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【与名师对话】2015新课标A版数学理一轮复习课时作业:8-5 Word版含解析]


课时作业(五十二)
一、选择题 1. (2013· 石家庄质检(二))中心在坐标原点的椭圆, 焦点在 x 轴上, 2 焦距为 4,离心率为 2 ,则该椭圆的方程为( x2 y2 A.16+12=1 x2 y 2 C.12+ 4 =1 )

x2 y2 B.12+ 8 =1 x2 y2 D. 8 + 4 =1

c 2 2 解析:因

为焦距为 4,所以 c=2,离心率 e=a=a= 2 ,∴a= 2 2,b2=a2-c2=4,故选 D. 答案:D 2.(2013· 泉州质检)已知椭圆 C 的上、下顶点分别为 B1、B2,左、 右焦点分别为 F1、F2,若四边形 B1F1B2F2 是正方形,则此椭圆的离 心率 e 等于( 1 A.3 2 C. 2 ) 1 B.2 3 D. 2

2 解析:四边形 B1F1B2F2 为正方形,则 b=c,∴e= 2 ,选 C. 答案:C x2 y 2 3.(2013· 江西红色六校第二次联考)设 F1,F2 是椭圆 E:a2+b2= 3a 1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 2 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( )

1 A.2 3 C.4 解析:由题可得如图.

2 B.3 4 D.5

3 |F1F2|=2c=|PF2|,∠PF2Q=60° ,∴|F2Q|=c,∴2c=2a,∴e= c 3 a=4,故选 C. 答案:C 4.已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点, N(2,0), 线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P, 则动点 P 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:点 P 在线段 AN 的垂直平分线上,故|PA|=|PN|.又 AM 是 圆的半径, ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|, 由椭圆定义知, P 的轨迹是椭圆. 答案:B x2 y2 5. (2013· 西安质检)若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 + 3 =1 的中心和 → → 左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则OP· FP的最大值为( A.2 B.3 C.6 D.8 ) )

解析:由题意得 F(-1,0),设点 P(x0,y0), 则
2 → → x0 ? ? 2 2 2 2 y0=3?1- 4 ?(-2≤x0≤2),OP· FP=x0(x0+1)+y0 =x0 +x0+y0

?

?

x2 ? 1 0? 2 =x0+x0+3?1- 4 ?= (x0+2)2+2,
? ?

4

→ → 当 x0=2 时,OP· FP取得最大值为 6. 答案:C x2 2 6.(2013· 内江市第二次模拟)过椭圆 C: 5 +y =1 的右焦点 F 作 → → → → 直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点, 交 y 轴于点 M, 若MA=λ1AF, MB=λ2BF, 则 λ1+λ2=( )

A.10 B.5 C.-5 D.-10 解析:

特殊地,当直线 l 斜率为 0 时,为 x 轴,则 A、B、M 坐标分别 为( 5,0)、(- 5,0)、(0,0). → → → → MA=( 5,0),AF=(2- 5,0),MB=(- 5,0),BF=(2+ 5, 0). ∴λ1=-(2 5+5),λ2=2 5-5,∴λ1+λ2=-10,选 D. 答案:D

二、填空题 x2 y2 7.(2013· 浙江金华十校高三模拟)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>0,
? 3 2? ?在椭圆 C 上,则椭圆 C 的标 b>0)的右焦点为 F(3,0),且点?-3, 2 ? ?

准方程为________. 解析:由已知椭圆的右焦点为 F(3,0),故 c=3,则 b2=a2-9,
? x2 y2 3 2? ?,可求得 a2=18,b2=9. 即a2+ 2 =1,代入点?-3, 2 a -9 ? ?

x2 y2 答案:18+ 9 =1 x2 y2 8.(2013· 河北唐山第二次模拟)设 F1,F2 分别是椭圆16+12=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,若△PF1F2 为直角三角形,则△PF1F2 的面积等于________. 解析:

c=2,b=2 3,由 b>c 得∠P 不能为直角,故△PF1F2 为直角三 角形,只能∠F1 或∠F2 为直角,若∠F2 为直角则 F2(2,0)得 P(2,3) 1 ∴S△PF1P2=4×3×2=6. 答案:6

x2 y2 9.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F2 作 倾斜角为 120° 的直线与椭圆的一个交点为 M,若 MF1 垂直于 x 轴, 则椭圆的离心率为________.

解析:不妨设|F1F2|=1, ∵直线 MF2 的倾斜角为 120° , ∴∠MF2F1=60° . ∴|MF2|=2,|MF1|= 3,2a=|MF1|+|MF2|=2+ 3,2c=|F1F2| =1. c ∴e=a=2- 3. 答案:2- 3 三、解答题 10.根据下列条件求椭圆的标准方程: (1)已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距 4 2 离分别为3 5和3 5,过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;
?1 ? (2)经过两点 A(0,2)和 B?2, 3?. ? ?

x2 y2 y2 x2 解:(1)设椭圆的标准方程是a2+b2=1 或a2+b2=1,

则由题意知 2a=|PF1|+|PF2|=2 5,∴a= 5. x 2 y2 b2 在方程a2+b2=1 中令 x=± c 得|y|= a y 2 x2 b2 在方程a2+b2=1 中令 y=± c 得|x|= a b2 2 10 依题意并结合图形知 a =3 5.∴b2= 3 . 即椭圆的标准方程为 x2 3 y2 y2 3 x2 5 + 10 =1 或 5 + 10 =1.
?1 ? (2)设经过两点 A(0,2),B?2, 3?的椭圆标准方程为 mx2+ny2= ? ?

1(m>0,n>0,m≠n),代入 A、B 得

?4n=1 ?1 ?4m+3n=1

?m=1 ?? 1 ?n=4
2



y2 ∴所求椭圆方程为 x + 4 =1. x2 y2 11. (2013· 安徽示范高中摸底考试)如图, 椭圆 C: a2+b2=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,在 x 轴负半轴上有一点 B, → → 满足BF1=F1F2,AB⊥AF2.

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)D 是过 A,B,F2 三点的圆上的点,D 到直线 l:x- 3y-3= 0 的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆 C 的方程. 解:(1)设 B(x0,0),由 F2(c,0),A(0,b), → → 知AF2=(c,-b),AB=(x0,-b) → → b2 2 ∵AF2⊥AB,∴cx0+b =0,x0=- c , → → b2 由BF1=F1F2知 F1 为 BF2 中点,故- c +c=-2c 1 ∴b2=3c2=a2-c2,即 a2=4c2,故椭圆 C 的离心率 e=2
?1 ? ? 3 ? c 1 1 (2)由(1)知a=2,得 c=2a,于是 F2?2a,0?,B?-2a,0?, ? ? ? ? ? 1 ? △ABF 的外接圆圆心为 F1?-2a,0?,半径 r=a, ? ?

D 到直线 l: x- 3y-3=0 的最大距离等于 2a, 所以圆心到直线 的距离为 a,
? 1 ? ?- a-3? ? 2 ?

所以

2

=a,解得 a=2,∴c=1,b= 3,

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1.

x2 y 2 12.(2013· 保定市第一次模拟)设 F1、F2 分别是椭圆 E:a2+b2= 1(a>b>0)的左、右焦点,M、N 分别为其短轴的两个端点,且四边形 MF1NF2 的周长为 4,设过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且|AB| 4 =3. (1)求|AF2|· |BF2|的最大值; (2)若直线 l 的倾斜角为 45° ,求△ABF2 的面积. 解:(1)因为四边形 MF1NF2 为菱形,又其周长为 4,故 a=1 4 由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4,又因为|AB|=3, 8 所以|AF2|+|BF2|=3, 所以|AF2|· |BF2|≤?
?|AF2|+|BF2|?2 16 ?= 9 2 ? ?

4 当且仅当|AF2|=|BF2|=3时,等号成立. (此时 AB⊥x 轴, 故可得 A 点坐标为?-
?
2

?

3 2? ?, 代入椭圆 E 的方 3 ,3?

y2 6 6 4 程 x +b2=1 得 b= 3 <1,即当且仅当 b= 3 时,|AF2|=|BF2|=3)

16 所以|AF2|· |BF2|的最大值为 9 . (2)因为直线 l 的倾斜角为 45° ,所以可设 l 的方程为 y=x+c,其 中 c= 1-b2

y2 由(1)知椭圆 E 的方程为 x +b2=1
2

所以,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两点坐标满足方程组

?y=x+c ? 2 y2 ?x +b2=1
化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0 -2 c 1-2b2 则 x1+x2= ,x x = 1+b2 1 2 1+b2 因为直线 l 的斜率为 1,所以|AB|= 1+k2|x1-x2|

4 8 即3= 2|x1-x2|,所以9=(x1+x2)2-4x1x2
2 2 8 4?1-b ? 4?1-2b ? 1 2 2 = 2 2- 2 ,得 b = ,b= 9 ?1+b ? 2 2 ?1+b ?

2 2 所以 c= 2 ,l 的方程为:y=x+ 2 F2 到 l 的距离 d=1.

1 1 4 2 所以 S△ABC=2|AB|×1=2×3×1=3. [热点预测] x2 2 13.(2013· 贵州省六校第一次联考)设 F1、F2 分别是椭圆 4 +y = 1 的左、右焦点. → → 5 (1)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1· PF2=-4,求点 P 的坐标;

(2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,且∠ AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点),求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解:(1)a=2,b=1,c= 3.∴F1(- 3,0),F2( 3,0). → → 设 P(x,y)(x>0,y>0).则PF1· PF2=(- 3-x,-y)( 3-x,-y) 5 x2 2 =x +y -3=-4,又 4 +y =1,
2 2

7 2 2 ? x + y = ? 4 联立? 2 x 2 ? + y ? 4 =1

?x =1 ,解得? 2 3 ?y =4

2

?x=1 ?? 3 y = ? 2

,P?1,
?

?

3? ?. 2?

(2)显然 x=0 不满足题设条件. 可设 l 的方程为 y=kx+2, 设 A(x1, y1),B(x2,y2).

?x +y2=1 联立? 4 ?y=kx+2

2

?x2+4(kx+2)2=4

?(1+4k2)x2+16kx+12=0 ∴x1x2= 12 16k 2,x1+x2=- 1+4k 1+4k2

由 Δ=(16k)2-4· (1+4k2)· 12>0 3 16k2-3(1+4k2)>0,4k2-3>0,得 k2>4.① → → 又∠AOB 为锐角?cos∠AOB>0?OA· OB>0, → → ∴OA· OB=x1x2+y1y2>0 又 y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4 ∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
? 16k ? 12 ?- =(1+k2)· 2?+4 2+2k· 1+4k ? 1+4k ?

12?1+k2? 2k· 4?4-k2? 16k = - +4= >0 1+4k2 1+4k2 1+4k2 1 ∴-4<k2<4. ②
? 3 3? ? 3 ? 综合①②可知4<k2<4,∴k 的取值范围是?-2,- ?∪? ,2?. 2? ?2 ? ?


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