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二元一次方程组复习.


?a ? b ? 4 ① ? ?b ? c ? 6 ② ?c ? a ? 8 ③ ?

定义

二 元 一 次 方 程 组

二元一次方程组的解 基本解法 基本思路 代入法 加减法 消元

应用-10类方程组解应用题

一.二元一次方程组
篮球联赛中,每场比赛都要分出

胜负,每 队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争 取较好名次,想在全部16场比赛中得到28分, 那么这个队胜负场数分别是多少? 等量关系: 解:设该队胜了X场, 负了y场

胜的场数+负的场数=总场数

胜场积分+负场积分=总积分

x + y = 16



2x + y = 28 ②
观察上面两个方程,是否为一元一次方程?
这两个方程有什么共同特点?
方程中 含有两个未知数 , 并且未知数的项的次数都是1 , 像这样的方程叫做二元一次方程.

判断点:1、未知数几个? 2个 判断点:2、每个未知数最高次数是几次? 1次 判断点:3、等式两边都是 整式

请帮下列各等式找到自己的家。
(1)x+y=11

(2)m+1=2

(3)x2+y=5

(5) -5x=4y+2

(6)7+a=2b+11c

(4)3X-π=11 2 (7)7x+ =13 y

二元一次方程 不是二元一次方程

判断点:1、未知数几个? 2个

判断点:2、每个未知数最高次数是几次? 1次 判断点:3、等式两边是 整式

篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分, 负一场得1分.某队为了争取较好名次,想在全部16场比赛 中得到28分,那么这个队胜负场数分别是多少? 等量关系: 胜的场数+负的场数=总场数

胜场积分+负场积分=总积分

解:设该队胜了X场,负了y场, 根据题意可得方程:

思考:在这 两个方程 中,x的含义 相同吗?y呢?

x + y = 16
2x + y = 28
像这样,把具有相同未知数的两个二元一次方程 合在一起就组成了一个二元一次方程组.

把具有相同未知数的两个一次方程合在 一起,就组成了一个二元一次方程组。
x + y = 16
2x + y = 28

x+y=2
x–y=1

请你说说二元一次方程组有哪些特点? ①方程组中共有2个不同未知数;

②方程组有2个一次方程;
③一般用大括号把2个方程连起来。

下列哪些是二元一次方程组?并说明理由。
(1) x+y= 2 x-y=1 x=0 y=1 x-3y=8 xy=6 (2)

(是 )
(4)

x+ y = 1 x=y z=x+1 2x-y=5 3x=5y 2x-y=0

1

(不是)
(不是) (是 )

(3)

(是 )
(6)

(5)

(不是)

通过上面问题,你认为二元一次方程组 有哪些特征?

练一练:
1.填表:使每对x,y的值是方程3x+y=5的解.
x
y

-2
11

0
5

0.4
3.8

2
-1

1.8 -0.4

2 -1

1.5 0.5

1 2

2.已知下列三对数值
x=1 x=2 x=2

x=1 y=6

x=1 y=7

x=2 y=5

, y=5 y=6 ________是方程x+y=7的解;

x=1

, y=5 是方程2x+y=9的解, y=7 ________ x=2 X + y=7 y=5 _______是方程组 2x+y=9 的解.

1、每个方程都含有两个未知数,并且未知数的项的 次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程。 2、把含有两个未知数的两个一次方程合在一起, 就组成了一个二元一次方程组。 3、使二元一次方程两边的值相等的两个未知 数的值,叫做二元一次方程的解。 4、二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做 二元一次方程组的解。 5、二元一次方程有无数个解;

二、二元一次方程组的解法
基本思想或思路——消元 常用方法————代入法和加减法 根据方程未知数的系数特征确定用 哪一种解法.

回顾与思 考
(1).用代入法解方程的步骤是什么?
主要步骤:

变形
代入

求解
写解

用一个未知数的代数式 表示另一个未知数 消去一个元 分别求出两个未知数的值 写出方程组的解

回顾与思 考
(2).用加减法解方程的步骤是什么?
主要步骤: 变形 加减 求解 写解 同一个未知数的系 数相同或互为相反数 消去一个元

求出两个未知数的值
写出方程组的解

巩固练习
C 解以下两个方程组,较为简便的是( ) ① ? y ? 2x ? 1 ② ?8s ? 6t ? 25 ? ? ?17s ? 6t ? 48 ?7 x ? 5 y ? 8

A.①②均用代入法 B.①②均用加减法 C.①用代入法②用加减法 D.①用加减法②用代入法

解三元一次方程组的基本思路与解 二元一次方程组的基本思路一样,即
三元一次方程组
消元

二元一次方程组

消元

一元一次方程

3x – 2y = 19 未知数系数为1或-1 例: (1) 2x + y = 1 时常用代入法 ① 解: 3x – 2y = 19 2x + y = 1 ② 1、将方程组里的一个方程变 形,用含有一个未知数的一次 y = 1 – 2x ③ 由②得: 式表示另一个未知数 把③代入①得: 2、用这个一次式代替另一个 3x – 2(1 – 2x)= 19 方程中相应的未知数,得到一 3x – 2 + 4x = 19 个一元一次方程,求得一个未 3x + 4x = 19 + 2 知数的值 7x = 21 x=3 3、把这个未知数的值代入一 把x = 3代入③,得 次式,求得另一个未知数的值 y = 1 – 2x = 1 - 2×3= - 5 x=3 ∴ 4、写出方程组的解 y=-5

(2).

加减法消元时,先要把 相同未知数的系数化为 相同或相反

思考:在例2中,你还能用什么方法解题? 解:

①×2,得: 4x+6y=38 ②×3,得: 9x-6y=27




③+④,得: 13x=65 x=5 把x=5代入①,得: y=3 x = 5 ∴ y=3

? 2( x ? y) x ? y ? ? ? 1 ? (3). 4 ? 3 ? ?6( x ? y) ? 4(2 x ? y) ? 16

复杂方程 先化简

解:原方程组化简为: ?5 x ? 11y ? ?12 ? ?? 2 x ? 10 y ? 16



? x ? y ? 27 ? ( 4). ? y ? z ? 33 ? x ? z ? 30 ?
? x ? y ? z ? 45 z ? 18 x ? 12 y ? 15

(1) ( 2) (3)
( 4)

解 : (1) ? ( 2) ? (3) 得 2( x ? y ? z ) ? 90 ( 4) ? (1) ( 4) ? ( 2) ( 4) ? (3) ? x ? 12 ? ? ? y ? 15 ? z ? 18 ?

巩固练习
?5 x ? 4 y ? 4 z ? 13 ? ?2 x ? 7 y ? 3 z ? 19 ?3 x ? 2 y ? z ? 18 ?

三.列二元一次方程组解应用题

用两个字母表示问题中的两个未知数
分析题意,找出两个等量关系

列 列出方程组
根据等量关系列出方程组

解 解方程组,求出未知数的值 验 检验求得的值是否正确和符合实际情形 答 写出答案

1.行程问题:
1.相遇问题:甲的路程+乙的路程=总的路程 (环形跑道):甲的路程+乙的路程=一圈长

2.追及问题:快者的路程-慢者的路程=原来相距路



(环形跑道): 快者的路程-慢者的路程=一圈长 3.顺逆问题:顺速=静速+水(风)速

逆速=静速-水(风)速

V1
A

V2 S
B

S=T(

V1

+

V2



同时异地追及问题 乙的路程-甲的路程=甲乙之间的距离

T(

V 乙

- V甲 )=s

t
乙 甲

S

同时同地同向在同一跑道进行比赛

A

B

当男生第一次赶上女生时

男生跑的路程-女生跑的路程=跑道的周长

船在逆水中的速度=船在

静水中的速度-水流的速度

水流方向

轮船航向

船在顺水中的速度=船在 静水中的速度+水流的速度

水流方向

轮船航向

例1.A、B两地相距36千米.甲从A地出发步行 到B地,乙从B地出发步行到A地.两人同时出 发,4小时相遇,6小时后 ,甲所余路程为乙所 余路程的2倍,求两人的速度. 解:设甲、乙的速度分别为x千米/小时和y千米/小时. 依题意可得:

?4 x ? 4 y ? 36 ? ?4 y ? 2 x ? 2(4 x ? 2 y)

?x ? 4 解得 ? ?y ? 5
答:甲、乙的速度分别为4千米/小时和5千 米/小时.

例2.某人要在规定的时间内由甲地赶往 乙地,如果他以每小时50千米的速度行 驶,就会迟到24分钟,如果他以每小时75 千米的速度行驶,就会提前24分钟 到达 乙地,求甲、乙两地间的距离.
解:设甲、乙两地间的距离为 S千米,规定 、 时间为t小时,根据题意得方程组

2 ?s ? t ? ? ? 50 5 ? ? s ?t?2 ? 5 ? 75

例3.甲、乙二人以不变的速度在环形路上 跑步,如果同时同地出发,相向而行,每隔2 分钟相遇一次;如果同向而行,每隔6分钟 相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲、乙每分 钟各跑多少圈?
解:设甲、乙二人每分钟各跑x、y圈,根据 题意得方程组 ?2( x ? y) ? 1
1 ? x? ? ? 3 解得 ? ?y ? 1 ? 6 ?

? ?6( x ? y) ? 1

答甲、乙二人每分钟各跑 1 、 1 圈, 3 6

例4:甲,乙两辆货车从相距60km的两地同 时出发,相向而行,2h后两车相遇。已知甲 车每小时比乙车快10km,求甲乙两车速度? 思考: 1.该题中有哪些已知量,未知量?
2.各个量之间的关系是什么? 3. 等量关系是什么? 4.如何列方程(组)?
60km 甲 甲车行的路程 乙

相 遇

乙车行的路程

变式:甲,乙两辆货车从相距60km的两地同时出发, 如果相向而行2h相遇,如果同向而行,甲6h追上乙, 试问甲乙两车的速度各是多少?

同时出发,同向而行:
甲6h行程
甲追上乙 甲

60km



乙6h行程

相等关系: 甲6h行程 —乙6h行程=60km 同时出发,相向而行: 甲2h行程 甲
相 遇 乙2h行程

相 遇



60km
相等关系: 甲2h行程 + 乙2h行程=60km 4 归纳: 千 米 相遇问题: A.B之间的路程=甲走的路程 +乙走的路程 追及问题:追及路程=甲走的路程-乙走的路程

例5. 某站有甲、乙两辆汽车,若甲车先出发 1h后乙车出发,则乙车出发后5h追上甲车; 若甲车先开出30km后乙车出发,则乙车出 发4h后乙车所走的路程比甲车所走路程多 10km.求两车速度.

解:设甲乙两车的速度分别为

x Km/h、y Km/h 根据题意,得 5y=6x 解之得 X=50 Y=6o 4y=4x+40 答:甲乙两车的速度分别为 50km、60km 5y

若甲车先出发1h后 乙车出发,则乙车 出发后5h追上甲车
若甲车先开出30km后乙 车出发,则乙车出发4h 后乙车所走的路程比甲车 所走路程多10km.

x
4y

5x

30km

4x

例6.一列快车长230米,一列慢车长220 米,若两车同向而行,快车从追上慢车 时开始到离开慢车,需90秒钟;若两车 相向而行,快车从与慢车相遇时到离开 慢车,只需18秒钟,问快车和慢车的速 度各是多少?

解:设快车、慢车的速 度分别为xm/s、ym/s 根据题意,得
90(x-y)=450

快车长230米,慢车长220 米,若两车同向而行,快 车从追上慢车时开始到离 开慢车,需90秒钟


230m



220m





450m

解:设快车、慢车的速 度分别为xm/s、ym/s 根据题意,得
90(x-y)=450 18(x+y)=450

若两车相向而行,快车 从与慢车相遇时到离开 慢车,只需18秒钟
X=15 Y=10

解之得

答:快车、慢车的速度分别为15m/s、10m/s
230m 甲 乙 220m

230m

甲 乙

220m

450m

18s

例7.甲、乙两人在周长为400m的 环形跑道上练跑,如果相向出发, 每隔2.5min相遇一次;如果同向出 发,每隔10min相遇一次,假定两人 速度不变,且甲快乙慢,求甲、乙 两人的速度.

解:设甲乙两人的速度分 别为xm/min、ym/min 根据题意,得
2.5(x+y)=400

甲、乙两人在周长为 400m的环形跑道上练 跑,如果相向出发,每 隔2.5min相遇一次

A

B

解:设甲乙两人的速度分 别为x m/min、y m/min 根据题意,得
2.5(x+y)=400 10(X-Y)=400
甲 乙

甲、乙两人在周长为400m的 环形跑道上练跑,如果同向出 发,每隔10min相遇一次

解之得

X=100 答:甲乙两人的速度分别 Y=60 为100m/min、60m/min

A

B

环形跑道追及问题等 同于异地追及问题
甲 乙

A

B

C

例8.已知A、B两码头之间的距离为240km,一艏 船航行于A、B两码头之间,顺流航行需4小时 ;逆 流航行时需6小时, 求船在静水中的速度及水流 的速度.
解:设船在静水中的速度及水流的速度 分别为xkm/h、ykm/h,根据题意,得 4(x+y)=240 6(x-y)=240 解之得 X=50 Y=10

答:船在静水中的速度及水流的速度 分别为50km/h、10km/h

例9: 甲、乙两人相距42km,如果两人同时从两地 相向而行,2小时后相遇,如果两人同时从两地同 向而行,14小时后乙追上甲,求二人的速度?

分析: 1



相遇



S甲+S乙=42 2
追上 甲 乙

S乙- S甲=42

解:设甲乙二人的速度分别为每小时x千 米,每小时y千米,根据题意得:

?2 x ? 2 y ? 4 2 ? ?1 4 y ? 1 4x ? 4 2 ?x ? y ? 21 ? ?y ? x ? 3 解方程组,得: ?x ? 9 ? ? y ? 12
化简,得:

答:甲乙二人的速度分别为9千米/小时, 12千米/小时.

例10: 小明骑摩托车在公路上匀速行驶,12:00 时看到里程碑上的数是一个两位数,它的数字之 和是7;13:00时看里程碑上的两位数与12:00时看 到的个位数和十位数颠倒了;14:00时看到里程碑 上的数比12:00时看到的两位数中间多了个零,小 明在12:00时看到里程碑上的数字是多少? 解:设小明在12:00时看到的数的十位数字是x, 个位的数字是y,那么 x+y=7 (10y+x)-(10x+y)=(100x+y)-(10y+x) x=1 解之: y=6 答:小明在12:00时看到的数字是16。

练一练:
1.A、B两地相距20千米,甲、乙两人分别从A、B两地出 发,相向而行,2小时后相遇,相遇后甲回A地,乙继续前 进,当甲回到A地时,乙距A地还有2千米,求两人的速度?

20千米
2千米

A


B


练一练:
2.甲、乙两人相距6千米,两人同时出发,若同向而行, 则甲3小时可追上乙;若相向而行,1小时相遇,求两人的 速度?
追 上


6千米





相 遇



练一练:
3.一批机器零件共350个,甲先做2天,乙加入合做,又 经过2天,完成任务;如果乙先做2天,甲加入合做,需再 经过3天完成任务.问两人每天各做多少个零件? 4.A、B两地相距280千米,一轮船在A、B两地往返航行, 顺流航行需14小时,逆流航行需20小时,求轮船在静水中 的速度和水流速度?

顺流时:轮船的行驶速度=静水中的船速+水速; 逆流时:轮船的行驶速度=静水中的船速-水速;

2、工程问题:
工作量=工作时间×工作效率 工作时间=工作量/工作效率 工作效率=工作量/工作时间、

例1.某工人原计划在限定时间内加工一批 零件.如果每小时加工10个零件,就可以超 额完成3 个;如果每小时加工11个零件就可 以提前1h完成.问这批零件有多少个?按原 计划需多少小时 完成?
解:设这批零件有x个,按原计 划需y小时完成,根据题意,得
10y=x+3

解之得

X=77 Y=8

11(y-1)=x

答:这批零件有77个,按计划需8 小时完成

例2.甲乙两家服装厂生产同一规格的上衣和裤 子,甲厂每月(按30天计算)用16天生产上衣,14 天做裤子,共生产448套衣服(每套上、下衣各 一件);乙厂每月用12天生产上衣,18天生产 裤子,共生产720套衣服,两厂合并后,每月 按现有能力最多能生产多少套衣服?
填写下表
工厂 上衣(裤子) 生产天数 生产套数 甲 上衣 裤子 乙 上衣 裤子

16 448

14

12

18

720

工厂
上衣(裤子) 生产天数 生产套数


上衣 16 裤子


上衣 裤子

14 448

12

18

720

解:设两厂合并后该厂用x天生产上衣,y天生 产裤子,则共生产(448/16+720/12 )x套衣服, 由题意得
X+y=30 (448/16+720/12)x=(448/14+720/18)y 解之得
X=13.5 Y=16.5

所以88x=88· 13.5=1188

3、商品经济问题

本息和=本金+利息
利息=本金×年利率×期 数×利息税

利息所得税=利息金额×20℅

例1李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年 后全部取出,扣除利息所得税后可得利息43.92元,已 知这两种储蓄的年利率的和为3.24℅,问这两种储蓄 的年利率各是几分之几?(注:公民应交利息所得税= 利息金额×20℅)

解:设这两种储蓄的年利率 分别是x、y,根据题意得
x=2.25% 解之得 y=0.99% 2000x80%+1000y80%=43.92
x+y=3. 24%

答:这两种储蓄的年利蓄分别为2.25%、0.09%

4、配套问题
例1.某车间22名工人生产螺钉与螺母,每人每天平均 生产螺钉1200个或螺母2000个,一个螺钉要配两个螺 母,为了使每天生产的产品刚好配套,应该分配多少 名工人生产螺钉,多少名工人生产螺母? 螺钉数:螺母数=1:2 一个螺钉配两个螺母
解:设分配名x工人生产螺钉,y名工人生产螺母,则一天 生产的螺钉数为1200x个,生产的螺母数为2000y个. 根据题意, 得
x+y =22 2×1200x=2000y

解得

x=10 Y =12

所以为了使每天生产的产品刚好配套,应安排 10人生产螺钉,12人生产螺母

2.某车间有90名工人,每人每天平均能生产螺栓15个或螺 帽24个,要使一个螺栓配套两个螺帽,应如何分配工人才 能使螺栓和螺帽刚好配套?设生产螺栓x人,生产螺帽y人, 列方程组为( )

? x ? y ? 90 A、 ? ?15x ? 24y

c

?x ? 90 ? y B、 ? ?48y ? 15x

? x ? y ? 90 C、? ?30x ? 24y

? y ? 90 ? x D、 ? ?2(15 ? x) ? 24y

例3.某工地需雪派48人去挖土和运土,如果 每人每天平均挖土5方或运土3方,那么应该 怎样安排人员,正好能使挖的土能及时运走?
每天挖的土等于每天运的土

解:设安排x人挖土 ,y人动土, 则一天挖土5x ,一 天动土3y方
根据题意,得

x+y=48 5x=3y

解得 X=18
Y=30

所以每天安排18人挖土,30 人运土 正好能使挖的土及时运走

例4.用白钢铁皮做头,每张铁皮可做盒身25 个,或

做盒底40个,一个盒身与两个盒 底配成一套,现 有36张白铁皮,用多少张做盒 身,多少张做盒 底, 可使盒 身与盒 底正好配套?
解:设用x张白铁皮做盒身,用y张制盒底, 则共制盒身25x个,共制盒底40y个. 根据题意 ,得
x+y=36 2×25x=40y

解得

X=16 Y=20

所以用16张制盒 身,20张制盒 底 正好使盒身与盒底配套

例5.一张方桌由1 个桌面、4条桌腿组成,如果1 立方米木料可以做方桌的桌面50个,或桌腿300 条,现有5立方米的木料,那么用多少立方米木料 做桌面、多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和桌 腿恰好配成方桌?能配成 多少方桌?
解:设用x立方米做桌面,y立方米做桌腿,则可以做 桌面50x个,做桌腿300y条 根据题意 ,得 x+y=5 4×50x=300y 解得 X=3 Y=2

所以用3立方米做桌面 ,2立方米做桌腿, 恰能配成方桌,共可做成150张方桌。

例6.某车间每天能生产甲种零件120个,或者乙种 零件100个,或者丙种零件200个,甲,乙,丙3 种零件分别取3个,2个,1个,才能配一套,要 在30天内生产最多的成套产品,问甲,乙,丙3 种零件各应生产多少天?
解 : 设甲种零件生产 x 天 , 乙种生产 y 天 , 丙种生产 z 天 . ? x ? y ? z ? 30 根据题意 得 ? ?120x : 100y : 200z ? 3 : 2 : 1 ? x ? y ? z ? 30 ? 化简 得 ? x ? 5z ? y ? 4z ? ? x ? 15 ? 解之得 ? y ? 12 ?z ? 3 ?

答 : 甲 , 乙 , 丙 3 种零件各应生产15 天 , 12 天 , 3 天 .

五、比例问题

例1.现有甲乙两种金属的合金10kg,如果加入甲 种金属若干千克,那么这块金属中乙种金属占2份, 甲种金属占3份;如果加入的甲的金属增加1倍,那 么合金中乙种金属占3份,甲种金属占7份,问第一 次加入的甲种金属有多少?原来这块合金种含甲 种金属的百分比是多少 ?
解:设原来这块合金中含甲金属xkg,这块合金中含乙种 金属(10-x)kg,第一次加入的甲种金属ykg.根据题意,得 x+y=3/5(10+y) x+2y=7/10(10+2y) 解得 x=4 y=5

所以第一次加入 的金属5kg,原来这块合金 中含种甲金属40%

六.数字数位问题:

1. 如果一个两位数的十位数字为x,个位上的数字 10x+y 为y,那么这个两位数可表示为 ___________; 如果 10y+x 交换个位和十位数字,得到的新两位数为________. 2. 两个两位数分别为x和y,如果将x放到y的左边 就得到一个四位数,那么这个四位数可表示为 100x+y 如果将x放到y的右边就得到一个新 ___________; 的四位数,那么这个新的四位数可表示为 100y+x ___________. 3. 一个两位数的十位数字为x,个位上的数字为 y,如果在它们的中间加一个零,变成一个三位数, 100x+y 那么这个三位数可表示为___________.

例1.一个两位数,个位上的数与十位上 的数的和是7,如果把十位与个位上的 数对调,那么所得到的两位数 比原两 位数大9,求原两位数? 新两位数-原两位数=9
解:设原两位数十位上的数是x,则个位上的数是x-7。

根据题意得 :10(x-7)+x-[10x+(x-7)]=9

例 2: 已知一个两位数,十位数字比 个位数字大3 ,将十位数字与个位 数字对调所得的新数比原数小27, 求这个两位数。 若设十位数字为x,个位数字为y,则
十位 原数 新数 x y 个位 y x 两位数的代数式 10x+y 10y+x

例3: 两个两位数的和为 68,在较大的两位数在 右边接着写较小的两位数, 得到一个四位数; 在较大的两位数的左边接着写较小的两位数, 也得到一个四位数. 已知前一个四位数比后一 个四位数大2178, 求这两个两位数.

两个两位数的和为 68,在较大的 两位数的右边接着写较小的两位数,得 到一个四位数;在较大的两位数的左边 接着写较小的两位数,也得到一个四位 数. 已知前一个四位数比后一个四位数 大2178, 求这两个两位数.
若设较大的两位数为x,较小的两位数为y,则
左边 原数 新数 x y 右边 y 四位数的代数式 100x+y

x

100y+x

解:设较大的两位数为x,较小的两位数为y,则

? x ? y ? 68 ? ?(100x ? y ) ? (100y ? x) ? 2178 ? ? x ? y ? 22 解方程组,得: ? x ? 45 ? ? y ? 23
答:这两个两位数分别是45和23.

化简,得: ? x ? y ? 68

1.一个两位数的十位数字与个位数字的和是7, 如果这个两位数加上45,则恰好成为个位数字 与十位数字对调后组成的两位数,求这个两位 数。

七.年龄问题:
? 基本关系:两个年龄差不会变 ? 寻找思路方法:抓住年龄增长,一年一岁

甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你 才4岁.”乙对甲说:“当我的岁数是你现在的岁 数时,你将61岁.”问甲、乙现在各多少岁?
现在年龄 将来年龄 甲比乙大的岁数

甲 乙

X

y

X+(x-y) Y-(x-y)

61 4

x-y

解:设甲、乙现在的年龄分 从问题情境可以知知道甲 别是x、y岁根据题意,得 的年龄大于乙的年龄 y-(x- y)=4 x=42 解得 X+(x-y)=61 y=23 答:甲、乙现在的年龄分别是42、23岁

八.等积变形
例1、如图:用直径为200毫米的圆钢,锻造一个长、宽、 高分别为300毫米、300毫米和80毫米的长方体毛坯底板, 应截取圆钢多少(圆柱的体积公式:体积 = 底面积 ? 高 线长.计算时?取3.14.要求结果误差不超过1毫米)?
200

x 80 300 300

圆 钢

长方体毛坯

(1)分析题意,找出等量关系 :

圆钢体积 = 长方体毛坯体积,
设应截取圆钢长为x毫米,

(2)用字母的一次式表示有关的量,是指圆钢的体积 是 ?(200/2)2 x 毫米.
(3)根据等量关系列出方程,得: ? ?(200/2)2 ? x = 300 × 300 × 80 x ? 230

(4)解方程求出未知数的值,即解这个方程得: 3.14 x =720

(5)检验求得的值是否正确和符合实际情形,并写出 答案:应截取圆钢的长为230毫米.

解:设应截取的圆钢长为x 毫米,根据题意得:

? ?(200/2)2 ? x = 300 × 300 × 80
3.14 x=720 x ? 230 答:应截取圆钢的长为230毫米 . 练习:1 )已知一圆柱形容器底面半径为5dm,高线长为1.5m,里面 盛有1m深的水,将底面半径为3dm,高线长为0.5m的圆柱形铁块 沉入水中,问容器内水面将升高多少?
5dm
1. 5m 0. 5m

3dm

分析:

根据以上演示我们知道了它们的等量关系:
水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积
?r2h 圆柱形体积公式是_______,

水升高后的体积 小铁块的体积
2 ?x 0.5 (__________)

0.32 0.5 ? (_________)

解:设水面将升高x米, 根据题意得
0.52 ?x = 0.32 0.5 ? 方程为:___________________
x =0.18 解这个方程:__________ 容器内水面将升高0.18m 答:______________________

中的长方形和正方形纸板作侧面和底面, 例2: 用如图一 做成如图二中竖式和横式的两种无盖纸盒。现在仓库 里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板,问两种 纸盒各做多少只,恰好使库存的纸板用完?

图一

图二

竖式纸盒展开图

横式纸盒展开图

做一个竖式盒子要用几张长方形纸板和几张正方形纸板?

例1 用如图一 中的长方形和正方形纸板作侧面和底面,做成如图二 中竖式和横式的两种无盖纸盒。现在仓库 里有1000张正方形纸板和2000张 长方形纸板,问两种纸盒各做多少只,恰好使库存的纸板用完?

图一

图二

竖式纸盒展开图

横式纸盒展开图

分析:

做一个竖式盒子要用几张长方形纸板和几张 正方形纸板? x只竖式 y只横式 合计 纸盒中 纸盒中 x 2y 1000 正方形纸板张数 4x 2000 长方形纸板张数 3y

练 习
图一

上题中如果改为库存正方形纸板500,长方形 纸板1001张,那么,能否做成若干只竖式纸盒 和若干只横式纸盒后,恰好把库存纸板用完?

图二

竖式纸盒展开图

横式纸盒展开图

x只竖式纸盒 中

y只横式纸 盒中 2y 3y

合计 500 1001

正方形纸板张数 长方形纸板张数

x 4x

九.图表问题
1.某学校现有甲种材料35㎏,乙种材料29㎏,制 作A.B两种型号的工艺品,用料情况如下表:
需甲种材料 1件A型工艺品 0.9㎏ 需乙种材料 0.3㎏

1件B型工艺品

0.4㎏

1㎏

(1)利用这些材料能制作A.B两种工艺品各多少件? (2)若每公斤甲.乙种材料分别为8元和10元,问制 作A.B两种型号的工艺品各需材料多少钱?

2. 下表是某一周甲、乙两种股票的收盘价 (股票每天交易结束时的价格)
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五星期六 甲 12

12.5 13.3

12.9

12.45 12.75 休盘 13.15 休盘



13.5

13.9 13.4

张师傅在该周内持有若干甲、乙两种股票,若 按照两种股票每天收盘价计算(不计手续费、 税费行等),该人账户中星期二比星期一多获 利200元,星期三比星期二多获利1300元,试 问张师傅持有甲、乙股票各多少股?

解:设张师傅持有甲种股票x股,乙种股票y 股,根据题意,得

?(12.5 ? 12) x ? (13.3 ? 13.5) y ? 200 ? ?(12.9 ? 12.5) x ? (13.9 ? 13.3) y ? 1300
解得

? x ? 1000 ? ? y ? 1500

答:张师傅持有甲种股票1000股,乙种股票 1500股.

3. 养牛场原有30只母牛和15只小牛,1天约需用饲料67
5kg;一周后又购进12支母牛和5只小牛,这时一天约需 用饲料940kg。饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需 饲料18-20kg,每只小牛1天约需饲料7-8kg, 你能否通过计算检验他的估计?
解:设: 平均每只母牛1天约需饲料xkg,每只小牛1天约需饲料ykg, (相等关系) 30只母牛和15只小牛,1天约需用饲料675kg 42只母牛和20只小牛,1天约需用饲料940kg 列

解得:

?30x ? 15y ? 675 ? ?42x ? 20y ? 940 ? x ? 20 ? ?y ? 5

平均每只母牛1天约需饲料20kg,每只小牛1天约需饲料5kg, 答:
李大叔对母牛的估计较准确,对小牛的估计偏高。

十.浓度

(1)求溶质

例 1 、现有浓度为 20 %的盐水 300 克和浓度为 30 %的盐水200克,需配制成浓度为60%的盐水, 问两种溶液全部混合后,还需加盐多少克? 解:设两种溶液全部混合后,还需加盐x克,注 意混合前后溶质总量不变,依题意得方程: 20%×300+30%×200+x=60%(300+200+x). 化简得2x=900.解这个方程得x=450. 答:两种溶液全部混合后,还需加盐450克.

(2)求溶剂
例 2 、要把浓度为 90 %的酒精溶液 500 克, 稀释成浓度为75%的酒精溶液,需加水 多少克. 解:设需加水 x克,因为加水前后溶质数 量不变,依题意得方程 75%(x+500)=90% ×500. 化简得15x=1500. 解这个方程得x=100. 答:需加水100克.

(3)求溶液
例3、有若干克4%的盐水蒸发了一些水分后, 变成 10 %的盐水,接着加进 4 %的盐水 300 克, 混合后变为6.4%的盐水, 问:最初有盐水多少克? 解:设最初有盐水 x 克,注意混合后的含盐量, 依题意得方程 4% ? x 4% ? x ? 4% ? 300 ? 6.4%( ? 300). 10% 化简得 1.44x=720. 解这个方程得x=500. 答:最初有盐水500克.

(4)求浓度
例 4 、甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是乙种硫酸溶液 的 1.5 倍,甲种硫酸溶液 5 份与乙种硫酸溶液 3 份混 合成的硫酸溶液含硫酸52.5%,求两种硫酸溶液含 硫酸的百分数. 解:设乙种硫酸溶液含硫酸的百分数为 x ,则甲种硫 酸溶液含硫酸的百分数为1.5x,依题意得方程 5×1.5x+3x=52.5%×8. 化简得105x=42.解这个方程得x=0.4=40%, 则 1.5x=1.5×0.4=0.6=60%. 答:甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是60%,乙种硫酸 溶液含硫酸的百分数是40%.

? 例5、有两种药水,一种浓度为60%,另一种浓度 为90%,现要配制浓度为70%的药水300g,则每 种各需多少克? 溶质 (浓度= 溶液=溶质+溶剂) 溶液

解:设需浓度为60%的药x水克, 90%的药水y克, x+y=300 根据题意,列方程组 60%x+ 90%y= 70%×300 X=100 解这个方程组,得 Y=200 答需浓度为60%的药100水克, 90%的药水200克,

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