∵e<a<b,∴f(a)>f(b),即 > , a b ∴blna>alnb,∴lnab>lnba,∴ab>ba. 9 . (2010· 安徽合肥质检 ) 已知 R 上可导函数 f(x) 的图象如图所示,则不等式 (x2 - 2x - 3)f ′(x)>0 的解集为( )

A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,2) C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)

[答案] D [解析] 不等式(x2-2x-3)f ′(x)>0 化为
2 2 ? ? ?x -2x-3>0 ?x -2x-3<0 ? (1)或? (2) ?f ′?x?>0 ?f ′?x?<0 ? ?

∵f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调增,在(-1,1)上单调减, ∴f ′(x)>0 的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞),f ′(x)<0 解集为(-1,1), 由 x2-2x-3>0 得,x<-1 或 x>3, 由 x2-2x-3<0 得,-1<x<3.
? ?x<-1或x>3 ∴由(1)得? ,∴x<-1 或 x>3; ?x<-1或x>1 ? ? ?-1<x<3 由(2)得? ,∴-1<x<1. ?-1<x<1 ?

综上可知,x∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞). x3 1 10.(文)(2010· 合肥市)已知函数 f(x)= + ax2+2bx+c 的两个极值分别为 f(x1),f(x2),若 3 2 x1,x2 分别在区间(0,1)与(1,2)内,则 b-2a 的取值范围是( A.(-4,-2) C.(2,7) [答案] C [解析] 由条件知,f ′(x)=x2+ax+2b=0 的两根 x1,x2 分别在(0,1)和(1,2)内,∴f ′(0) )

B.(-∞,2)∪(7,+∞) D.(-5,-2)

=2b>0,f ′(1)=1+a+2b<0,f ′(2)=4+2a+2b>0,作出可行域如图中阴影部分,当直线 z =b-2a 经过可行域内点 A(-1,0)时,z 取最小值 2,经过点 B(-3,1)时,z 取最大值 7, ∴b-2a∈(2,7).

(理)(2010· 延边州质检)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=1, f ′(x)为 f(x)的导函数, 已知函 b+2 数 y=f ′(x)的图象如下图所示,若两正数 a,b 满足,f(2a+b)<1,则 的取值范围是( a+2 1 ? A.? ?2,3? 1 1? C.? ?3,2? 1? B.? ?-∞,2?∪(3,+∞) D.(-∞,-3) )

[答案] A [解析] ∵f(4)=1,∴f(2a+b)<1 化为 f(2a+b)<f(4), ∴a,b>0,∴2a+b>0,由图知在(0,+∞)上,f ′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴2a+b<4, b+ 2 如图,可行域为△AOB 的内部(不含边界), 表示可行域内点与点 P(-2,-2)连线的 a+ 2 斜率,

1 1 b+2 ∵kPA= ,kPB=3,∴ < <3. 2 2 a+2 [点评] 特别注意 f ′(x)的图象提供了 f(x)的单调性,从而利用单调性将不等式 f(2a+ b)<1 化去函数符号“f ”,转化为通常的二元一次不等式,请再练习下题. 已知函数 f(x)的定义域为[-2,+∞),部分对应值如下表,f ′(x)为 f(x)的导函数,函数 y

b+3 =f ′(x)的图象如右图所示,若两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1,则 的取值范围是________. a+3 x f(x) -2 1 0 -1 4 1

3 7? 答案:? ?5,3? 二、填空题 11.(2010· 北京顺义一中月考)已知 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是单调增函数,则 a 的最大 值是________. [答案] 3 [解析] f ′(x)=3x2-a,∵f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,∴f ′(x)≥0 在[1,+∞)上 恒成立,即 a≤3x2 在[1,+∞)上恒成立,∴a 的最大值为 3. 12.(文)(2010· 绵阳市诊断)已知函数 f(x)=lnx+ax 的图象在 x=1 处的切线与直线 2x-y -1=0 垂直,则 a=________. 3 [答案] - 2 1 1 3 [解析] ∵f ′(x)= +a,∴f ′(1)=1+a,由条件知,1+a=- ,∴a=- . x 2 2 (理)(2010· 绵阳市诊断)已知函数 f(x)=ln(1+x)-ax 的图象在 x=1 处的切线与直线 x+2y -1=0 平行,则实数 a 的值为________. [答案] 1 [解析] ∵f ′(x)= 1 ∴f ′(1)= -a. 2 1 1 由题知 -a= , 2 2 解得 a=1. 13.(2010· 浙江杭州冲刺卷)函数 y=f(x)的定义域为(a,b),y=f ′(x)在(a,b)上的图象如 图,则 y=f(x)在区间(a,b)上极大值的个数为________. 1 -a, 1+x

[答案] 2 [解析] 由 f ′(x)在(a,b)上的图象可知 f ′(x)的值在(a,b)上,依次为+-+-+,∴f(x) 在(a,b)上的单调性依次为增、减、增、减、增,从而 f(x)在(a,b)上的极大值点有两个. 14.(2010· 广州市质检)已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx+c 在(-∞,0)上是减函数,在(0,1) 上是增函数,函数 f(x)在 R 上有三个零点,且 1 是其中一个零点. (1)b 的值为________; (2)f(2)的取值范围是________. 5 ? [答案] (1)0 (2)? ?-2,+∞? [解析] (1)∵f(x)=-x3+ax2+bx+c, ∴f ′(x)=-3x2+2ax+b. ∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数, ∴当 x=0 时,f(x)取到极小值,即 f ′(0)=0, ∴b=0. (2)由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c, ∵1 是函数 f(x)的一个零点,即 f(1)=0,∴c=1-a. ∵f ′(x)=-3x2+2ax=0 的两个根分别为 x1=0,x2= 2a . 3

又∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,且函数 f(x)在 R 上有三个零点, ∴ 2a 2a 3 应是 f(x)的一个极大值点,因此应有 x2= >1,即 a> . 3 3 2

5 ∴f(2)=-8+4a+(1-a)=3a-7>- . 2 5 ? 故 f(2)的取值范围为? ?-2,+∞?. 三、解答题 1 1 15.(文)设函数 g(x)= x3+ ax2-bx(a,b∈R),在其图象上一点 P(x,y)处的切线的斜率 3 2 记为 f(x). (1)若方程 f(x)=0 有两个实根分别为-2 和 4,求 f(x)的表达式; (2)若 g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,求 a2+b2 的最小值. [解析] (1)根据导数的几何意义知 f(x)=g′(x)=x2+ax-b,由已知-2,4 是方程 x2+ax

? ?-2+4=-a -b=0 的两个实根,由韦达定理? , ?-2×4=-b ? ?a=-2 ? ∴? ,f(x)=x2-2x-8. ?b=8 ?

(2)g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,所以在[-1,3]区间上恒有 f(x)=g′(x)=x2+ax -b≤0, 即 f(x)=x2+ax-b≤0 在[-1,3]上恒成立
? ? ? ?f?-1?≤0 ?a+b≥1 ?a+b≥1 这只需满足? 即可,也即? ,而 a2+b2 可视为平面区域? 内 ?f?3?≤0 ?b-3a≥9 ?b-3a≥9 ? ? ? ?a=-2 ? 的点到原点距离的平方,其中点(-2,3)距离原点最近.所以当? 时,a2+b2 有最小值 ?b=3 ?

13. (理)(2010· 广东文,20)已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)=kf(x+2),其中常数 k 为负数, 且 f(x)在区间[0,2]上有表达式 f(x)=x(x-2). (1)求 f(-1),f(2.5)的值; (2)写出 f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数 f(x)在[-3,3]上的单调性; (3)求出 f(x)在 [-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. 1 1 1 1 1 1 [解析] (1)由 f(-1)=kf(1),f(2.5)= f( )知需求 f( )和 f(1),f(1)=-1,f( )= ×( -2)= k 2 2 2 2 2 3 3 - ,∴f(-1)=-k,f(2.5)=- 4 4k (2)∵对任意实数 x,f(x)=kf(x+2), ∴f(x-2)=kf(x), 1 ∴f(x)= f(x-2), k 当-2≤x<0 时,0≤x+2<2,∴f(x)=kf(x+2)=k(x+2)· x, 当-3≤x<-2 时,-1≤x+2<0,∴f(x)=kf(x+2)=k2(x+4)(x+2), 1 1 当 2≤x≤3 时,0≤x-2≤1,∴f(x)= f(x-2)= (x-2)(x-4). k k

? k?x+2?x ?-2≤x<0? ? 综上知,f(x)=?x?x-2? ?0≤x<2? ? ?x-2??x-4? ?2≤x≤3? ?1 k

k2?x+4??x+2?

?-3≤x<-2? ,

∵k<0,∴由 f(x)的解析式易知 f(x)在[-3,-1]与[1,3]上是增函数,在[-1,1]上为减函数. (3)∵f(x)在[-3,-1]上单调增,在[-1,1]上单调减,在[1,3]上单调增,∴f(-1)=-k 为

1 极大值,f(1)=-1 为极小值,又 f(-3)=-k2,f(3)=- ,k<0, k ∴最大值为 f(-1)或 f(3),最小值为 f(1)或 f(-3), 1 令-k=- 得,k=± 1,令-1=-k2 得 k=± 1, k 又 k<0,∴k=-1, 1 ∴当-1<k<0 时,-k<- ,-k2>-1, k 1 此时 fmax(x)=f(3)=- ,fmin(x)=f(1)=-1; k 1 当 k≤-1 时,-k≥- ,-k2≤-1,此时 fmax(x)=f(-1)=-k,fmin(x)=f(-3)=-k2. k 16.(文)(2010· 哈三中)已知函数 f(x)=ax3+cx(a≠0),其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x-6y+21=0 垂直,导函数 f ′(x)的最小值为-12. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求 y=f(x)在 x∈[-2,2]的值域.
?f ′?1?=-6 ? [解析] (1)f ′(x)=3ax2+c,则? , ? ?c=-12 ? ?a=2 则? ,所以 f(x)=2x3-12x. ?c=-12 ?

(2)f ′(x)=6x2-12,令 f ′(x)=0 得,x=± 2. 所以函数 y=f(x)在(-2,- 2)和( 2,2)上为增函数,在(- 2, 2)上为减函数. f(-2)=8,f(2)=16-24=-8,f( 2)=-8 2,f(- 2)=8 2, 所以 y=f(x)在 x∈[-2,2]上的值域为[-8 2,8 2]. (理)(2010· 山东威海)已知函数 f(x)=6lnx(x>0)和 g(x)=ax2+8x-b(a,b 为常数)的图象在 x =3 处有公切线. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 F(x)=f(x)-g(x)的极大值和极小值; (3)关于 x 的方程 f(x)=g(x)有几个不同的实数解? 6 [解析] (1)f ′(x)= ,g′(x)=2ax+8 x 根据题意得,f ′(3)=g′(3),解得 a=-1 (2)F(x)=f(x)-g(x)=6lnx+x2-8x+b 6 令 F′(x)= +2x-8=0 得 x=1 或 x=3 x ∵0<x<1 时,F′(x)>0,F(x)单调递增; 1<x<3 时,F′(x)<0,F(x)单调递减;

x>3 时,F′(x)>0,F(x)单调递增; ∴F(x)极大值为 F(1)=b-7, ∴F(x)极小值为 F(3)=b-15+6ln3. (3)根据题意,方程 f(x)=g(x)实数解的个数即为函数 F(x)=f(x)-g(x)=6lnx+x2-8x+b 零 点的个数 由(2)的结论知: ①当 b-7<0 或 b-15+6ln3>0,即 b<7 或 b>15-6ln3 时,函数 F(x)仅有一个零点,也即 方程 f(x)=g(x)有一个实数解; ②当 b=7 时或 b=15-6ln3 时,方程 f(x)=g(x)有两个实数解 ③当 b-7>0 且 b-15+6ln3<0,即 7<b<15-6ln3 时,函数 F(x)有三个零点,即方程 f(x) =g(x)有三个实数解; 综上所述, 当 b<7 或 b>15-6ln3 时, 方程 f(x)=g(x)有一个实数解; 当 b=7 或 b=15-6ln3 时,方程 f(x)=g(x)有两个实数解;当 7<b<15-6ln3 时,方程 f(x)=g(x)有三个实数解. 1-a 17.(文)(2010· 山东文,21)已知函数 f(x)=lnx-ax+ -1(a∈R). x (1)当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 1 (2)当 a≤ 时,讨论 f(x)的单调性. 2 2 [解析] (1)a=-1 时,f(x)=lnx+x+ -1,x∈(0,+∞). x
2 1 2 x +x-2 f ′(x)= +1- 2= ,x∈(0,+∞), x x x2

因此 f ′(2)=1, 即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 1. 又 f(2)=ln2+2, 所以 y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程应为 y-(ln2+2)=x-2,即 x-y+ln2=0. 1-a (2)因为 f(x)=lnx-ax+ -1, x a-1 ax2-x+1-a 1 所以 f ′(x)= -a+ 2 =- x∈(0,+∞). x x x2 令 g(x)=ax2-x+1-a, ①当 a=0 时,g(x)=1-x,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,g(x)>0,f ′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f ′(x)>0,f(x)单调递增; 1 ②当 a≠0 时,g(x)=a(x-1)[x-( -1)],x∈(0,+∞) a

1 (ⅰ)当 a= 时,g(x)≥0 恒成立,f ′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 2 1 1 (ⅱ)当 0<a< 时, -1>1>0, 2 a x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f ′(x)<0,f(x)单调递减; 1 x∈(1, -1)时,g(x)<0,此时 f ′(x)>0,f(x)单调递增; a 1 x∈( -1,+∞)时,g(x)>0,此时 f ′(x)<0,f(x)单调递减; a 1 ③当 a<0 时,由 -1<0, a x∈(0,1)时,g(x)>0,有 f ′(x)<0,f(x)单调递减 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,有 f ′(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述: 当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增; 1 当 a= 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 2 1 1 1 当 0<a< 时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1, -1)上单调递增,在( -1,+∞)上单调递 2 a a 减. [点评] 分类讨论时要做到不重不漏,层次清楚. (理)(2010· 北京崇文区)已知函数 f(x)=aln(2x+1)+bx+1. (1)若函数 y=f(x)在 x=1 处取得极值,且曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线 2x+y -3=0 平行,求 a 的值; 1 (2)若 b= ,试讨论函数 y=f(x)的单调性. 2 1 [解析] (1)函数 f(x)的定义域为(- ,+∞) 2 2bx+2a+b f ′(x)= 2x+1

? ?f ′?1?=0 ?a=-2 ? 由题意? ,解得? ? ?f ′?0?=-2 ? ?b=1

3

3 ,∴a=- . 2

1 1 (2)若 b= ,则 f(x)=aln(2x+1)+ x+1. 2 2 2x+4a+1 f ′(x)= . 4x+2 2x+4a+1 ①令 f ′(x)= >0, 由函数定义域可知, 4x+2=2(2x+1)>0, 所以 2x+4a+1>0(※) 4x+2

1 ? 1° 当 a≥0 时(※)总成立,∴x∈? ?-2,+∞?时, f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 1 1 1 1 ? 2° 当 a<0 时,由(※)式得 x>-2a- ,∵-2a- >- ,∴x∈? ?-2a-2,+∞?,f ′(x)>0, 2 2 2 函数 f(x)单调递增; 2x+4a+1 ②令 f ′(x)= <0,即 2x+4a+1<0 4x+2 1° 当 a≥0 时,不等式 f ′(x)<0 无解; 1 2° 当 a<0 时,解 2x+4a+1<0 得 x<-2a- , 2 1 1? ∴x∈? ?-2,-2a-2?,f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 1 ? 综上:当 a≥0 时,函数 f(x)在区间? ?-2,+∞?为增函数; 1 ? 当 a<0 时,函数 f(x)在区间? ?-2a-2,+∞?为增函数; 1 1? 在? ?-2,-2a-2?为减函数.

第3章
一、选择题

第3节

1.(文)(2010· 甘肃省质检)函数 f(x)=x3-ax2+x 在 x=1 处的切线与直线 y=2x 平行,则 a =( ) A.0 [答案] B [解析] 由条件知,f ′(1)=3×12-2a×1+1=2, ∴a=1. (理)(2010· 芜湖十二中)设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y =2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为( A.4 [答案] A [解析] ∵y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,∴g′(1)=2, ∵f(x)=g(x)+x2,∴f ′(x)=g′(x)+2x, ∴f ′(1)=g′(1)+2=4. 1 B.- 4 C.2 1 D.- 2 ) B.1 C.2 D.3

2.把长 100cm 的铁丝分成两段,各围成一个正方形,当两正方形面积之和最小时,两段 长分别为( A.20,80 C.50,50 [答案] C [解析] 设一段长为 x,则另一段长为 100-x, 100-x 2 1 2 x ∴S=( )2+( ) = [x +(100-x)2] 4 4 16 = 1 (2x2-200x+10000) 16 ) B.40,60 D.30,70

1 令 S′=0 得 (4x-200)=0,∴x=50. 16 3.在内接于半径为 R 的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长为( R 3 A. 和 R 2 2 4 7 C. R 和 R 5 5 [答案] B [解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为 x, 则另一边长为 2 R2-x2, 则 l=2x+4 R2-x2 (0<x<R), l′=2- 当 0<x< 4x 5 ,令 l′=0,解得 x= R. 5 R2-x2 5 5 R 时,l′>0;当 R<x<R 时,l′<0. 5 5 5 5 4 5 R 时,l 取最大值,即周长最大的矩形的边长为 R, R. 5 5 5 ) B. 5 4 5 R和 R 5 5 )

D.以上都不对

所以当 x=

4.(文)圆柱的表面积为 S,当圆柱体积最大时,圆柱的底面半径为( A. C. S 3π 6πS 6π B. 3πS D.3π· 6πS

[答案] C [解析] 设圆柱底面半径为 r,高为 h, S-2πr2 ∴S=2πr +2πrh,∴h= 2πr
2

rS-2πr3 S-6πr2 又 V=πr2h= ,则 V′= ,令 V′=0 2 2 得 S=6πr2,∴h=2r,r= 6πS . 6π

(理)内接于半径为 R 的球并且体积最大的圆锥的高为( A.R 4 C. R 3 [答案] C B.2R 3 D. R 4

)

[解析] 设圆锥的高为 h,底面半径为 r,则 R2=(h-R)2+r2∴r2=2Rh-h2 1 π 2 π ∴V= πr2h= h(2Rh-h2)= πRh2- h3 3 3 3 3 4 4 V′= πRh-πh2,令 V′=0 得 h= R. 3 3 5.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为( A. 3 cm 3 10 3 B. cm 3 20 3 D. cm 3 )

16 3 C. cm 3 [答案] D

[解析] 设圆锥的高为 x,则底面半径为 202-x2, 1 其体积为 V= πx(400-x2) (0<x<20), 3 1 20 3 V′= π(400-3x2),令 V′=0,解得 x= . 3 3 20 3 20 3 当 0<x< 时,V′>0;当 <x<20 时,V′<0 3 3 20 3 所以当 x= 时,V 取最大值. 3 6.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, 1 ? ?400x-2x2,0≤x≤400, 已知总收益 R 与产量 x 的关系是 R=? 则总利润最大时,每年生产 ?80000, ? x>400. 的产品是( A.100 [答案] D [解析]
2

) B.150 C.200 D.300

由 题 意 , 总 成 本 为 C = 20000 + 100x. 所 以 总 利 润 为 P = R - C =

x ? ?300x- 2 -20000,0≤x≤400, ? ?60000-100x,x>400, ?
? ?300-x,0≤x≤400, P′=? ?-100,x>400. ?

令 P′=0,得 x=300,易知当 x=300 时,总利润最大. 7.(文)(2010· 安徽合肥市质检)函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=f ′(x)的图象可能是 ( )

[答案] D [解析] 由 f(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴在(0, +∞)上 f ′(x)≤0,在(-∞,0)上 f ′(x)≥0,故选 D. (理)如图,过函数 y=xsinx+cosx 图象上点(x,y)的切线的斜率为 k,若 k=g(x),则函数 k =g(x)的图象大致为( )

[答案] A [解析] ∵y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx, ∴k=g(x)=xcosx,易知其图象为 A. 1 1 8.(2010· 鞍山一中)函数 f(x)= ax3+ ax2-2ax+2a+1 的图象经过四个象限,则实数 a 3 2 的取值范围是( 3 A.a>- 16 6 C.a>- 5 [答案] B [解析] f ′(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1)有两个零点-2 和 1,故由题设条件知-2 和 1 是函数 f(x)的一个极大值点和一个极小值点,∵f(x)的图象经过 4 个象限,∴f(-2)· f(1)<0, 16a ??5 ? ∴? ? 3 +1??6a+1?<0, 6 3 ∴- <a<- ,故选 B. 5 16 ) 6 3 B.- <a<- 5 16 6 3 D.- ≤a≤- 5 16

1 1 9.(2010· 泰安质检)已知非零向量 a,b 满足:|a|=2|b|,若函数 f(x)= x3+ |a|x2+a· bx 在 3 2 R 上有极值,设向量 a,b 的夹角为 θ,则 cosθ 的取值范围为( 1 ? A.? ?2,1? 1? C.? ?-1,2? [答案] D [解析] ∵函数 f(x)在 R 上有极值,∴f ′(x)=x2+|a|x+a· b=0 有两不等实根,∴Δ=|a|2 1 -4|a|· |b|cosθ=4|b|2-8|b|2cosθ>0,∴cosθ< ,∴选 D. 2 [点评] 若 f(x)为三次函数,f(x)在 R 上有极值,则 f ′(x)=0 应有二不等实根,当 f(x)有 1 两相等实根时,不能保证 f(x)有极值,这一点要特别注意,如 f(x)= x3,f ′(x)=x2=0 有实根 3 x=0,但 f(x)在 R 上单调增,无极值.即导数为 0 是函数有极值的必要不充分条件. 1 10.(文)(2010· 常德市检测)已知函数 f(x)= x3+ax2-bx+1(a、b∈R)在区间[-1,3]上是减 3 函数,则 a+b 的最小值是( 2 A. 3 [答案] C
? ? ?f?-1?≤0 ?2a+b≥1 [解析] f ′(x)=x2+2ax-b, 在[-1,3]上有 f ′(x)≤0, ∴? , ∴? , ?f?3?≤0 ? ? ?6a-b≤-9 ? ? ?2a+b=1 ?a=-1 由? 得? , ?6a-b=-9 ?b=3 ? ?

)

1 ? B.? ?2,1? 1? D.? ?-1,2?

) C.2 D.3

3 B. 2

∴当直线 a+b=z 经过点 A(-1,3)时,zmin=2. 1 (理)若 a>2,则方程 x3-ax2+1=0 在(0,2)上恰好有( 3 A.0 个根 C.2 个根 [答案] B 1 [解析] 设 f(x)= x3-ax2+1,则 f ′(x)=x2-2ax, 3 ∵a>2,∴f ′(x)≤0?0≤x≤2a. 又(0,2)?(0,2a),故 f(x)在区间(0,2)上递减, 11 f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(2)= -4a<0. 3 故 f(x)的图象在(0,2)上与 x 轴有一个交点. B.1 个根 D.3 个根 )

二、填空题 11.用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2?1, 该长方体的最大体积是________. [答案] 3m3 9 9 ? [解析] 设长方体的宽为 x,则长为 2x,高为 -3x (0<x<2),故体积为 V=2x2? ?2-3x?= 2 -6x3+9x2, V′=-18x2+18x,令 V′=0 得,x=0 或 1, ∵0<x<2,∴x=1. ∴该长方体的长、宽、高各为 2m、1m、1.5m 时,体积最大,最大体积 Vmax=3m3. [点评] 注意长方体的长、宽、高都是正值,且长、宽、高的和的 4 倍为总长度.请再练 习下题: 用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另 一边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. [解析] 设容器的短边长为 xm, 则另一边长为(x+0.5)m, 14.8-4x-4?x+0.5? 高为 =3.2-2x. 4 由 3.2-2x>0 和 x>0,得 0<x<1.6, 设容器的容积为 ym3, 则有 y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6), 整理得 y=-2x3+2.2x2+1.6x, ∴y′=-6x2+4.4x+1.6, 令 y′=0,有-6x2+4.4x+1.6=0,即 15x2-11x-4=0, 4 解得 x1=1,x2=- (不合题意,舍去), 15 ∴高=3.2-2=1.2,容积 V=1×1.5×1.2=1.8 答:高为 1.2m 时容积最大,最大容积为 1.8m3. 12. (2010· 江苏, 14)将边长为 1m 的正三角形薄铁皮, 沿一条平行于某边的直线剪成两块, ?梯形的周长?2 其中一块是梯形,记 s= ,则 s 的最小值是________. 梯形的面积 [答案] 32 3 3

[解析] 设 DE=x, 则梯形的周长为:3-x,

1 3 3 梯形的面积为: (x+1)· (1-x)= (1-x2) 2 2 4 ∴s=
2 ?3-x?2 4 3 x -6x+9 = · ,x∈(0,1), 3 1-x2 3 2 ?1-x ? 4

x2-6x+9 设 h(x)= , 1-x2 -6x2+20x-6 h′(x)= . ?1-x2?2 1 令 h′(x)=0,得:x= 或 x=3(舍), 3 1? ∴h(x)最小值=h? ?3?=8, 4 3 32 3 ∴s 最小值= ×8= . 3 3 13.(2011· 江西会昌检测)曲边梯形由曲线 y=x2+1,y=0,x=1,x=2 所围成,过曲线 y =x2+1,x∈[1,2]上一点 P 作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形, 则这一点的坐标为________. 3 13? [答案] ? ?2, 4 ? [解析] 设 P(x0,x02+1),x0∈[1,2],则易知曲线 y=x2+1 在点 P 处的切线方程为 y-(x02 +1)=2x0(x-x0),∴y=2x0(x-x0)+x02+1,令 g(x)=2x0(x-x0)+x02+1, g?1?+g?2? g(1)+g(2)=2(x02+1)+2x0(1-x0+2-x0)=-2x02+6x0+2,∴S 普通梯形= ×1=- 2 3 13 3 13 x02+3x0+1=-(x0- )2+ ,∴P 点坐标为( , )时,S 普通梯形最大. 2 4 2 4 14.已知球的直径为 d,求当其内接正四棱柱体积最大时,正四棱柱的高为________. [答案] 3 d 3

[解析] 如右图所示,设正四棱柱的底面边长为 x,高为 h, 由于 x2+x2+h2=d2, 1 ∴x2= (d2-h2). 2 ∴球内接正四棱柱的体积为 1 V=x2· h= (d2h-h3),0<h<d. 2 1 3 V′= (d2-3h2)=0,∴h= d. 2 3 在(0,d)上,函数变化情况如下表:

由上表知体积最大时,球内接正四棱柱的高为 三、解答题

3 d. 3

15 . (2010· 陕西宝鸡市质检 ) 高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是 4500 元/台.当笔记本电脑销售价为 6000 元/台时,月销售量为 a 台;市场分析的结果表明, 如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为 x(0<x<1),那么月销售量减少的百分率为 x2.记销售 价提高的百分率为 x 时,电脑企业的月利润是 y 元. (1)写出月利润 y 与 x 的函数关系式; (2)如何确定这种笔记本电脑的销售价,使得该公司的月利润最大. [解析] (1)依题意,销售价提高后变为 6000(1+x)元/台,月销售量为 a(1-x2)台, 则 y=a(1-x2)[6000(1+x)-4500], 即 y=1500a(-4x3-x2+4x+1)(0<x<1). (2)由(1)知 y′=1500a(-12x2-2x+4), 令 y′=0 得,6x2+x-2=0, 1 2 解得 x= 或 x=- (舍去). 2 3 1 1 当 0<x< 时,y′>0;当 <x<1 时,y′<0. 2 2 1 故当 x= 时,y 取得最大值. 2 3 此时销售价为 6000× =9000 元. 2 故笔记本电脑的销售价为 9000 元/台时,该公司的月利润最大. 16.(文)(2010· 南通模拟)甲乙两地相距 400 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得 超过 100 千米/小时,已知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 v(千米/小时)的函数关系是 1 1 P= v4- v3+15v, 19200 160 (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式; (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.
3 2 400 400P v 5v [解析] (1)汽车从甲地到乙地需用 v 小时, 故全程运输成本为 Q= v = - +6000 48 2

(0<v≤100). v2 (2)Q′= -5v,令 Q′=0 得,v=80, 16

2000 ∴当 v=80 千米/小时时,全程运输成本取得最小值,最小值为 元. 3 (理)(2010· 湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 ,房屋的屋顶和外墙需要建 造隔热层, 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元. 该 k 建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)= 3x+5 (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的 能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式. (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. k [解析] (1)设隔热层厚度为 x cm,由题设,每年能源消耗费用为 C(x)= ,再由 C(0) 3x+5 =8 得,k=40, 因此 C(x)= 40 , 3x+5

而建造费用为 C1(x)=6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)=20C(x)+C1(x)=20× = 800 +6x(0≤x≤10). 3x+5 40 +6x 3x+5

2400 2400 (2)f ′(x)=6- ,令 f ′(x)=0,即 =6, ?3x+5?2 ?3x+5?2 25 解得 x=5,x=- (舍去). 3 当 0<x<5 时,f ′(x)<0,当 5<x<10 时,f ′(x)>0, 故 x=5 是 f(x)的最小值点, 对应的最小值为 f(5)=6×5+ 800 =70. 15+5

当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元. 17.(文)某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长 别为 x、y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成 总面积为 8m2,问 x、y 分别为多少时用料最省?(精确到 0.001m) 1 x [解析] 依题意,有 xy+ x· =8, 2 2 x2 8- 4 8 x ∴y= = - (0<x<4 2), x x 4 分 的

于是框架用料长度为 l=2x+2y+2× 3 3 16 ? 16 =? ?2+ 2?x+ x ,l′=2+ 2- x2 , 3 16 令 l′=0,即 + 2- 2 =0, 2 x

2x 2

解得 x1=8-4 2,x2=4 2-8(舍去), 当 0<x<8-4 2时,l′<0;当 8-4 2<x<4 2时,l′>0; 所以当 x=8-4 2时,l 取得最小值,此时,x=8-4 2≈2.343m,y≈2.828m. 即当 x 约为 2.343m,y 约为 2.828m 时,用料最省. (理)有一个容积 V 一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍,问如何设计使总造价最小? [分析] 桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定,由于二者单位面积的价格不同,在保 持铁桶容积不变的前提下,使总造价最小.问题转化为 V 一定求总造价 y 的最小值,选取恰 当变量(圆柱高 h 或底半径 r)来表示 y 即变为函数极值问题. [解析] 解:设圆柱体高为 h,底面半径为 r,又设单位面积铁的造价为 m,桶总造价为 y, 则 y=3mπr2+m(πr2+2πrh). V 2mV 由于 V=πr2h,得 h= 2,所以 y=4mπr2+ (r>0). πr r 2mV 所以,y′=8mπr- 2 . r V ?1 V ? V ?1. 令 y′=0,得 r=? ,此时, h = 2 =4 ?4π?3 ?4π?3 πr 该函数在(0,+∞)内连续可导,且只有一个使函数的导数为零的点,问题中总造价的最 V ?1 小值显然存在,当 r=? ?4π?3时,y 有最小值,即 h?r=4 时,总造价最小.

第3章
一、选择题

第4节

1. (2010· 山东日照模考)a=?2xdx, b=?2exdx, c=?2sinxdx, 则 a、 b、 c 的大小关系是(

?0

?0

?0

)

A.a<c<b C.c<b<a [答案] D [解析]

B.a<b<c D.c<a<b

1 a=?2xdx= x2|02=2,b=?2exdx=ex|02=e2-1>2,c=?2sinxdx=-cosx|02=1- 2 ? ? ?
0 0 0

cos2∈(1,2), ∴c<a<b. 2.(2010· 山东理,7)由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( 1 A. 12 [答案] A [解析]
?y=x2 ? 由? 3 得交点为(0,0),(1,1). ?y=x ?

)

1 B. 4

1 C. 3

7 D. 12

1 3 1 4?? 1 1 x- x 0= . ∴S=?1(x2-x3)dx= ? 3 4 ?? ? 12 ?
0

[点评]

图形是由两条曲线围成的时,其面积是上方曲线对应函

数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分,请再做下题: (2010· 湖南师大附中)设点 P 在曲线 y=x2 上从原点到 A(2,4)移动,如果把由直线 OP,直 线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面积分别记作 S1, S2.如图所示, 当 S1=S2 时, 点 P 的坐标是( 4 16? A.? ?3, 9 ? 4 15? C.? ?3, 7 ? [答案] A t3 [解析] 设 P(t, t2)(0≤t≤2), 则直线 OP: y=tx, ∴S1=?t (tx-x2)dx= ; S = 2(x2-tx)dx 6 2 ? ? ?
0 t

)

4 16? B.? ?5, 9 ? 4 13? D.? ?5, 7 ?

4 16? 8 t3 4 = -2t+ ,若 S1=S2,则 t= ,∴P? ?3, 9 ?. 3 6 3 3.由三条直线 x=0、x=2、y=0 和曲线 y=x3 所围成的图形的面积为( A.4 [答案] A x4 2 [解析] S=?2x3dx= 4 ? ?0 =4. ?
0

)

4 B. 3

18 C. 5

D.6

4.(2010· 湖南省考试院调研)?1-1(sinx+1)dx 的值为(

?

)

A.0 C.2+2cos1 [答案] B

B.2 D.2-2cos1

[解析] ?1-1(sinx+1)dx=(-cosx+x)|-11=(-cos1+1)-(-cos(-1)-1)=2. ? 5.曲线 y=cosx(0≤x≤2π)与直线 y=1 所围成的图形面积是( A.2π B.3π )

3π C. 2 [答案] A [解析] 如右图, S=∫02π(1-cosx)dx =(x-sinx)|02π=2π. [ 点评 ]

D.π

此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决,但若把积分区间改为

?π,π?,则对称性就无能为力了. ?6 ?
6.函数 F(x)=?x t(t-4)dt 在[-1,5]上(

?0

)

A.有最大值 0,无最小值 32 B.有最大值 0 和最小值- 3 32 C.有最小值- ,无最大值 3 D.既无最大值也无最小值 [答案] B [解析] F′(x)=x(x-4),令 F′(x)=0,得 x1=0,x2=4, 7 32 25 ∵F(-1)=- ,F(0)=0,F(4)=- ,F(5)=- . 3 3 3 ∴最大值为 0,最小值为- 32 . 3

[点评] 一般地,F(x)=?x φ(t)dt 的导数 F′(x)=φ(x).

?0

1 7.已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+n,函数 f(x)=?x dt,若 f(x)<a3,则 x 的取值 ?t
1

范围是( A.?

) B.(0,e21) D.(0,e11)

3 ? ? 6 ,+∞?
-11

C.(e

,e)

[答案] D 1 [解析] f(x)=?x dt=lnt|1x=lnx,a3=S3-S2=21-10=11,由 lnx<11 得,0<x<e11. ?t
1

8.(2010· 福建厦门一中)如图所示,在一个长为 π,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y= sinx(0≤x≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形 OABC 内随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是( )

1 A. π [答案] A

2 B. π

3 C. π

π D. 4

[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形, 考虑用定积分求出其面积. 由题意得 S=?πsinxdx

?0

S 2 1 =-cosx|0π=-(cosπ-cos0)=2,再根据几何概型的算法易知所求概率 P= = = . S矩形OABC 2π π x+2?-2≤x<0? ? ? 9.(2010· 吉林质检)函数 f(x)=? 的图象与 x 轴所围成的图形面积 S 为 π ?2cosx?0≤x≤2? ? ( ) 3 A. 2 [答案] C π π [解析] 面积 S=∫ -2f(x)dx=?0-2(x+2)dx+∫ 02cosxdx=2+2=4. 2 2 ? 10.(2010· 沈阳二十中)设函数 f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[-1.2] x =-2,[1.2]=1,[1]=1.又函数 g(x)=- ,f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m,f(x)与 g(x) 3 的图象交点的个数记为 n,则?n g(x)dx 的值是( B.1 C.4 1 D. 2

?m

)

5 A.- 2 5 C.- 4 [答案] A

4 B.- 3 7 D.- 6

[解析] 由题意可得,当 0<x<1 时,[x]=0,f(x)=x,当 1≤x<2 时,[x]=1,f(x)=x-1, 所以当 x∈(0,2)时,函数 f(x)有一个零点,由函数 f(x)与 g(x)的图象可知两个函数有 4 个交点, x x2 5 - ?dx= - ?14=- . 所以 m=1,n=4,则?n g(x)dx=?4? 3 6 ? ? ? 2 ? ?
m 1

11.(2010· 江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛,比赛规则如下:甲从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为 b,乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为 c(b、c 可以相等),若关于 x 的方程 x2+2bx+c=0 有实根,则甲获胜,否则乙获胜,则在一场比赛中 甲获胜的概率为( )

1 A. 3 [答案] A

2 B. 3

1 C. 2

3 D. 4

[解析] 方程 x2+2bx+c=0 有实根的充要条件为 Δ=4b2-4c≥0,即 b2≥c, 由题意知,每场比赛中甲获胜的概率为 p= b db ? ?0 1 1× 1
1 2

= . 3

12.(2010· 吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),曲线 y=x2(x≥0)与 x 轴,直线 x=1 构成区域 M,现将一个质点随机地投入正方形中,则质点落在 区域 M 内的概率是( 1 A. 2 1 C. 3 [答案] C [解析] 如图, 正方形面积 1, 区域 M 的面积为 S=?1x2dx ) 1 B. 4 2 D. 5

?0



1 3

1 1 x3|01= ,故所求概率 p= . 3 3 二、填空题 13. (2010· 芜湖十二中) 已知函数 f(x) = 3x2 +2x+ 1,若?1 - 1f(x)dx= 2f(a)成立,则 a=

?

________. 1 [答案] -1 或 3 [解析] ∵?1-1f(x)dx=?1-1(3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)|-11=4,?1-1f(x)dx=2f(a),

?

?

?

∴6a2+4a+2=4, 1 ∴a=-1 或 . 3 π 1 14 .已知 a =∫ 0(sinx + cosx)dx ,则二项式 (a x - )6 的展开式中含 x2 项的系数是 2 x ________. [答案] -192 [解析] =2, (2 x- 1 6 - - ) 的展开式中第 r+1 项是 Tr+1=(-1)r×C6r×26 r×x3 r,令 3-r=2 得,r=1, x π π π π 由已知得 a=∫ 0(sinx+cosx)dx=(-cosx+sinx)| 0=(sin -cos )-(sin0-cos0) 2 2 2 2

故其系数为(-1)1×C61×25=-192.

15.抛物线 y2=2x 与直线 y=4-x 围成的平面图形的面积为________. [答案] 18 [解析] =4-y y2 y2 y3 ∴S=?2-4[(4-y)- ]dy=(4y- - )|-42=18. 2 2 6 ?
?y2=2x ? y2 由方程组? 解得两交点 A(2,2)、B(8,-4),选 y 作为积分变量 x= 、x 2 ?y=4-x ?

4 16.(2010· 安徽合肥质检)抛物线 y2=ax(a>0)与直线 x=1 围成的封闭图形的面积为 ,若 3 直线 l 与抛物线相切且平行于直线 2x-y+6=0,则 l 的方程为______. [答案] 16x-8y+1=0 2 [解析] 由题意知?1 axdx= ,∴a=1, 3 ?
0

设 l:y=2x+b 代入 y2=x 中,消去 y 得, 4x2+(4b-1)x+b2=0, 1 由 Δ=0 得,b= , 8 ∴l 方程为 16x-8y+1=0. 17.(2010· 福建福州市)已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与 x

轴在原点处相切,且 x 轴与函数图象所围成区域 (图中阴影部分)的面积为 ________.

1 ,则 a 的值为 12

[答案] -1 [解析] f ′(x)=-3x2+2ax+b,∵f ′(0)=0,∴b=0,∴f(x)=-x3+ax2,令 f(x)=0, 得 x=0 或 x=a(a<0). 1 1 S 阴影=-?0(-x3+ax2)dx= a4= ,∴a=-1. 12 12 ?
a

三、解答题 18.如图所示,在区间[0,1]上给定曲线 y=x2,试在此区间内确定 t 的值,使图中阴影部 分的面积 S1+S2 最小.

2 [解析] 由题意得 S1=t· t2-?t x2dx= t3, 3 ?
0

2 1 S2=?1x2dx-t2(1-t)= t3-t2+ , 3 3 ?
t

4 1 所以 S=S1+S2= t3-t2+ (0≤t≤1). 3 3 1? 又 S′(t)=4t2-2t=4t? ?t-2?, 1 令 S′(t)=0,得 t= 或 t=0. 2 1 1 因为当 0<t< 时,S′(t)<0;当 <t≤1 时,S′(t)>0. 2 2 1? ?1 ? 所以 S(t)在区间? ?0,2?上单调递减,在区间?2,1?上单调递增. 1 1 所以,当 t= 时,Smin= . 2 4


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