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人教版高中数学《必修1》第二章


人教版高中数学《必修 1》新课导学案

§2.1.1 指数与指数幂的运算 (1) ——根式及其性质
学习目标: 了解指数函数模型背景及实用性必要 性,了解根式的概念及表示方法. 理解根 式的概念 学习重点: 掌握 n 次方根的求解. 学习难点: 理解根式的概念, 了解指数函数模型的 应用背景

何?,例如: 3 27 ? 3 , 3 ?27 ? ?3 ,记:

x?n a. 当 n 为 偶 数时, 正数 的 n 次方 根情 况?例如: (?3)4 ? 81 ,81 的 4 次方根就是

?3 .记: ? n a 强调:负数没有偶次方根,0 的任何次 方根都是 0, 即. n 0 ? 0 ④练习: b4 ? a ,则 a 的 4 次方根为 ; . b3 ? a ,则 a 的 3 次方根为 ⑤ 定义根式: 像 n a 的式子就叫做根式,这 里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数.
⑥ 计算 ( 2 3)2 、 3 43 、 n (?2) n → 探究:
n ( n a ) n 、 n a 的意义及结果? (特殊到一 般)

【课内导学】 预习导引:
1、提问:正方形面积公式?正方体的体积 公式?( a 2 、 a 3 ) 2、回顾初中根式的概念:如果一个数的平 方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方根;如 果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的立方根. ,记法: a ,
3

结论: (1) ( n a )n ? a .当 n 是奇数时, (2) a
n
n n

a

【课内探究】
1.指数函数模型应用背景: ①探究下面实例, 了解指数指数概念提出的 背景,体会引入指数函数的必要性. 实例 1:某市人口平均年增长率为 1.25℅, 1990 年人口数为 a 万, 则 x 年后人口数为多 少万? 实例 2: 给一张报纸, 先实验最多可折多少 次(8 次) ②小结: 实践中存在着许多指数函数的应用 模型,如人口问题、银行存款、生物变化、 自然科学. 2.根式的概念及运算: ① (?2)2 ? 4 ,?2 就叫 4 的平方根;33 ? 27 , 3 就叫 27 的立方根. 探究:(?3)4 ? 81 ,?3 就叫做 81 的?次 方根, 依此类推,若 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. ② 定义 n 次方根:一般地,若 xn ? a ,那 么 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n ? 1 ,n ? ?? ,
n

? a ;当 n 是偶数时

?a (a ? 0) a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

【例题分析】
例 1:求下列各式的值:

(1) (3)

3 4

(?8)3 ;

(2)

? ( 120; )
( a ? b) 2 .

(3 ? ? ) 4 ; (4)

【课后导练】
1 .计算或化简: 5 ?32 ; 3 a 6
np

(推广:

a mp ? n a m , a ? 0) .

简记: n a .例如: 23 ? 8 ,则 3 8 ? 2 . ③讨论:当 n 为奇数时, n 次方根情况如

1

第二章 基本初等函数

2、 化简: (1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ; (2) 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

3.计算下列各式的值: ( 2 ?b )2 ; ( 3 ?5)3 ;
2

34 , 5 a10 , 3 79

4.基础习题练习: (口答下列基础题) ? _____ ? x ? 0 ? ? n ①n为 时, x n ?| x |? ? . ? ? _____( x ? 0) ②求下列各式的值: 3、求值化简:① 3 (?a)3 ; ② 4 (?7) 4 ; ③ 6 (3 ? ? )6 ;④ 2 (a ? b) 2 ( a ? b )
2 ① 3 26 ;② 4 16 ;③ 6 81 ;④ 6 ( ?2) ;

⑤ 15 ? 32 ;⑥

4

x 8 ;⑦

6

a 2b 4 .

2.1.1 指数与指数幂的运算(2) ——指数幂及其运算
学习目标: 正确理解分数指数幂的概念, 掌握根式 与分数指数幂的互化, 掌握有理数指数幂的 运算. 学习重点: 有理数指数幂的运算. 学习难点: 有理数指数幂的运算.无理数指数幂的 意义.

【课内探究】
1.分数指数幂概念及运算性质: ① 引例: a > 0 时,
10 5

a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5 →

3

a12 ? ? ;

3

a ? (a ) ? a
2

3

2 3 3

2 3



a ??.

②定义分数指数幂:
m

规定: a n ? a (a ? 0, m, n ? N , n ? 1) ;
n m *

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

【课内导学】
(一)预习导引 1.什么叫根式?→根式运算性质:

2、无理指数幂(课本不作要求)

( n a ) n =?、 a =?、 a mp =? 2.分数指数幂如何定义?运算性质?

n

n

np

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(二)例题分析
例 1、 (1) 将下列根式写成分数指数幂形式: ① a
3 n m

例 4、计算下列各式(式中字母都是正数)
?
2 5

(a ? 0, m, n ? N n ? 1) ;② 3 ;③
2 2 ? 4 3 ? 5 2

(1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 )
1

2

1

1

1

1

5

54
;④ a .

(2) (m 4 n 8 )8

?

3

(2)求值:① 27 3 ;② 5 5 ;③ 6

讨论:0 的正分数指数幂?0 的负分数指数 幂? 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的 概念就从整数指数推广到了有理数指数, 那 么整数指数幂的运算性质也同样可以推广 到有理数指数幂. 指数幂的运算性质:设 a ? 0, b ? 0, r , s ? Q ①a ·a ? a
r r
r s rs r r

例 5、计算下列各式: (1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25 ; (2)

r ?s



② (a ) ? a ; ③ (ab) ? a a .
s

a2 a.3 a2

(a >0) .

例 2、求下列各式的值: ① 8 ;② 25 解:
2 3 1 2

- 5 骣 骣 16 ÷ 4 1 ÷ ;③ ? ;④ ? ÷ . ÷ ? ? ? ? 桫 桫 81÷ 2÷

-

3



1 5、已知 a 2
?1

?a

?

1 2 =3,求下列各式的值:
3 ? ?
2 ?2

例 3、用分数指数幂的形式表或下列各式 ( a >0) : ①a
3

a2 ? a (1) (2) (3) 1 a ?a ; a ?a ; a2 ? a

3 2 1 2



a ;② a 2 ×3 a 2 ;③ a 3 a 2 .

3

第二章 基本初等函数

【课后导练】 1、下列运算正确的是 (
3 2

7、求值:

)
3

2

① 27 3 ; ② 16

?

4 3

2 3 2 5 A. (- a ) = (- a ) ;B (- a ) = a ;

25 ? ?3? ;③ ? ? ;④ ( ) 3 . 49 ?5?

?3

2

C. (- a 2 ) = - a 5 ;

3

D. (- a 2 ) = a 6 .

3

2、 (?2) 4 ? (?2) ?3 ? (? ) ?3 ? (? ) 3 的值 是 ( )

1 2

1 2

A.-24; B. -8; C. 7

3 ; D.8. 4

1 3、如果 3 x ? ,则 x =________. 27
0 ?3 4、 要使式子 ( 1 ? x) ? (| x | ?2) 有意义,

8.求值:① 25 ;② 27 3 ;③ (
3

3 2

2

36 2 ) ; 49

3

则 x 的取值范围是_________. 5、计算

④(

25 ? 2 ) ;⑤ 4

4

81? 9 2 ;

3

1 2 (1) (?2) ? (?5) ? ( ) ; 5 1 ?2 3 ?3 ?3 (2) [( ) ] ? (2 ) . 2
0 ?2

⑥ 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

6、化简: (1) ( (2) (a

9、化简:
1 5 1 1 1 ? 2 ?? ? ? ? 3 2 6 6 2 3 3 a b ? 8 a b ? ? 6 a b ? ①? ? ?? ? ? ? ?; ?? ? ? ?? ? ? ?
3 ? 1 ? 4 8 m n ②? ? ? ? . ? ? 16

x 2 y ?3 ?3 ) ; 3a ?1
?1

? b ?1 )(

1 1 1 ? ? 2) . 2 ab b a

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§2.1.2 指数函数及其性质(一)
学习目标: 了解指数函数模型的实际背景, 认识数 学与现实生活及其他学科的联系; 理解指数 函数的的概念和意义, 能画出具体指数函数 的图象,掌握指数函数的性质. 学习重点: 掌握指数函数的的性质. 学习难点: 用数形结合的方法从具体到一般地探 索、概括指数函数的性质.

【课内导学】
(一)预习导引: 1.零指数、负指数、分数指数幂是怎样定 义的? 2.有理指数幂的运算法则可归纳为几条?

【课内探究】
1.指数函数模型思想及指数函数概念: (1)探究两个实例: ①细胞分裂时, 第一次由 1 个分裂成 2 个, 第 2 次由 2 个分裂成 4 个, 第 3 次由 4 个分 裂成 8 个,如此下去,如果第 x 次分裂得到 y 个细胞,那么细胞个数 y 与次数 x 的函数 关系式是什么?

2.指数函数的图象和性质: ① 讨论:你能类比前面讨论函数性质时的 思路, 提出研究指数函数性质的内容和方法 吗? ② 回顾:研究方法:画出函数的图象,结 合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单 调性、最大(小)值、奇偶性. ③ 作图:在同一坐标系中画出下列函数图 1 象: y ? ( ) x , y ? 2 x (师生共作→小结 2 作法) 1 ④ 探讨: 函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象有什 2 1 x 么关系?如何由 y ? 2 的图象画出 y ? ( ) x 2 的图象?根据两个函数的图象的特征, 归纳 出这两个指数函数的性质. → 变底数为 3 或 1/3 等后? ⑤ 根据图象归纳:指数函数的性质

②一种放射性物质不断变化成其他物质, 每经过一年的残留量是原来的 84%, 那么以 时间 x 年为自变量,残留量 y 的函数关系式 是什么? 讨论: 上面的两个函数有什么共同特征?底 数是什么?指数是什么? (2)指数函数的定义:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 讨论:为什么规定 a >0 且 a ≠1 呢?否则会 出现什么情况呢?→ 举例:生活中其它指 数模型?

(二)例题分析 例 1: (1)函数 y ? (a 2 ? 3a ? 3)a x 是指数函 数,则 a 的值为 . ( 2 )已知指数函数 f ( x) ? a ( a > 0 且
x

,求 f (0) 、 a ? 1 )的图象过点(3, p )

f (1)及f (?3)的值.

5

第二章 基本初等函数

例 2:比较下列各题中的个值的大小 (1)1.7 (3) 1.7
2.5

与 1.7 ; (2) 0.8 与 0.9
3.1

3

-0.1

与 0.8

?0.2



0.3

4 .如果函数 f ( x ) = (a + a - 1) x 在 R 上
*

2

是增函数,求实数 a 的取值范围.

例 3:求下列函数的定义域: (1) y ? 2
4 x ?4



?2? (2) y ? ? ? . ?3?
5.求 y = 2 - 2
2x x- 1

x

+ 1的最小值以及达到

最小值时的 x 的值.

【课后导练】
1、下列函数是指数函数的是( A. y = (- 3) ; C. y = - 3 ;
x
x

)
x- 1

B. y = 3

; 6、 探究: 在[m, n]上,f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域?

D. y = 0.3 .

x

2、根据下列关系式确定 a (a > 0, a 取值范围:
2

1) 的

5 (1) a > a ______; (2) a 3 > 1 ______;
5 3

(3) a 3 < a 4 _______; 3.求下列函数的定义域和值域:

÷ ; (2) y = (1) y = ? ? ÷ ? ÷

骣 1 桫 2

x

1- 3x ;

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§2.1.2 指数函数及其性质(二)
学习目标: 熟练掌握指数函数概念、图象、性质; 掌握指数形式的函数定义域、值域,判断其 单调性. 学习重点: 掌握指数函数的性质及应用. 学习难点: 理解指数函数的简单应用模型.

【课内导学】 (一)预习导引
1.指数函数的定义?底数 a 可否为负值? 为什么?为什么不取 a ? 1 ?指数函数的图 象是? 2.在同一坐标系中,作出函数图象的草图:

指数形式的函数定义域和值域: (1) 讨论: 在[m, n]上,f ( x) = a ( a > 0 ,
x

且 a ? 1 )值域? ②求下列函数的定义域、值域: ① y ? 2x ? 1 ; ② y ? 3
5 x ?1

1

; ③ y ? 0.4 x ?1 .

?1? ① y ? 2 ;② y ? ? ? ;③ y ? 5x ; ?2?
x

x

?1? ?1? ④ y ? ? ? ;⑤ y ? 10 x ;⑥ y ? ? ? . ? 10 ? ?5? 3.指数函数具有哪些性质?

x

x

【课内探究】 例:我国人口问题非常突出,在耕地面积只
占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界 人口.因此,中国的人口问题是公认的社会 问题. 2000 年第五次人口普查, 中国人口已 达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地 控制人口过快增长, 实行计划生育成为我国 一项基本国策. (1)按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? (2)从 2000 年起到 2020 年我国的人口将 达到多少? (3)2005 年某镇工业总产值为 100 亿,计 划今后每年平均增长率为 8%, 经过 x 年后 的总产值为原来的多少倍? → 变式: 多少 年后产值能达到 120 亿?

【例题分析】
例 1、求函数 y ?

2x ? 1 的定义域和值域, 2x ? 1

并讨论函数的单调性、奇偶性.

7

第二章 基本初等函数

例 2、 截止到 1999 年底, 我们人口哟 13 亿, 如果今后, 能将人口年平均均增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为 多少(精确到亿)?

2 2、 2 2 , ? ÷ ,33 的大小顺序是( ? ÷
1

1

骣 ? 桫 3÷

- 1

1

)
1

2 2 ?1 A. 3 3 < 2 2 < ? ÷ ;B 2 2 < 3 3 < ( ) ; ? ÷

1

骣 ? 桫 3÷

- 1

1

3

2 2 C. ( ) ?1 < 2 < 3 ;D. 2 < ( ) ?1 < 3 3 . 3 3 x 骣2 ÷ 3、函数 y= y = ? __时, ÷ ,当 x __ ? ? 桫5÷ y < 1 ;当 x =__ _时, y = 1 ;当 x ____ 时, y > 1 ; x?2 4.函数 y ? a ? 3(a ? 0 ;且 a ? 1) 的图
象过定点______. 5.比较下列各组数的大小: 例 3 、 已 知 函 数 y = 9 - 2 ?3
x x

1 2

1 3

1 2

1

2 ,

x ? [1, 2 ]求这个函数的值域.

? ?2? 2 2 ① ? ? 与(0.4) ; ?5?

?

1

3

? 3? ②? ? 3 ? ? ? ?

0.76



? 3?

?0.75



6.比较下列各组数的大小:

骣 3÷ (1) ? ÷ ? ? 桫 4÷

- 0.21

骣 3÷ 和? ÷ ? ? 桫 4÷
-

- 0.25



骣 6÷ 2 (2) 0.75 和 ? ÷ ? ? 桫 5÷
?2

1

【课后导练】
1、当 x ? [-2,2)时,y= 3 ( ) A.( ? C.(
?x

? 1 的值域是

8 ,8] ; 9

B. [ ? D.[

8 ,8); 9

1 ,9]; 9

1 ,9) . 9

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2x 7.求函数 y ? x 的值域. 2 ?1

(一)预习导引: 1.问题 1:庄子:一尺之棰,日取其半,万 世不竭 (1)取 4 次,还有多长? (2)取多少次,还有 0.125 尺?(得到:
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?1? ?1? ? ? =?, ? ? ? 0.125 ? x ? ? ) ?2? ?2? 2.问题 2:假设 2002 年我国国民生产总值 为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经 过多少年国民生产 是 2002 年的 2 倍? ( 得到: (1 ? 8%) x =2 ? x=? ) 问题共性: 已知底数和幂的值, 求指数 怎 x 样求呢?例如:课本实例由 1.01 ? m 求 x
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4

x

8.一片树林中现有木材 30000m3,如果每 年增长 5%,经过 x 年树林中有木材 ym3, 写出 x,y 间的函数关系式,并利用图象求 . 约经过多少年,木材可以增加到 40000m3

(二)课内探究
① 定义: 一般地, 如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) , 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数.记作 x ? loga N ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫 做真数 探究问题 1、2 的指数式化成对数式 ②定义:我们通常将以 10 为底的对数叫做 常用对数, 并把常用对数 log10 N 简记为 lgN 在科学技术中常使用以无理数 e=2.71828 ……为底的对数,以 e 为底的对数叫自然对 数,并把自然对数 loge N 简记作 lnN 认识:lg5 ; lg3.5; ln10; ln3 ③讨论: 指数与对数间的关系 ( a ? 0, a ? 1
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课后反思:

时, a x ? N ? x ? log a N ) 负数与零是否有对数?(原因:在指数 式中 N > 0 ) 思考: log a 1 ? ? , log a a ? ? ④:对数公式: a
log a N

= N ,log a a n = n .

§2.2.1 对数与对数运算(一)
学习目标: 理解对数的概念;能够说明对数与指数 的关系;掌握对数式与指数式的相互化. 学习重点: 掌握对数式与指数式的相互转化. 学习难点: 对数概念的理解.

2.指数式与对数式的互化: (1)出示例 1.将下列指数式写成对数式: 1 ① 53 ? 125 ;② 2?7 ? ;③ 3a ? 27 ; 128 ④ 10?2 ? 0.01 (2) 出示例 2. 将下列对数式写成指数式: ① log 1 32 ? ?5 ; ②lg0.001=-3;
2

③ln100=4.606; 计算:① log 1 32 ; ②lg0.001
2

【课内导学】
9

第二章 基本初等函数

(三)例题分析
例 1(P63 例 1)将下列指数式化为对数式, 对数式化为指数式: (1)54=645;
m

【课后导练】 1 1、若 2 x ? ,则 x 等于 ( 3
A. log23; C log 1
2
1 3 1 3

)

(2) 2?6 ?

1 ; 64

B.log2 ; D. log 1 2 .
3

?1? (3) ? ? ? 5.73 ; (4) log 1 16 ? ?4 ; ?3? 2



log10 0.01 ? ?2 ; (5) (6) log e 10 ? 2.303

2、已知 log a 8 = A

1 4
4

2 ,则 a 等于 ( 3 1 B C 2 2
______ ;

)

D 4 3、把下列指数形式写成对数形式: (1) 5 =625, ____ (2) 2 =
?6

1 , _____ _____ ; 64 a (3) 3 = 27 , _____________; m 骣 1÷ (4) ? ÷ = 5.37 , _____________. ? ? 桫 3÷
4. 把下列对数式写成指数式 (1) log3 9 = 2 ,___ ___ ___; (2) log5 125 = 3 ,______ (3) log 2 例 2: (P63 例 2)求下列各式中 x 的值: (1) log 64 x ? ? ___;

2 ; (2) log x 8 ? 6 ; 3
(4) ? ln e ? x .
2

1 = - 2 ,__________; 4 1 (4) log3 = - 4 ,___________. 81 5、当底是 9 时, 3 的对数等于______.
6、求下列各式的值 (1) log 5 25; (3) lg100 ; (2) log 2

(3) lg100 ? x ;

1 16

(4) lg 0.01 .

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7.计算: (1) log 9 27 ; (2) log 3 243 ; (3) log 3 81 ; (4) log (2 ?
4

【课内导学】
(一)预习导引: 1、提问:对数是如何定义的? → 指数式 与对数式的互化: a x ? N ? x ? log a N 2、提问:指数幂的运算性质?

3)

(2 ? 3) ;

(5) log 3 4 625 .
5

(二)课内探究
1、对数运算性质及推导: (1) log a ( M ?N ) log a M + log a N ;

M = log a M - log a N ; N n (3) log a M = n log a M
(2) log a

8.计算 3log3

5

? 3

log3

1 5

的值.

课后反思: 对数的定义: a ? N ? b ? log a (a > 0
b N

且 a ≠1) 1、的对数是零,负数和零没有对数. 2、对数的性质:

讨论:(1)如何自然语言叙述三条性质? (2 性质的证明思路是什么?(运用转化思 想,先通过假设,将对数式化成指数式,并 利用幂运算性质进行恒等变形; 然后再根据 对数定义将指数式化成对数式 )
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log c b 2、对数换底公式: log a b = log c a

§2.2.1 对数与对数运算(二)
学习目标: 掌握对数的运算性质, 并能理解推导这 些法则的依据和过程; 能较熟练地运用法则 解决问题. 学习重点:运用对数运算性质解决问题 学习难点:对数运算性质的证明方法
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11

第二章 基本初等函数

3、对数换底公式的应用:

【课后导练】
1、下列各式中,能成立的是( ) A. log3 (6 - 4) = log3 6 - log3 4 ;

n (1) log am b = log a b ; m
n

(2) log a b ?log b a 一般地,有:

1 (或 log a b ?

1 ) log b a

log a b 鬃 logb c log c d gL glog y z ?log z a
(三)例题分析 例 1. 判断下列式子是否正确, ( a >0 且 a ≠1, x >0 且 a ≠1, x >0, x > y ) , (1) log a x ? log a y ? log a ( x ? y ) (2) log a x ? log a y ? log a ( x ? y )

1

log 3 6 ; log 3 4 log 3 5 C. log 3 5 - log 3 6 = ; log 3 6 D. log 2 3 + log 2 10 = log 2 5 + log 2 6 .
B. log 3 (6 - 4) = 2、下列各式中,正确的是 ( A . lg 4 - lg 7 = lg(4 - 7) ; B. 4lg 3 = lg 3 4 ; C. lg 3 + lg 7 = lg(3 + 7) ; D. e
lg N

)

x ? log a x ? log a y (3) log a y
(4) log a xy ? log a x ? log a y (5) (log a x) ? n log a x
n

?N.

3.设 lg 2 ? a , lg3 ? b ,试用 a 、 b 表示

log5 12 .

(6) log a x ? ? log a (7) n log a x ?

1 x

1 log a x n

例 2、 用 log a x ,log a y ,log a z 表示出 (1) (2)小题,并求出(3) 、 (4)小题的值. (1) log a 变式:已知 lg 2 = 0.3010,lg 3 = 0.4771, 求 lg 6 、 lg12 、 log 2

xy ; z
7 5

(2) log a

x2 y
3

3 的值.

8



(3) log z (4 ? 2 ) ; (4) lg 5 100 .

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4.计算:

7 ? lg 7 ? lg18 ; 3 lg 27 ? lg8 ? 3lg 10 lg 243 (2) ; (3) . lg1.2 lg 9
(1) lg14 ? 2lg

7.求 (lg 2) + (lg 5) + 31lg 2 lg 5 的值

2

2

2 2 8.化简 (lg 25) ? lg 25 lg 16 ? (lg 4)

5.计算 (1) log 2 (4 ? 25)
7

________;

9.试求 lg 2 2 ? lg 2 ? lg5 ? lg5 的值

(2) lg lg 5 100 = __________; 6.求值 (1) lg14 - 2lg

7 + lg 7 - lg18 ; 3

(2)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg 243 ; (3) lg 1.2 lg 9

10. 设 a 、 b 、 c 为正数,且 3a ? 4b ? 6c , 1 1 1 求证: ? ? . c a 2b

课后反思:

13

第二章 基本初等函数

§2.2.2 对数函数及其性质(一)
学习目标: 通过具体实例, 直观了解对数函数模型 所刻画的数量关系, 初步理解对数函数的概 念,体会对数函数是一类重要的函数模 型.能够用描点法画出对数函数的图象.能 根据对数函数的图象和性质进行值的大小 比较. 学习重点:对数函数的图象和性质 学习难点:对数函数的图象和性质及应用

的图象 y ? log 2 x ; y ? log 0.5 x

【课内导学】 (一)预习导引:
?1? 画出 y ? 2 、 y ? ? ? 的图像,并以这两 ?2? 个函数为例,说说指数函数的性质.
x
x

⑤ 讨论:根据图象,你能归纳出对数函数 的哪些性质? 列表归纳:分类 → 图象 → 由图象观察 (定义域、值域、单调性、定点) 引申:图象的分布规律? 2、总结出的表格(略) 【例题分析】 例 1: (P71 例 7)求下列函数的定义域 (1) y = log a x ; (2) y ? log a (4 ? x) ( a >0 且 a ≠1) (3) y = log 3 ( x + 3x - 4)
2

2

(二)课内探究;
1.对数函数的图象和性质: ① 定义:一般地,当 a>0 且 a≠1 时,函 数 y = log a x(a > 0且a 1) 叫 做 对 数 函 数. ② 辨析: 对数函数定义与指数函数类似, 都是形式定义, 注意辨别, 如:y ? 2log 2 x , 而只能称其 y ? log5 (5 x) 都不是对数函数, 为对数型函数;对数函数对底数的限制 (a ? 0 ,且 a ? 1) . ③ 探究:类比前面讨论指数函数性质的思 路,提出研究对数函数性质的内容和方法: 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究 函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、 最大(小)值、奇偶性. ④ 练习:同一坐标系中画出下列对数函数 例 2. (P72 例 8)比较下列各组数中的两个 值大小 (1) log 2 3.4 , (2) log 0.3 1.8 , (3)log a 5.1,

log 2 8.5

log 0.3 2.7 log a 5.9( a >0, 且 a ≠1)

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【课后导练】
1.下列不等式中,不能成立的是( ) A.log 1 0.2<1; B.log 1 2>log 1 3;
2 3 3

7.比较下列各题中两个数值的大小: (1) log 2 3和log 2 3.5 ; (2) log0.3 4和log0.2 0.7 ; (3) log0.7 1.6和log0.7 1.8 ; (4) log2 3和log3 2 .

7 1 4 3 <log 1 ; D log2 >log2 . 2 7 3 4 3 2.与函数 y = x 有相同图象的一个函数是
C.log5 ( ) A.y= C. y=

x 2 ; B.y= a log x (a ? 0, a ? 1) ;
a

x2 x ; D y= log a a (a ? 0, a ? 1) . x 3. 函数 y = lg ( x - 1) 的反函数__________;
4.函数 y = log 3 ( x + 3 x - 4 ) 的定义域为
2

___________; 5 已知函数 f ( x ) = log 2 (- x + 3 x - 2) 的
2

8. 已知下列不等式, 比较正数 m、 n 的大小: log 3 m < log 3 n ; log 0.3 m > log 0.3 n ;

定义域为 P, g ( x ) =

x-

的定义域为 Q,求 P ? Q.

3 + log 1 (4 - x ) 2 3

lo g a m> log a n (a>1

课后反思:

§2.2.2 对数函数及其性质(二)
6 求下列函数的定义域: (1) y = log 0.2 (- x - 6) ; (2) y ? 3 log 2 x . 学习目标: 了解对数函数在生产实际中的简单应 用.进一步理解对数函数的图象和性质;学 习反函数的概念, 理解对数函数和指数函数 互为反函数, 能够在同一坐标上看出互为反 函数的两个函数的图象性质. 学习重点与难点:理解反函数的概念

【课内导学】
(一)预习导引: 1. 提问: 对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图象和性质? 2.比较两个对数的大小: ① log10 7 与 log10 12 ; ② log 0.5 0.7 与 log 0.5 0.8

15

第二章 基本初等函数

(二)课内探究
1.对数函数模型思想及应用: 讨论:抽象出的函数模型? 如何应用函数 模型解决问题? → 强调数学应用思想 2.反函数的教学: ①引言:当一个函数是一一映射时,可以把 这个函数的因变量作为一个新函数的自变 量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变 量.我们称这两个函数为反函数. ② 探究:如何由 y ? 2 x 求出 x? ③ 分析:函数 x ? log 2 y 由 y ? 2 x 解出,是 把指数函数 y ? 2 x 中的自变量与因变量对 调位置而得出的.习惯上我们通常用 x 表示 自变量,y 表示函数,即写为 y ? log 2 x . 那么我们就说指数函数 y ? 2 与对数 函数 y ? log 2 x 互为反函数 ④ 在同一平面直角坐标系中,画出指数函 数 y ? 2 及其反函数 y ? log2 x 图象,发现 什么性质? ⑤ 分析:取 y ? 2 x 图象上的几个点,说出 它们关于直线 y ? x 的对称点的坐标,并判 断它们是否在 y ? log 2 x 的图象上,为什 么?
x ⑥ 探究:如果 P 0 ( x0 , y0 ) 在函数 y ? 2 的图 象上,那么 P0 关于直线 y ? x 的对称点在函 x x

三、课后导练 1、函数 f ( x) ? log 0.5 (2 x ? 3x ? 1) 的递减
2

区间为(

) B. (- ? ,

3 ) ; 4 1 1 C. ( ,+ ? ) ; D. (- ? , ) . 2 2 2、 函数 y ? log 1 (1 ? 3x) 的定义域是 ( )
A. (1,+ ? ) ;
3

A. [0, ) ; C (??,0) ;

1 3

B. ( ,?? ) ; D ( ??, ) .

1 3

3、 使对数式 log ( x ?1) (3 ? x) 有意义的 x 的取 值范围为__________. 4、函数 y ? log 1 ( x ? 6 x ? 18) 的值域是
2 3

1 3

_______________. 5.求下列函数的反函数: (1) y ? 3x ; (2) y ? log6 x (小结步骤:解 x ;习惯表示;定义域)

数 y ? log 2 x 的图象上吗,为什么? 由上述过程可以得到什么结论? (互为 反函数的两个函数的图象关于直线 y ? x 对称) (三)例题分析 例 1、求下列函数的反函数 (1) y ? 5
x

6、己知函数 f ( x) ? a ? k 的图象过点(1,
x

(2) y ? log 0.5 x

3)其反函数的图象过(2,0)点,求 f ? x ? 的表达式

例 2、 求函数 log 1 ( x ? 6 x ? 17 ) 的定义域、
2 2

值域和单调区间 课后反思:

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§2.3 幂函数
学习目标: 通过具体实例了解幂函数的图象和性 质, 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对 称性并能进行简单的应用. 学习重点: 从五个具体幂函数中认识幂函数的一 些性质. 学习难点: 画五个幂函数的图象并由图象概括其 性质.

归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律: (Ⅰ)所有的幂函数在 (0,+∞) 都有定义, 并且图象都过点(1,1) ; (Ⅱ) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点, 并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地, 当 ? ? 1时, 幂函数的图象下凸; 当0 ?? ?1 时,幂函数的图象上凸; (Ⅲ) ? ?0 时,幂函数的图象在区间 在第一象限内, 当x从 (0,??) 上是减函数. 右边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限地逼 近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 【例题分析】 例 1、利用幂函数的性质,比较下列各题中 两个幂的值的大小:
3 6 5
3

【课内导学】
(一)预习导引: (1)边长为 a 的正方形面积 S ? a ,这里 S 是 a 的函数;
2

(2)面积为 S 的正方形边长 a ? S ,这里 a 是 S 的函数; (3)边长为 a 的立方体体积 V ? a ,这里 V 是 a 的函数; 观察上述三个函数,有什么共同特征?(指 数定,底变)
3

1 2

(1) 2.3 4 , 2 .4 4 ; (2) 0.31 , 0.35 ; (3) ( 2 ) (4) 1.1
? 3 2
6 5

, ( 3)
1 ? 2

?

3 2



【课内探究】
幂函数的图象与性质 ① 给出定义: 一般地, 形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. ②作出下列函数的图象: (1) y ? x ; ( 2)
?1 2 (3) y ? x ; (4) y ? x ; ( 5) y?x ;
1 2

1 ? 2,

0 .9 .

?

y ? x3 .
观察图象,举例学习这类函数的一些性质. 例 2 证明幂函数 f ( x) ? 增函数

x在[0, ??] 上是



17

第二章 基本初等函数

课后导练: 2.如图所示,曲线是幂函数 y ? x 在第一 象限内的图象,已知 ? 分别取 ? 1,1, ,2 四 个值, 则相应图象依次为: .
?

1 2

2.在同一坐标系内,作出下列函数的图象 的草图,你能发现什么规律? (1) y ? x 和 y ? x
5 4
?3

?

1 3;

(2) y ? x 和 y ? x .

4 5

3.比较大小: ① (2 ? a ) 与 2
2 ? 2 3
? 2 3

; ② 1.1
6 5

?

1 2与

0 .9 ;
6 5

?

1 2

③ 2.3 与 2 .4 ; ④ 0.31 与 0.35 ; ⑤ ( 2)
? 3 2

3 4

3 4

与 ( 3)

?

3 2



课后反思:


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