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2014届高三数学一轮复习教案(函数)


函数
(一)函数 1.了解构成函数的要素,了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域. 2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法,能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。 3.了解分段函数,能用分段函数来解决一些简单的数学问题。 4.理解函数的单调性,会讨论和证明一些简单的函数的单调性;理解函数奇偶性的含义,会判断简单的函数奇 偶性。 5.理解函数的最

大(小)值及其几何意义,并能求出一些简单的函数的最大(小)值. 6.会运用函数图像理解和研究函数的性质. (二)指数函数 1.了解指数函数模型的实际背景。 2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。 3.理解指数函数的概念,会求与指数函数性质有关的问题。 4.知道指数函数是一类重要的函数模型。 (三)对数函数 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化 运算中的作用。 2.理解对数函数的概念;会求与对数函数性质有关的问题. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 与对数函数 互为反函数( ) 。 (四)幂函数 1.了解幂函数的概念。 2.结合函数 的图像,了解它们的变化情况。 (五)函数与方程 1.了解函数零点的概念,结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系。 2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. (六)函数模型及其应用
[来源:学科网]

1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长 的含义。 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应 用。 3.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。

定义域 定 义 对应法则 值域 映 射 函 数 性 质 奇偶性

区间

一元二次函数 一元二次不等式

指 数 函 数

根式

分数指数 指数方程 对数方程 对数的性质

指数函数的图像和性质

单调性 周期性 对数 积、商、幂与 根的对数 对数恒等式 和不等式 常用对数 自然对数 对数函数的图像和性质

反 函 数

互为反函数的 函数图像关系

对 数 函 数

函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题. 在近几年的高考试卷中,选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题,而且常考常新 .以基本函数为 模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点:①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、 不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的 热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

函数概念
(一)知识梳理
1.映射的概念 设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的任意元素,在集合 B 中都有唯一确定的 元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从 A 到 B 的映射,通常记为 f : A ? B ,f 表示对应法则 注意:⑴A 中元素必须都有象且唯一;⑵B 中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。 2.函数的概念 (1)函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的每一个数 x ,在集合 B 中都有唯一 确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数,通常记为 y ? f ( x), x ? A (2)函数的定义域、值域 在函数 y ? f ( x), x ? A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做 y ? f ( x) 的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值 叫做函数值,函数值的集合 f ( x) x ? A 称为函数 y ? f ( x) 的值域。 (3)函数的三要素:定义域、值域和对应法则 3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 ( 1) .图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; ( 2) .列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。 4.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

?

?

(二)考点分析
考点 1:映射的概念 例 1. (1) A ? R , B ? { y | y ? 0} , f : x ? y ?| x | ;
* 2 (2) A ? {x | x ? 2, x ? N } , B ? ? y | y ? 0, y ? N ? , f : x ? y ? x ? 2 x ? 2 ;

(3) A ? {x | x ? 0} , B ? { y | y ? R} , f : x ? y ? ? x . 上述三个对应 是 A 到 B 的映射. 个, B 到 A 的映射有 个, A 到 B

例 2.若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c} , a, b, c ? R ,则 A 到 B 的映射有 的函数有 个

例 3.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {?2, ?1,0,1, 2} ,如果从 M 到 N 的映射 f 满足条件:对 M 中的每个元素 x 与 它在 N 中的象 f ( x) 的和都为奇数,则映射 f 的个数是( )

( A) 8 个

( B) 12 个

(C ) 16 个

( D) 18 个

答案:1.(2) ;2.81,64,81;3. D 考点 2:判断两函数是否为同一个函数 例 1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) f ( x) ? (2) f ( x) ?

x 2 , g ( x) ? 3 x 3 ;
x x
, g ( x) ? ?

?1 ?? 1

x ? 0, x ? 0;

(3) f ( x) ? (4) f ( x) ?

2 n ?1

x 2 n ?1 , g ( x) ? ( 2 n ?1 x ) 2 n ?1 (n∈N*) ;
x ? 1 , g ( x) ?

x
2

x2 ? x ;
2

(5) f ( x) ? x ? 2 x ? 1 , g (t ) ? t ? 2t ? 1 [答案](1) 、 (2) 、 (4)不是; (3) 、 (5)是同一函数 考点 3:求函数解析式 方法总结: (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,则用待定系数法; (2)若已知复合函数 f [ g ( x)] 的解析式,则可用换元法或配凑法; (3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f ( x) 题型 1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式 例 1.已知二次函数 f ( x) 满足 f (2 x ? 1) ? 4 x ? 6 x ? 5 ,求 f ( x) (三种方法)
2

例 2. (09 湖北改编)已知 f ( 题型 2:求抽象函数解析式

1? x 1? x2 ,则 f ( x) 的解析式可取为 )= 1? x 1? x2
1 x

例 1.已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3x ,求 f ( x) 考点 4:求函数的定义域 题型 1:求有解析式的函数的定义域 (1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范围,实际操作时要注 意:① 分母不能为 0;② 对数的真数必须为正;③ 偶次根式中被开方数应为非负数;④ 零指数幂中,底数不等于 0;⑤ 负分数指数幂中,底数应大于 0;⑥ 若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦ 如 果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际 问题的定义域不要漏写。 例 1.(08 年湖北)函数 f ( x) ?

1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ) 的定义域为( ) x

A. (??,?4) ? [2,??) ;B. (?4,0) ? (0,1) ;C. [, ?4,0) ? (0,1] ;D. [, ?4,0) ? (0,1) 答案: D

题型 2:求复合函数和抽象函数的定义域 例 1. (2007·湖北)设 f ? x ? ? lg

2? x x? ?2? ,则 f ? ? ? ? f ? ? 的定义域为( 2? x ?2? ? x?



A. ?? 4,0? ? ?0,4? ;B. ?? 4,?1? ? ?1,4? ;C. ?? 2,?1? ? ?1,2? ;D. ?? 4,?2? ? ?2,4?
答案:B. 例 2.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 [a,b] ,求 y ? f ( x ? 2) 的定义域(a-2<=x<=b-2) 例 3.已知 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a,b] ,求函数 y ? f ( x) 的定义域(2+a<=x<=2+b) 例 4.已知 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是(-2,0) ,求 y ? f (2 x ? 1) 的定义域(-3<x<-1)

考点 5:求函数的值域 1. 求值域的几种常用方法 (1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法, 如求函数 y ? ? sin x ? 2 cos x ? 4 ,可变为 y ? ? sin x ? 2 cos x ? 4 ? (cos x ? 1) ? 2 解决
2 2 2

(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求, 如函数 y ? log 1 (? x ? 2 x ? 3) 就是利用函数 y ? log 1 u 和 u ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的值域来求。
2 2
2

(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。 如求函数 y ?

3 ? 13 3 ? 13 2x ? 1 的值域 [ , ] 2 2 x ? 2x ? 2
2

(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数 y ?

2 cos x ? 3 的值域,因为 cos x ? 1

(5)利用基本不等式求值域: (6)利用函数的单调性求求值域:

如求函数 y ?

3x 的值域 x ?4
2

如求函数 y ? 2 x ? x ? 2( x ? [?1,2]) 的值域
4 2
3 2

(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域 (8)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 40 x , x ?[?3,3] 的最小值。 (-48)

m , (m>0)的函数,m<0 就是单调函数了 x 4 三种模型: (1)如 y ? x ? ,求(1)单调区间(2)x 的范围[3,5],求值域(3)x ? [-1,0 ) ? (0,4],求值域 x
(9)对勾函数法 像 y=x+ (2)如 y ? x ?

4 求(1)[3,7]上的值域 (2)单调递增区间(x ? 0 或 x ? 4) x?4 , 1 x ?3
, (1)求[-1,1]上的值域 (2)求单调递增区间

(3)如

y ? 2x ?

函数的单调性
(一)知识梳理
1、函数的单调性定义: 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,区间 I ? A ,如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调增函数,I 称为 y ? f ( x) 的单调增区间;如果对于区间 I
内的任意两个值 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,那么就说 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调减函数, I 称为 y ? f ( x) 的单调减区间。 如果用导数的语言来,那就是:设函数 y ? f ( x) ,如果在某区间 I 上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为区间 I 上的增函 数;如果在某区间 I 上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为区间 I 上的减函数; 2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法: (1)①定义法(取值――作差――变形――定号) ;②导数法(在区间 (a, b) 内,若总有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;反之,若 f ( x) 在区间 (a, b) 内为增函数,则 f ?( x) ? 0 ,

b (a ? 0 , b ? 0) 型函数的图 x b b b b ],[ , ??) ,减区间为 [? , 0), (0, ]. 象和单调性在解题中的运用:增区间为 (??, ? a a a a
(2)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意 y ? ax ? (3)复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减 (4)若 f ( x) 与 g ( x) 在定义域内都是增函数(减函数) ,那么 f ( x) ? g ( x) 在其公共定义域内是增函数(减

函数) 。 3、单调性的说明: (1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域; (2)函数单调性定义中的 x1 , x 2 有三个特征:一是任意性;二是大小,即 x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) ;三是同属于 一个单调区间,三者缺一不可;

1 分别在 (??,0) 和 (0,??) 内 x 1 都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即 (??,0) ? (0,??) 内是单调递减的,只能说函数 y ? 的单调递 x
(3)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数 y ? 减区间为 (??,0) 和 (0,??) 。 4、函数的最大(小)值 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,如果存在定值 x0 ? A ,使得对于任意 x ? A ,有 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,那么称

f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的最大值;如果存在定值 x0 ? A ,使得对于任意 x ? A ,有 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,那么称 f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的最小值。

(二)考点分析
考点 1 函数的单调性 题型 1:讨论函数的单调性 例 1. (1)求函数 y ? log 0.7 ( x ? 3x ? 2) 的单调区间;
2

(2)已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x , 若 g ( x) ? f (2 ? x ) 试确定 g ( x) 的单调区间和单调性.
2 2

解: (1)单调增区间为: (2, ??), 单调减区间为 (??,1) , (2) g ( x) ? 8 ? 2(2 ? x ) ? (2 ? x ) ? ? x ? 2 x ? 8 , g ?( x) ? ?4 x ? 4 x ,
2 2 2

4

2

3

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 ,令 g ?( x) ? 0 , x ? 1 或 ?1 ? x ? 0 ∴单调增区间为 (??, ?1), (0,1) ;单调减区间为 (1, ??), (?1, 0) . 例 2. 判断函数 f(x)= x ? 1 在定义域上的单调性.?
2

解: 函数的定义域为{x|x≤-1 或 x≥1},? 则 f(x)=
x 2 ? 1 ,?

可分解成两个简单函数.? f(x)= u( x) , u( x) =x -1 的形式.当 x≥1 时,u(x)为增函数, u ( x) 为增函数.? ∴f(x)= x ? 1 在[1,+∞)上为增函数.当 x≤-1 时,u(x)为减函数, u ( x) 为减函数,?
2

2

∴f(x)= x ? 1 在(-∞,-1]上为减函数.?
2

题型 2:研究抽象函数的单调性 例 1.已知函数 f ( x) 的定义域是 x ? 0 的一切实数,对定义域内的任意 x1 , x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且 当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , (1)求证: f ( x) 是偶函数; (2) f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数; (3)解不等式 f (2 x ? 1) ? 2 .
2

解: (1)令 x1 ? x2 ? 1,得 f (1) ? 2 f (1) ,∴ f (1) ? 0 ,令 x1 ? x2 ? ?1 ,得∴ f (?1) ? 0 , ∴ f (? x) ? f (?1? x) ? f (?1) ? f ( x) ? f ( x) ,∴ f ( x) 是偶函数. (2)设 x2 ? x1 ? 0 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ?

x2 x x ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) x1 x1 x1

∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴

x2 x ? 1 ,∴ f ( 2 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) x1 x1

∴ f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数. (3)? f (2) ? 1 ,∴ f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2 , ∵ f ( x) 是偶函数∴不等式 f (2 x ? 1) ? 2 可化为 f (| 2 x ? 1|) ? f (4) ,
2 2

又∵函数在 (0, ??) 上是增函数,∴ | 2 x ? 1|? 4 ,解得: ?
2

10 10 ?x? , 2 2

即不等式的解集为 ( ?

10 10 , ). 2 2

题型 3:函数的单调性的应用 例 1.若函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是______(答:
2

a ? ?3 ));
例 2.已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数,则实数 a 的取值范围_____(答: ( , ??) ) ; x?2 2

考点 2 函数的值域(最值)的求法 求最值的方法: (1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。 (2)利用函数的单调性求最值: 先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值。 (3)基本不等式法:当函数是分式形式且分 子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得) 。 (4)导数法:当函数比较复杂时,一般采用此法(5)数形 结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围。

题型 1:求分式函数的最值 例 1. (2007 上海)已知函数 f ( x) ? [解析]当 a ?

x 2 ? 2x ? a 1 , x ? [1,??). 当 a ? 时,求函数 f ( x) 的最小值。 x 2

1 1 1 时, f ( x) ? x ? ? 2, f ' ( x) ? 1 ? 2 2 2x 2x

? x ? 1 ,? f ?( x) ? 0 。? f ( x) 在区间 [1,??) 上为增函数。 ? f ( x) 在区间 [1,??) 上的最小值为 f (1) ?
题型 2:利用函数的最值求参数的取值范围 例 2. (2008 广东) 已知函数 f ( x) ? 取值范围。 [ 解 析 ] ? f ( x) ?

7 。 2

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??). 若对任意 x ?[1, ??), f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的 x

x 2 ? 2x ? a ? 0 在 区 间 [1,??) 上 恒 成 立 ; ? x 2 ? 2 x ? a ? 0 在 区 间 [1,??) 上 恒 成 立 ; x


? x 2 ? 2 x ? ?a 在区间 [1,??) 上恒成立;? 函数 y ? x 2 ? 2 x 在区间 [1,??) 上的最小值为 3,? ? a ? 3

a ? ?3

函数的奇偶性
(一)知识梳理
1 、 函 数 的 奇 偶 性 的 定 义 : ① 对 于 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x , 都 有 f ( ? x ) ? ? f ( x) 〔 或 ,则称 f ( x) 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。②对于函数 f ( x) 的定义域内任意一 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 〕 个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) 〔或 f (? x) ? f ( x) ? 0 〕 ,则称 f ( x) 为偶函数. 偶函数的图象关于 y 轴对称。 ③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函 数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称) 2.函数的奇偶性的判断: (1)可以利用奇偶函数的定义判断 f ( x) ? ? f (? x) (2)利用定义的等价形式, f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f (? x) ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) f ( x)

(3)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称 3.函数奇偶性的性质: (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上 若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若奇函数 f ( x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既不充分也不必要条

件。 (3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差) ” 。 如设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, F ( x) ?

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) , G ( x) ? 。 2 2 (4)复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”.
(5)设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=

偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇.

(二)考点分析
考点 1 判断函数的奇偶性及其应用 题型 1:判断有解析式的函数的奇偶性 例 1. 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1)·

1? x ; 1? x

(3) f ( x) ?

? x(1 ? x) 1? x2 ; (4) f ( x) ? ? | x ? 2 | ?2 ? x(1 ? x)

( x ? 0), ( x ? 0).

题型 2:证明抽象函数的奇偶性 例 1 .(09 年山东)定义在区间 (?1,1) 上的函数 f (x)满足: 对任意的 x, y ? (?1,1) , 都有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( 求证 f (x)为奇函数;

x? y ). 1 ? xy

0?0 ) ? f (0) ∴ f (0) = 0 1? 0 x?x 令 x∈(-1, 1) ∴-x∈(-1, 1)∴ f (x) + f (-x) = f ( ) = f (0) = 0 1 ? x2 ∴ f (-x) =-f (x)∴ f (x) 在(-1,1)上为奇函数
[解析]令 x = y = 0,则 f (0) + f (0) = f ( 例 2. (1)函数 f ( x) , x ? R ,若对于任意实数 a, b ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,求证: f ( x) 为奇函数。 (2)设函数 f ( x) 定义在 (?l , l ) 上,证明 f ( x) ? f (? x) 是偶函数, f ( x) ? f (? x) 是奇函数。 考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用 例 1.已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范围。 [解析] ? f ( x) 是定义在 (?2,2) 上奇函数?对任意 x ? (?2,2) 有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 由条件 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 得 f (m ? 1) ? ? f (2m ? 1) = f (1 ? 2m)

1 2 ? f ( x) 是定义在 (?2,2) 上减函数? ?2 ? 1 ? 2m ? m ?1 ? 2 ,解得 ? ? m ? 2 3 1 2 ?实数 m 的取值范围是 ? ? m ? 2 3
例 2.设函数 f ( x) 对于任意的 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 0 时 f ( x) ? 0 , f (1) ? ?2

(1)求证 f ( x) 是奇函数; (2)试问当 ? 3 ? x ? 3 时, f ( x) 是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说出理由。 例 3.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a +a+1)<f(3a -2a+1).求 a 的取 值范围,并在该范围内求函数 y=(
2 2

1 a 2 ?3a ?1 ) 的单调递减区间. 2 [解析]设 0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增, ∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1), ∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减. 1 7 1 2 又2a 2 ? a ? 1 ? 2(a ? ) 2 ? ? 0,3a 2 ? 2a ? 1 ? 3(a ? ) 2 ? ? 0. 4 8 3 3 2 2 2 2 由 f(2a +a+1)<f(3a -2a+1)得:2a +a+1>3a -2a+1.解之,得 0<a<3. 3 2 5 2 又 a -3a+1=(a- ) - . 2 4 3 1 2 ∴函数 y=( ) a ?3a ?1 的单调减区间是 [ , ??) 2 2 3 2 3 结合 0<a<3,得函数 y=( ) a ?3a ?1 的单调递减区间为[ ,3). 2 2

函数的周期性
(一)知识梳理
1.函数的周期性的定义:对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得定义域内的每一个 x 值,都满足

f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。
2.周期性的性质 ( 1 ) 若 y ? f ( x) 图 像 有 两 条 对 称 轴 x ? a, x ? b ( a? b ) , 则 y ? f ( x) 必 是 周 期 函 数 , 且 一 周 期 为

T ? 2| a ?b|; ( 2 )若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且一周期为 T ? 2| a ?b|;
(3)如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周期 函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ; (4)①若 f(x+a)=f(x+b) ③若 f ( x ? a) ? 则 T=|b-a|;②函数 f ( x) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x) 是周期为 2 a 的周期函数;

1 1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a ;④若 f ( x ? a) ? ? (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a . f ( x) f ( x)

(二)考点分析
考点 2 函数的周期性 例 1.设函数 f ( x) 是定义域 R 上的奇函数,对任意实数 x 有 f ( ? x) ? ? f ( ? x) 成立

3 2

3 2

(1)证明: y ? f ( x) 是周期函数,并指出周期; (2)若 f (1) ? 2 ,求 f (2) ? f (3) 的值 考点 2 函数奇偶性、周期性的综合应用 例 1 .(09 年江苏题改编)定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 1 对于 x ? R 恒成立,且 f ( x) ? 0 , 则 f (119) ? ________ 。

[解析]由 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 1 得到 f ( x ? 2) ?

1 , 从而得 f ( x ? 4) ? f ( x) , 可见 f ( x) 是以 4 为周期的函数, f ( x) 1 f (1)

从而 f (119 ) ? f (4 ? 29 ? 3) ? f (3) ,又由已知等式得 f (3) ?

又由 f ( x) 是 R 上的偶函数得 f (1) ? f (?1) 又在已知等式中令 x ? ?1 得 f (1) ? f (?1) ? 1 ,即 f (1) ? 1 所以

f (119 ) ? 1
例 2.已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) (1)求证: f ( x) 是周期函数; (2)若 f ( x) 为奇函数,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ?

1 1 x ,求使 f ( x) ? ? x 在 ?0,2009 ?上的所有 x 的个数。 2 2

二次函数
(一)知识梳理
1.二次函数的解析式的三种形式: (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。 (2)顶点式(配方式) :f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。 (3)两点式(因式分解) :f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 是抛物线与 x 轴两交点的坐标。

b 4ac ? b 2 ?b , ) 2.二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴 x ? ,顶点坐标 ( ? 2a 4a 2a
2

( 1 ) a>0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??,?

b b ?b 时, ] 上单调递减,在 [? ,??) 上单调递增, x ? 2a 2a 2a

f ( x) min ?

4ac ? b 2 ; 4a

( 2 ) a<0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??,?

b b ?b 时, ] 上单调递增,在 [? ,??) 上单调递减, x ? 2a 2a 2a

f ( x) max ?

4ac ? b 2 。 4a
2

3.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0),M2(x2,0)

M 1 M 2 ? x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

? 。 a

4. 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题,用图象求解,有如下结论: 令 f(x)=ax2+bx+c (a>0) ,

?? ? 0 ? (1)x1<α,x2<α ,则 ?? b /(2 a ) ? ? ; ?af (? ) ? 0 ?

?? ? 0 ? (2)x1>α,x2>α,则 ?? b /(2 a ) ? ? ?af (? ) ? 0 ?

?? ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? (3)α<x1<?,α<x2<?,则 ? (4)x1<α,x2>? (α<?),则 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? ?? ? ?b /(2a) ? ?
(5)若 f(x)=0 在区间(α,?)内只有一个实根,则有 f (? ) f ? ? ) ? 0 5 最值问题:二次函数 f(x)=ax +bx+c 在区间[α ,?]上的最值一般分为三种情况讨论,即:(1)对称轴?b/(2a)在 区间左边,函数在此区间上具有单调性;;(2)对称轴?b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边 要注意系数 a 的 符号对抛物线开口的影响 6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系: 2 2 2 ① ? ? 0 ? f(x)=ax +bx+c 的图像与 x 轴无交点 ? ax +bx+c=0 无实根 ? ax +bx+c>0(<0)的解集为 ? 或者是 R; 2 2 2 ② ? ? 0 ? f(x)=ax +bx+c 的图像与 x 轴相切 ? ax +bx+c=0 有两个相等的实根 ? ax +bx+c>0(<0)的解集为 ? 或 者是 R; 2 2 2 ③ ? ? 0 ? f(x)=ax +bx+c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 ? ax +bx+c=0 有两个不等的实根 ? ax +bx+c>0(<0)
2
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的解集为 (? , ? ) (? ? ? ) 或者是 (??, ? ) ? ( ? , ??)

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(二)考点分析
考点 1.求二次函数的解析式 例 1.已知二次函数 f(x)满足 f(2)= -1,f(-1)= -1 且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数。 法一:利用一般式

? ? a ? ?4 ?4a ? 2b ? c ? ?1 ? ? 2 2 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),由题意得: ? a ? b ? c ? ?1 解得: ? b ? 4 ∴f(x)= - 4x +4x+7 2 ?c?7 ? 4ac ? b ?8 ? ? 4a ?
法二:利用顶点式 ∵f(2)= f(-1) ∴对称轴 x ?

2 ? (?1) 1 ? 2 2

又最大值是 8

∴可设 f ( x) ? a( x ? ) 2 ? 8 (a ? 0) ,由 f(2)= -1 可得 a= - 4 ? f ( x) ? ?4( x ? ) 2 ? 8 ? ?4 x 2 ? 4 x ? 7 法 三 : 由 已 知 f(x)+1=0 的 两 根 为 x1=2,x2=-1 , 故 可 设 f(x)+1=a(x-2)(x+1) 即 f(x)=ax -ax-2a-1, 又
2

1 2

1 2

y max ? 8即

4a(?2a ? 1) ? a 2 ? 8 得 a= - 4 或 a=0(舍) ∴f(x)= - 4x2+4x+7 4a

例 2.已知二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,截 x 轴上的弦长为 4 ,且过点 (0, ?1) ,求函数的解析式. 解:∵二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,设所求函数为 f ( x) ? a( x ? 2) ? b ,又∵ f ( x) 截 x 轴上的弦长为 4 ,
2

∴ f ( x) 过点 (? 2 ? 2, 0) , f ( x) 又过点 (0, ?1) ,

1 ? ? 4a ? b ? 0 ?a ? ∴? , ? 2 , ?2a ? b ? ?1 ? ?b ? ? 2
∴ f ( x) ?

1 ( x ? 2)2 ? 2 2

考点 2.二次函数在区间上的最值问题 2 例 1.已知函数 f(x)= - x +2ax+1-a 在 0≤x≤1 时有最大值 2,求 a 的值。 思维分析:一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论 2 2 解:f(x)= -(x-a) +a -a+1(0≤x≤1),对称轴 x=a 1 a<0 时, f ( x) max ? f (0) ? 1 ? a ? 2 ? a ? ?1
0

y

y
1

y

a 0

x

0 a1

x

0

1a

x

2 0≤a≤1 时 f ( x) max ? f (a) ? a ? a ? 1 ? 2得a ?
0

2

1? 5 (舍) 2

3 a>1 时, f ( x) max ? f (1) ? a ? 2 ? a ? 2
0

综上所述:a= - 1 或 a=2 2 例 2.已知 y=f(x)=x -2x+3,当 x∈[t,t+1]时,求函数的最大值和最小值。 答案: t ? 1时, y max ? t ? 2, y min ? t ? 2t ? 3
2 2

1 ? t ? 1时, y max ? t 2 ? 2, y min ? 2 2 1 0 ? t ? 时, y max ? t 2 ? 2t ? 3, y min ? 2 2

t ? 0时, y max ? t 2 ? 2t ? 3, y min ? t 2 ? 2
例 3.已知函数 y ? ? sin 2 x ? a sin x ?

分析:令 t ? sin x ,问题就转二次函数的区间最值问题. 解:令 t ? sin x , t ?[?1,1] ,

a 1 ? 的最大值为 2 ,求 a 的值 . 4 2

a 1 2 a (a ? a ? 2) ,对称轴为 t ? , 2 2 4 a 1 (1)当 ?1 ? ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, ymax ? (a 2 ? a ? 2) ? 2 ,得 a ? ?2 或 a ? 3 (舍去) . 2 4 a a 1 (2)当 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 y ? ?(t ? )2 ? (a 2 ? a ? 2) 在 [?1,1] 单调递增, 2 2 4 1 1 10 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? . 3 4 2 a a 2 1 2 (3)当 ? ?1 ,即 a ? ?2 时,函数 y ? ?(t ? ) ? (a ? a ? 2) 在 [?1,1] 单调递减, 2 2 4 1 1 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? ?2 (舍去) . 4 2 10 综上可得: a 的值为 a ? ?2 或 a ? . 3
∴ y ? ?(t ? )2 ? 考点 3.一元二次方程根的分布及取值范围 2 例 1.已知关于 x 的二次方程 x +2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取值范围。 (2)若方程两根在区间(0,1)内,求 m 的范围。 思维分析:一般需从三个方面考虑①判别式Δ ②区间端点函数值的正负③对称轴 x ? ? 解:设 f(x)=x +2mx+2m+1
2

b 与区间相对位置。 2a

y

(1) 由 题 意 画 出 示 意 图
-1 0 1 2 x

? f ( 0) ? 2 m ? 1 ? 0 5 1 ? ? ? f (?1) ? 2 ? 0 ? ? ? m ? ? 6 2 ? f (1)6m ? 5 ? 0 ?

y

(2)
0 1 x

? ??0 ? f ( 0) ? 0 1 ? ?? ? ? ? m ? 1? 2 2 ? f (1) ? 0 ? ?0 ? ? m ? 1

3 x ? k 在(- 1,1)上有实根,求 k 的取值范围。 2 3 9 5 2 宜采用函数思想,求 f ( x) ? x ? x(?1 ? x ? 1) 的值域。 k ? [? , ) 16 2 2
练习:方程 x ?
2

【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题,用图象求解,主 要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负,列出不等式(组)求解。 例 2. 已知函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ? 2 与非负 x 轴至少有一个交点,求 a 的取值范围.
2 2

解法一:由题知关于 x 的方程 x ? (2a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 至少有一个非负实根,设根为 x1 , x2
2 2

?? ? 0 9 ? 则 x1 x2 ? 0 或 ? x1 x2 ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 ?x ? x ? 0 ? 1 2

? f (0) ? 0 ? ?(2a ? 1) 9 ? ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 解法二:由题知 f (0) ? 0 或 ? ? 2 4 ? ? ?? ? 0

指数与指数函数
(一)知识梳理 1.指数运算
a n ? n am ; a
m

?m n

0 r s r ?s ? 1 ; a ?1 ; a ?a ? a (a ? 0, r、s ? Q) m n a



(a r ) s ? a rs (a ? 0, r、s ? Q) ;

(ab)r ? a r b s (a ? 0, r、s ? Q)

2.指数函数: y ? a x ( a ? 0, a ? 1 ) ,定义域 R,值域为( 0,?? ).⑴①当 a ? 1 ,指数函数: y ? a x 在定 义域上为增函数;②当 0 ? a ? 1,指数函数: y ? a x 在定义域上为减函数.⑵当 a ? 1 时, y ? a x 的 a 值 越大,越靠近 y 轴;当 0 ? a ? 1时,则相反.

(二)考点分析
例 1.已知下列不等式,比较 m , n 的大小: (1) 2 ? 2
m n

(2) 0.2 ? 0.2
m

n

变式 1:设
a

1 1 b 1 ? ( ) ? ( ) a ? 1 ,那么 ( 2 2 2
b
a

) B.a < b <a
a a b

A.a <a <b

C.a <a <b

b

a

a

D.a <b <a

b

a

a

例 2.函数 y ? a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为( )
x

1 4 x 例 3 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与 函 数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 记 1 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? 2 f (2) ? 1] .若 y ? g ( x) 在区间 [ ,2] 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( ) 2 1 1 A. [2,??) B. (0,1) ? (1,2) C. [ ,1) D. (0, ] 2 2
A. B.2 C.4 D.

1 2

对数与对数函数
(一)知识梳理
1.对数运算:

log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N



log a

M ? log a M ? log a N N



log a M n ? n log a M



log a n M ?

log b N 1 log a b ? logb c ? log c a ? 1 log a N ? ; 推论: log a M ; a loga N ? N ; 换底公式: log b a n

2 .对数函数:如果 a ( a ? 0, a ? 1 )的 b 次幂等于 N ,就是 a b ? N ,数 b 就叫做以 a 为底的 N 的对数,记作
loga N ? b ( a

? 0, a ? 1 ,负数和零没有对数);其中 a 叫底数, N 叫真数.

当 a ? 1 时, y ? loga x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 ? a ? 1时,则相反.

(二)考点分析
例 1.已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) , g ( x) ? log a (1 ? x)(a ? 0 ,且 a ? 1) (1) 求函数 f ( x) ? g ( x) 定义域 (2) 判断函数 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 例 2.已知 f ( x) ? ? A. (0,1) 例 3.若 log a

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 log a x, x ? 1 ?

B. (0, )

1 3

C. [ , )

1 1 7 3

D. [ ,1)

1 7

3 ? 1( a ? 0 ,且 a ? 1) ,求实数 a 的取值范围. 4

1? a2 ? 0 ,则 a 的取值范围是 ( ) 变式 1:若 log 2 a 1? a

A. ( ,?? )

1 2

B. (1,??)

C. ( ,1)

1 2

D. (0, )

1 2

幂函数
(一)知识梳理 1、幂函数的概念
一般地,形如 y ? x
?

( x ? R) 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数
1

2、幂函数的图像及性质

y?x
定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限 的增减性 幂函数 y ? x
?

y ? x2
R 偶 在第Ⅰ象限 单调递增

y ? x3
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

y ? x2

y ? x ?1

R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

非奇非偶 在第Ⅰ象限 单调递增

奇 在第Ⅰ象限 单调递减

( x ? R, ? 是常数) 的图像在第一象限的分布规律是:
?

①所有幂函数 y ? x

( x ? R, ? 是常数) 的图像都过点 (1,1) ;
?

②当 ? ? 0 时函数 y ? x 的图像都过原点 (0, 0) ; ③当 ? ? 1 时, y ? x 的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如 c2 ) ; ④当 ? ? 2,3 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如 c1 ) ⑤当 ? ?
? ?

1 ? 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如 c3 ) 2
?

⑥当 ? ? ?1 时, y ? x 的的图像不过原点 (0, 0) ,且在第一象限是“下滑”曲线(如 c4 ) 3、重难点问题探析:幂函数性质的拓展 当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 有下列性质: (1)图象都通过点 (0, 0) , (1,1) ; (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内, ? ? 1 时,图象是向下凸的; 1 ? ? ? 0 时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,图象向右上方无限伸展。 当 0 ? ? 时,幂函数 y ? x 有下列性质: (1)图象都通过点 (1,1) ;
? ?

(2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的; (3)在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近;向右无限地与 x 轴无限地接近; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后, ? 越大,图象下落的速度越快。 无论 ? 取任何实数,幂函数 y ? x 的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。
?

(二)考点分析
考点 1:利用幂函数的单调性比较大小

?1? ? ? 例 1.已知 ? ? 0 ,试比较 ? ? , 0.2 , 2 的大小; ?2?
1? ? 2) 在幂函数 f ( x) 的图象上,点 ? ?2, ? ,在幂函数 g ( x) 的图象上. 例 2.已知点 ( 2, 4? ? 问当 x 为何值时有: (1) f ( x) ? g ( x) ; (2) f ( x) ? g ( x) ; (3) f ( x) ? g ( x) .

?

函数图象
(一)知识梳理
1.函数图象 (1)作图方法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法是本 讲座的重点。 作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周 期性、最值(甚至变化趋势) ;④描点连线,画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线 要把表列在关键处,要把线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、 方程、不等式等理论和手段,是一个难点 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换, 以及确定怎样的变换,这也是个难点 (2)三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; ①平移变换:
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Ⅰ、水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x+h);2)y=f(x) ? y=f(x?h); Ⅱ、竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上 (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x)+h;2)y=f(x) ? y=f(x)?h 。
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左移 h

右移 h

上移 h

下移 h

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②对称变换:

Ⅰ、函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到; y=f(x) ? y=f(?x) Ⅱ、函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到; y=f(x) ? y= ?f(x) Ⅲ、函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到; y=f(x) ? y= ?f(?x) Ⅳ、函数 x ? f ( y) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到。
直线 y ? x
原点 x轴

y轴

y=f(x)

? x=f(y)

Ⅴ、函数 y ? f (2a ? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称即可得到;
直线 x ? a

y=f(x)

? y=f(2a?x)。

③翻折变换: Ⅰ、函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,去掉原 x 轴 下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到;
y

y=f(x)

y

y=|f(x)|

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

Ⅱ、函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分并 保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到
y
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y=f(x)

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

④伸缩变换: Ⅰ、函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 (a ? 1) 或 压缩( 0 ? a ? 1)为原来的 a 倍得到; y=f(x) ? y=af(x)
y?a

Ⅱ、函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 (a ? 1) 或 压缩( 0 ? a ? 1)为原来的

1 倍得到。 a

f(x) y=f(x) ? y=f( ax )
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x? a

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(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面

(二)考点分析
例 1. (08 江苏理 14) 设函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1( x ? R) ,若对于任意的 x ? ?? 1,1? 都有 f ( x) ? 0 成立,则实数 a 的值为
3

【解析】 本小题考查函数单调性的综合运用. 若 x=0, 则不论 a 取何值,f ? x ? ≥0 显然成立; 当 x>0 即 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为, a ?
3

3 1 ? x 2 x3

设 g ? x? ?

3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ? 1? ?1 ? ' g x ? ,则 , 所以 g ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增,在区间 ? ,1? 上单调递减, ? ? ? 4 2 3 x x x ? 2? ?2 ?
?1? ? ? 4 ,从而 a ≥4; ?2?
3

因此 g ? x ?max ? g ?

当 x<0 即 ? ?1, 0 ? 时, f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为 a ?

3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ? 3 , g' ? x? ? ?0 2 x4 x x

g ? x ? 在区间 ? ?1, 0 ? 上单调递增,因此 g ? x ?ma n ? g ? ?1? ? 4 ,从而 a ≤4,综上 a =4
【答案】4 点评:该题属于实际应用的题目,结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图 像与函数自变量、变量值的对应关系,特别是函数单调性与函数图象个关系; 例 2. ( 2009 广 东 卷 理 )已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车 的速度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 ,下列判断中一定正确的是 ( A. 在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面 )

答案 A 解析 由图像可知,曲线 v甲 比 v乙 在 0~ t 0 、0~ t 1 与 x 轴所围成图形面积大,则在 t 0 、 t1 时刻,甲车均在乙车 前面,选 A.

(2). (2009 山东卷理)函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为 e x ? e? x
y y

(

).

y 1 O 1 x 1

y 1 x O D 1 x

1 O1 x O 1

A 答案 A 解析 函数有意义,需使 e ? e
x

B

C

?x

e x ? e? x e2 x ? 1 2 , ? 1? 2x ? 0 ,其定义域为 ?x | x ? 0?,排除 C,D,又因为 y ? x ? x ? 2 x e ?e e ?1 e ?1

所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A . 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比 较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 例 3 .已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? ?? 1,1? 时, f ( x) ? x ,则 y ? f ( x) 与
2

y ? log 5 x 的图象的交点个数为
A、2 B、3



) D、5 y 1 x 有交点, -1 O 1 5

C、4

解析:由 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,作 出其图象如右,当 x=5 时,f(x)=1,log5x=1; 当 x>5 时,f(x)=1∈[0,1], log5x>1, y ? f ( x) 与 y ? log 5 x 的图象不再

故选 C [巩固]设奇函数 f(x)的定义域为 R, 且对任意实数 x 满足 f(x+1)= -f(x),若当 x∈[0,1]时,f(x)=2 -1,则 f( log 1 6 )=
x

.

2

例 4. (2009 江西卷文)如图所示,一质点 P( x, y ) 在 xOy 平面上沿曲线运动, 速度大小不 变,其在 x 轴上的投影点 Q ( x, 0) 的运动速度 V ? V (t ) 的图象大致为 ( )

V (t )

V (t )

V (t )

V (t )

A

O
答案 B

t

O

B

t

O

C

t O D

t

解析 由图可知,当质点 P( x, y ) 在两个封闭曲线上运动时,投影点 Q ( x, 0) 的速度先由正到 0、到负数,再 到 0,到正,故 A 错误;质点 P( x, y ) 在终点的速度是由大到小接近 0,故 D 错误;质点 P( x, y ) 在开始时沿直线 运动,故投影点 Q ( x, 0) 的速度为常数,因此 C 是错误的,故选 B .

题型 3:函数的图象变换 例 5. (2008 全国文,21) 21. (本小题满分 12 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax ? 3x .
3 2

(Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x),x ?[0, 2] ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3x(ax ? 2) .
2

因为 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,所以 f ?(2) ? 0 ,即 6(2a ? 2) ? 0 ,因此 a ? 1 . 经验证,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ)由题设, g ( x) ? ax ? 3x ? 3ax ? 6 x ? ax ( x ? 3) ? 3x( x ? 2) .
3 2 2 2

当 g ( x) 在区间 [0, 2] 上的最大值为 g (0) 时,

g (0) ≥ g (2) ,即 0 ≥ 20a ? 24 .

6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 5 6 反之,当 a ≤ 时,对任意 x ? [0, 2] , 5 6 3x 3x g ( x) ≤ x 2 ( x ? 3) ? 3x( x ? 2) ? (2 x 2 ? x ? 10) ? (2 x ? 5)( x ? 2) ≤ 0 , 5 5 5
故得 a ≤

2] 上的最大值为 g (0) . 而 g (0) ? 0 ,故 g ( x) 在区间 [0,

综上, a 的取值范围为 ? ??, ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 点评:借助函数图像的变换规则解决实际问题。 例 6. (2009 四川卷文)已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

? ?

6? 5?

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 2 1 A. 0 B. C. 1 2
答案 解析 A 若 x ≠0,则有 f ( x ? 1) ?

( D.

)

5 2

1? x 1 f ( x) ,取 x ? ? ,则有: 2 x

1 1 1 2 f (? 1 ) ? ? f (? 1 ) ? ? f ( 1 ) (∵ f ( x) 是偶函数,则 f ( ) ? f (? ? 1) ? 1 2 2 2 2 2 ? 2 1 1 1 f (? ) ? f ( ) )由此得 f ( ) ? 0 于是 2 2 2 3 1 1? 1? 5 3 3 5 3 5 1 5 2 f ( ) ? f ( ) ? f ( ? 1) ? [ 2 ] f ( 1 ) ? 5 f ( 1 ) ? 0 f ( ) ? f ( ? 1) ? 3 2 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2 1?
题型 4:函数图象应用 例 7.函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像如下图:则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像可能是(
y y=f(x) o x
o y y=g(x) x



y

y
x

y
x
B

y x
C

o

o

o

o
D

x

A

解析:∵函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的定义域是函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的定义域的交集 (??,0) ? (0, ??) ,图 像不经过坐标原点,故可以排除 C、D。 由于当 x 为很小的正数时 f ( x) ? 0 且 g ( x) ? 0 ,故 f ( x) ? g ( x) ? 0 。∴选 A。

点评:明确函数图像在 x 轴上下方与函数值符号改变的关系,数值相乘“同号为正、异号为负” 。 3 2 例 8.已知函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象如图, 求 b 的范围。 y 解法一:观察 f(x)的图象,可知函数 f(x)的图象 过 原 点 , 即 f(0)=0, 得 d=0, 又 f(x)的图象过(1,0), x o 2 1 ∴f(x)=a+b+c ① 又有 f(-1)<0,即-a+b-c<0 ② ①+②得 b<0,故 b 的范围是(-∞,0) 解法二:如图 f(0)=0 有三根 0,1,2, ∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax, ∴b=-3a, ∵当 x>2 时,f(x)>0,从而有 a>0, ∴b<0。 点评:通过观察函数图像,变形函数解析式,得参数的取值范围。 题型 5:函数图像变换的应用 例 9.已知 0 ? a ? 1 ,方程 a A.2 B.3
| x| | x|

?| log a x | 的实根个数为(
C.4



D.2 或 3 或 4

根据函数与方程的关系,知方程 a 数

?| log a x | 的根的个数即为函数 y ? a | x| 与函数 y ?| log a x | 的图像交点的个

该题通过作图很可能选错答案为 A,这是我们作图的易错点。若作图标准的话,在同一个直角坐标系下画出 这两个函数的图像,由图知当 0 ? a ? e 个;当 a ?
?e

? 1 时,图像的交点个数为 3 个;当 a ?

1 时,图像的交点个数为 4 16

1 时,图像的交点个数为 2 个。选项为 D。 2

点评:该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题” ,借助 函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。 例 10.设 f ( x) ?| 2 ? x2 | ,若 a ? b ? 0 ,且 f (a) ? f (b) ,则 ab 的取值范围是( )

A. (0 , 2)

B. (0 , 2]
2

C. (0 , 4]

D. (0 , 2)

解析:保留函数 y ? 2 ? x 在 x 轴上方的图像,将其在 x 轴下方的图像翻折到 x 轴上方区即可得到函数

f ( x) ?| 2 ? x2 | 的图像
通过观察图像,可知 f ( x) 在区间 (??, ? 2] 上是减函数,在区间 [ ? 2,0] 上是增函数,由 a ? b ? 0 ,且

f ( a) ? f (b) 可知 a ? ? 2 ? b ? 0 ,所以 f (a) ? a 2 ? 2 , f (b) ? 2 ? b2 ,从而 a2 ? 2 ? 2 ? b2 ,即 a2 ? b2 ? 4 ,又
2 | ab |? a 2 ? b2 ? 4 ,所以 0 ? ab ? 2 。选项为 A。
点评:考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则,通过研究函数 y ? 2 ? x 的图像和性质,进
2

而得到 f ( x) ?| 2 ? x2 | 的图像和性质。

2.10 函数与方程
(一)知识梳理
1.函数零点 概念:对于函数 y ? f ( x)( x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)( x ? D) 的零点。 函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的 横坐标。即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点。 零点存在性定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) f (b) ? 0 , 那么函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点。既存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步骤: 对于在区间 [ a , b ] 上连续不断,且满足 f (a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断地把函数 f ( x) 的零 点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精度 ? ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间 [ a , b ] ,验证 f (a ) · f (b) ? 0 ,给定精度 ? ; (2)求区间 ( a , b) 的中点 x1 ; (3)计算 f ( x1 ) : ①若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; ②若 f (a ) · f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; ③若 f ( x1 ) · f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; (4)判断是否达到精度 ? ; 即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则重复步骤 2~4。

(二)考点分析
题型 1:方程的根与函数零点 例 1. (1)方程 lgx+x=3 的解所在区间为( )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,+∞)

(2)设 a 为常数,试讨论方程 lg( x ? 1) ? lg(3 ? x) ? lg(a ? x) 的实根的个数。 解析: (1)在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=lgx 与 y=-x+3 的图象(如图)。它们的交点横 坐标 x0 ,显然在区间(1,3)内,由此可排除 A,D 至于选 B 还是选 C,由于画图精确性的限制,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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y
3 2 1

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单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较 x0 与 2 的大小。当 x=2 时,lgx=lg2,3-x=1。由于 lg2<1,因此 x0 >2,从而判定 x0 ∈(2,3),故本题应选 C。

o

1

2 x0 3

x

?x ? 1 ? 0 ?3 ? x ? 0 ? (2)原方程等价于 ? ?a ? x ? 0 ? ?( x ? 1)(3 ? x) ? a ? x
?a ? ? x 2 ? 5 x ? 3 即? ?1 ? x ? 3
构造函数 y ? ? x ? 5 x ? 3 (1 ? x ? 3) 和 y ? a ,作出
2

Y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 X

y?a

x?5 2 Y(x)=-x^2+5x3

? ?ì ?? ?? ·? ?? ?? ?? ± í ?? ?? ?é ° ?± ? - http://www.alentum.com/agrapher/

它们的图像,易知平行于

x 轴的直线与抛物线的交点情况可得: ①当 1 ? a ? 3 或 a ? ②当 3 ? a ?

13 时,原方程有一解; 4

13 时,原方程有两解; 4 13 时,原方程无解 ③当 a ? 1或 a ? 4
点评:图象法求函数零点,考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3 解 所在的区间。数形结合,要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计,而且还要计算 x0 的邻近两个函数值, 通过比较其大小进行判断。 例 4.若函数 y ? f ( x) 在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 解析: 由零点存在性定理可知选项 D 不正确; 对于选项 B, 可通过反例 “ f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 1) 在区间 [?2,2]



上满足 f (?2) f (2) ? 0 ,但其存在三个解 {?1,0,1} ”推翻;同时选项 A 可通过反例“ f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 1) 在区 间 [?2,2] 上满足 f (?2) f (2) ? 0 ,但其存在两个解 {?1,1} ” ;选项 D 正确,见实例“ f ( x) ? x ? 1 在区间 [?2,2]
2

上满足 f (?2) f (2) ? 0 ,但其不存在实数解” 1.(2009 福建卷文)若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ? 可以
x

是 A. f ? x ? ? 4 x ? 1 C. f ? x ? ? e ? 1
x

B. f ? x ? ? ( x ? 1) D. f ? x ? ? In ? x ?

2

? ?

1? ? 2?

答案 A 解析

f ? x ? ? 4 x ? 1 的 零 点 为 x=

1 2 x , f ? x ? ? ( x ? 1) 的 零 点 为 x=1, f ? x ? ? e ? 1 的 零 点 为 x=0, 4

1? 3 1 ? 因为 g(0)= -1,g( )=1,所以 g(x) f ? x ? ? In ? x ? ? 的零点为 x= .现在我们来估算 g ? x ? ? 4 x ? 2 x ? 2 的零点, 2? 2 2 ?
的 零 点 x ? (0,

1 x ), 又 函 数 f ? x ? 的 零 点 与 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的 零 点 之 差 的 绝 对 值 不 超 过 0.25 , 只 有 2

f ? x ? ? 4 x ? 1 的零点适合,故选 A。


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