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2013届学海导航 新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第1章第1讲 集合的概念、集合间的基本关系


集合的概念
【例1】 用列举法表示下列集合A:

?1? A={( x,y) | x+y=2,x ? N,y ? N};
6 ? 2 ? A={x | x ? N, ? Z}. 3? x

【解析】1? A={( x,y ) | x+y=2,x ? N,y ? N} ? ={? 0, 2 ?, ?,2,0 ?};

?1,1 ? 3 ? 2 ?由题意可知,-x是6的约数,所以 6 A={x | x ? N, ? Z}=?0,1, 2, 4,5,6,9?. 3? x

本题主要考查集合的表示 方法:列举法、描述法及其转 化,注意集合中元素的形式及 元素符合的特征性质.

【变式练习1】 有下列说法: ①所有著名的数学家可以组成一个集合; ②0与?0?的意义相同; 1 * ③集合A={x | x= ,n ? N }是有限集; n ④方程x 2+2x+1=0的解集中只有一个元素. 其中正确的有_____________

【解析】①中的“著名的数学家”著 名的程度无法界定,所以不能构成集 合;②中的0是一个数,不是集合, 而{0}表示含有一个元素0的集合,所 以0与{0}的意义不同;③中的集合是 无限集;④中的方程有两个相等的解 x=1,所以填④.

集合元素的特征
【例2】 设a、b ? R,A={1,a+b,a}, b B={0, ,b}. a 若A=B,求a、b的值.

【解析】因为相等的集合元素完全相同, 又a ? 0,所以a+b ? b,所以a+b=0,则 b a=-b,故 =-1,所以a=-1,从而b=1. a 所以符合题意的a、b的值分别为-1、 1.

本题考查集合相等的概念和集合 中元素的互异性特征.对于含有参数 的元素的集合的相等问题,除了对元 素之间的正确分类外,还要注意元素 的互异性特点.一般来讲,首先考虑 元素间的分类,求出元素可能的取值, 再采取排除法确定元素的值.

【变式练习 2】设集合 A={1,a,b},B={a,a2,ab},
且 A=B,则实数 a= -1 ,b= 0 .

【解析】由元素互异性知,a≠1,b≠1,a≠0,
?a2=1 ?a2=b ?a=-1 又由 A=B, 所以? 或? , 解得? . ?ab=b ?ab=1 ?b=0

集合间的基本关系
【例3】 已知集合P={x|x2+x-6=0,x∈R}, S={x|ax+1=0,x∈R},满足S?P, 求实数a的取值组成的集合.

【解析】P={-3, 2}, 当a=0时,S=?,满足S ? P, 即a=0适合题意; 1 当a ? 0时,S={- },要满足S ? P, a 1 1 1 1 则有- =-3或- =2,解得a= 或- . a a 3 2 1 1 所以所求集合为{0,,- }. 3 2

当讨论S ? P的关系时,注意是 否有S=?的情形,防止产生漏解.

【变式练习3】 x?a 记关于x的不等式 ? 0的解集为P, x ?1 不等式 | x-1|? 1的解集为Q.

?1? 若P ? Q,求实数a的取值; ? 2 ? 若Q ? P,求实数a的取值范围.

【解析】1? 集合Q={x | 0 ? x ? 2}. ? 因为P ? Q,只有当P为空集时成立, 所以a=-1.

? 2 ?当a ? -1时,集合P={x | -1 ? x ? a}.
由于Q ? P,所以a ? 2(等号不成立); 当a ? -1时,集合P={x | a ? x ? -1}, 不合题意. 所以,当Q ? P时,a ? (2,+? ).

1. 下 列 集 合 中 : ① {0} ; ② {(x , y)|x2 +y2 =0};③{x|x2 +3x+2=0, x∈N} ; ④ {x∈Z|1 < |x|≤3} , 表 示 ③ 空集的有______.

2.若集合A={x|x2 +2ax+1=0}的子 集只有一个,则实数a的取值范围为 {a|-1<a<1} ________________.
【解析】因为集合A的子集中只有一个, 所以A=? ,?=4a 2-4 ? 0,解得-1 ? a ? 1,所以a的取值集合为{a | -1 ? a ? 1}.

3.已知集合 A={-1,2,2m-1}, 集合 B={2, 2}. m 若 B?A,则实数 m= 1 .

【解析】因为 B?A,所以 m2=2m-1,解之得 m=1.

4.设集合A={x | -2 ? x ? 5}, B={x | m+1 ? x ? 2m-1}. 若B ? A,求实数m的取值范围.
【解析】当B=?时,B ? A,只需m+1 ? 2m-1, 即m ? 2. ? m ? 1 ? 2m ? 1 ? 当B ? ?时,B ? A,只需 ?m ? 1 ? ?2 , ? 2m ? 1 ? 5 ? 解得2 ? m ? 3. 综上,m的取值范围为(-?,. 3]

1 5.已知集合M={x | x=m+ ,m ? Z}, 6 n 1 N={x | x= - ,n ? Z}, 2 3 p 1 P={x | x= + ,p ? Z}, 2 6 试确定集合M 、N、P之间满足的关系.

1 【解析】M={x | x=m+ ,m ? Z}= 6 6m ? 1 3?2m ? 1 {x | x= ,m ? Z}={x | x= ,m ? Z} 6 6 n 1 3n ? 2 N={x | x= - ,n ? Z}={x | x= ,n ? Z}; 2 3 6 p 1 3p ?1 P={x | x= + ,p ? Z}={x | x= ,p ? Z} 2 6 6 3n ? 2 ={x | x= ,n ? Z}=N . 6 所以M ?? N=P.

本节内容主要考查对集合基础知识 的理解和应用,主要知识有集合中元素 的性质(确定性、互异性、无序性),集 合的表示方法,元素与集合、集合与集 合的关系,其中集合中元素的互异性、 描述法表示集合以及空集是任何集合的 子集是常考知识点.

(1)集合中元素的互异性:集合中元素 的三性中互异性对解题的影响最大,特别 是带有字母参数的集合,实际上就隐含着 对字母参数的一些要求.在解题时也可以 先确定字母参数的范围后,再具体解决问 题.如已知集合A={x,xy},求实数x,y 满足的条件.就是考查集合中元素的互异 性,即x≠xy,解得x≠0且y≠1.

(2)熟悉几种重要集合所表示的意义: 集合{x|f(x)=0}表示方程f(x)=0的解集;集 合{x|y=f(x)}表示函数y=f(x)的定义域;集 合{y|y=f(x)}表示函数y=f(x)的值域;集合 {(x,y)|y=f(x)}表示函数y=f(x)图象上的点 构成的解集,即表示函数y=f(x)的图象. (3)在解决子集、真子集等问题时,不 要忘了空集.


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