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2016年广州市普通高中毕业班综合测试(二)文科


高三美术班数学试卷(3)
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。 (1) 已知集合 M ? ?0,1, 2? , N ? x ?1 ? x ? 1, x ?Z (A) M ? N (B) N ? M

?

?,

则 (D) M ? N ? N

(C) M ? N ? ?0

,1?

(2) 已知 ?1 ? i ? i ? a ? b i (a, b ? R ) ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b 的值为 (A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

(3) 已知等比数列 ?an ? 的公比为 ?

1 a ? a3 ? a5 , 则 1 的值是 2 a2 ? a4 ? a6

开始

1 1 (A) ?2 (B) ? (C) (D) 2 2 2 (4) 从数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 中任取 2 个,组成一个没有重复数字 的两位数,则这个两位数大于 30 的概率是 1 2 3 4 (A) (B) (C) (D) 5 5 5 5
(5) 执行如图的程序框图,若程序运行中输出的 一组数是 ? x, ?12 ? ,则 x 的值为 (A) 27 (C) 243 (B) 81 (D) 729

x ? 1, y ? 0, n ? 1
n ? n?2 x ? 3x

y ? y ?3
输出 ? x, y ?

? x ? y ? 0, ? (6) 不等式组 ? x ? y ? ?2, 的解集记为 D , 若 ? a, b ? ? D , ? x ? 2 y ? ?2 ?
则 z ? 2a ? 3b 的最大值是 (A) 1 (B) 4 (7) 已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? (C) ?1 (D) ?4

n ? 2016?
是 结束



? ?

??

? ,则下列结论中正确的是 4?
(B) 函数 f ? x ? 的图象关于点 ?

(A) 函数 f ? x ? 的最小正周期为 2 ? (C) 由函数 f ? x ? 的图象向右平移 (D) 函数 f ? x ? 在区间 ?

?? ? , 0 ? 对称 ?4 ?

? 个单位长度可以得到函数 y ? sin 2 x 的图象 8

? ? 5? ? , ? 上单调递增 ?8 8 ?
? 3? x2 y 2 1, ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左, 右焦点, 点 A ? 2 ? 2 ? ? 在椭 a b ? ?
1

C: (8) 已知 F 1 , F2 分别是椭圆

C 的离心率是 圆 C 上, AF 1 ? AF 2 ? 4 , 则椭圆
(A)

1 2

(B)

5 4

(C)

2 3

(D)

3 2

(9) 已知球 O 的半径为 R , A, B, C 三点在球 O 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为

1 R , AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? , 则球 O 的表面积为 2 16 16 64 64 ? ? ? ? (A) (B) (C) (D) 9 3 9 3

?1? ?1? x 1? x (10) 已知命题 p : ?x ? N , ? ? ? ? ? ,命题 q : ?x ? R , 2 ? 2 ? 2 2 ,则下列 ? 2? ? 3?
*

x

x

命题中为真命题的是 (A) p ? q (B)

? ?p ? ? q

(C) p ? ? ?q ?

(D)

? ?p ? ? ? ?q ?

(11) 如图, 网格纸上的小正方形的边长为 1 , 粗实线画出 的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是 (A) 8 ? 6? (B) 4 ? 6? (C) 4 ? 12? (D) 8 ? 12 ?

(12) 设函数 f ? x ? 的定义域为 R , f ? ?x ? ? f ? x ? , f ? x ? ? f ? 2 ? x ? , 当 x ??0,1? 时,

? 1 3? f ? x ? ? x3 , 则函数 g ? x ? ? cos ?? x ? ? f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上的所有零点的和为 ? 2 2?
(A) 4 1 题号 选项 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) 曲线 f ? x ? ? 2x2 ? 3x 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 (14) 已知平面向量 a 与 b 的夹角为 2 (B) 3 3 4 5 (C) 2 6 7 (D) 1 8 9 10 11 12

?

?

. .

? , a ? 1, 3 , a ? 2b ? 2 3 ,则 b ? 3
2
*

?

?

(15) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 a2 ? 12 , Sn ? kn ?1(n ?N ) , 则数列 ? 前 n 项和为 .
2 2

?1? ?的 ? Sn ?

(16) 已知点 O 为坐标原点,点 M 在双曲线 C : x ? y ? ? ( ? 为正常数)上,过点 M 作 双曲线 C 的某一条渐近线的垂线,垂足为 N ,则 ON ? 2 MN 的最小值为
2

.

三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 2b sin B ? ? 2a ? c ? sin A ? ? 2c ? a ? sin C . (Ⅰ) 求 B 的大小; (Ⅱ) 若 b ? 3 , A ?

? , 求△ ABC 的面积. 4

(18)(本小题满分 12 分) 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表: 价格 x (元/kg) 日需求量 y (kg) 10 11 15 10 20 8 25 6 30 5

(Ⅰ) 求 y 关于 x 的线性回归方程; (Ⅱ) 利用(Ⅰ)中的回归方程,当价格 x ? 40 元/kg 时,日需求量 y 的预测值为多少?

参考公式:线性回归方程 ? y ? bx ? a ,其中 b ?

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

? ? x ? x?
n i ?1 i

2

, a ? y ? bx .

(19)(本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDM 中,△ BCD 是等边三角形,△ CMD 是等腰直角三角形,

?CMD ? 90? ,平面 CMD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD ,点 O 为 CD 的中点,
连接 OM . (Ⅰ) 求证: OM ∥平面 ABD ; (Ⅱ) 若 AB ? BC ? 2 ,求三棱锥 A ? BDM 的体积.

A M B C O D

3

(20)(本小题满分 12 分)已知动圆 P 的圆心为点 P ,圆 P 过点 F ?1,0 ? 且与直线 l : x ? ?1 相切. (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程;
2 (Ⅱ)若圆 P 与圆 F : ? x ? 1? ? y ? 1 相交于 M , N 两点,求 MN 的取值范围. 2

(21)(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

1 ?ax ( x ? R ) . ex

(Ⅰ)当 a ? ?2 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 0 且 x ? 0 时, f ? x ? ? ln x ,求 a 的取值范围.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4: 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 cos ? , (? 为参数 ) .以点 O 为极 ? ? y ? sin ?
? ) ? 2. 4

点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? (Ⅰ)将曲线 C 和直线 l 化为直角坐标方程; (Ⅱ)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最大值.

4

2016 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 文科数学试题答案及评分参考
一. 选择题 (1)C (7)C 二. 填空题 (2)B (8)D (3)A (9)D (4)C (5)B (6)A (10)A (11)A (12)B

(13) x ? y ? 2 ? 0 三. 解答题

(14) 2

(15)

n 2n ? 1

(16) 2 ?

(17)(Ⅰ)解: ∵ 2b sin B ? ? 2a ? c ? sin A ? ? 2c ? a ? sin C , 由正弦定理得, 2b2 ? ? 2a ? c ? a ? ? 2c ? a ? c , ……………………………………1 分 化简得, a ? c ? b ? ac ? 0 .
2 2 2

……………………………………………………2 分

∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 ?ac 1 ? ? ? . …………………………………………………4 分 2ac 2ac 2

∵0 ? B ? ?, ∴B ?

2? . 3

……………………………………………………5 分

(Ⅱ)解:∵ A ? ∴ sin C ? sin ?

? ? 2? ? ? ? ? . …………………………………6 分 , ∴C ? ?? ? 4 4 3 3 4
…………8 分

? ? ? ? 6? 2 ?? ?? . ? ? ? sin cos ? cos sin ? 3 4 3 4 4 ?3 4?

由正弦定理得,

c b ? , ……………………………………………………9 分 sin C sin B 2? , 3
………………………………………………………10 分

∵b ? 3 , B ? ∴c ?

b sin C 6? 2 . ? sin B 2

∴△ ABC 的面积 S ?

? 3? 3 1 1 6? 2 bc sin A ? ? 3 ? ? sin ? . ………12 分 4 2 2 2 4

(18)(Ⅰ)解:由所给数据计算得

x?

1 ?10 ? 15 ? 20 ? 25 ? 30 ? ? 20 , ………………………………………………1 分 5 1 y ? ?11 ? 10 ? 8 ? 6 ? 5 ? ? 8 , ……………………………………………………2 分 5
5

? ? x ? x ? ? ? ?10? ? ? ?5?
5 2 2 i ?1 5 i i ?1 i i

2

? 02 ? 52 ? 102 ? 250 , ……………………………3 分

? ? x ? x ?? y ? y ? ? ?10 ? 3 ? ? ?5? ? 2 ? 0? 0 ? 5? ? ?2? ?10? ? ?3? ? ?80 .
………………………………………4 分

b?

? ? x ? x ?? y ? y ?
5 i ?1 i i

?? x ? x?
5 i ?1 i

2

?

?80 ? ?0.32 . ………………………………………6 分 250

a ? y ? bx ? 8 ? 0.32 ? 20 ? 14.4 .
所求线性回归方程为 ? y ? ?0.32x ? 14.4 .

………………………………………8 分 ………………………………………9 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知当 x ? 40 时, ? y ? ?0.32 ? 40 ?14.4 ? 1.6 .……………………………11 分 故当价格 x ? 40 元/ kg 时,日需求量 y 的预测值为 1.6 kg. …………………12 分 (19)(Ⅰ)证明:∵ △ CMD 是等腰直角三角形, ?CMD ? 90 ,点 O 为 CD 的中点, ∴ OM ? CD . ………………………………………1 分 ∵ 平面 CMD ? 平面 BCD ,平面 CMD ? 平面 BCD ? CD , OM ? 平面 CMD , A ∴ OM ? 平面 BCD .………………………………2 分 ∵ AB ? 平面 BCD , M ∴ OM ∥ AB .………………………………………3 分 ∵ AB ? 平面 ABD , OM ? 平面 ABD , B D H ∴ OM ∥平面 ABD .………………………………4 分 O (Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)知 OM ∥平面 ABD , C ∴ 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离. …………………5 分 过 O 作 OH ? BD ,垂足为点 H , ∵ AB ? 平面 BCD , OH ? 平面 BCD , ∴ OH ? AB . ………………………………………6 分 ∵ AB ? 平面 ABD , BD ? 平面 ABD , AB ? BD ? B , ∴ OH ? 平面 ABD . ………………………………………7 分 ∵ AB ? BC ? 2 ,△ BCD 是等边三角形,
? ∴ BD ? 2 , OD ? 1 , OH ? OD ? sin 60 ?
?

3 .………………………………9 分 2

∴ VA? BDM ? VM ? ABD

………………………………………10 分 ………………………………………11 分

1 1 ? ? ? AB ? BD ? OH 3 2

6

1 1 3 3 . ? ? ? 2? 2? ? 3 2 2 3
∴ 三棱锥 A ? BDM 的体积为

3 . 3

………………………………………12 分

解法 2: 由(Ⅰ)知 OM ∥平面 ABD , ∴ 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离. …………………5 分 ∵ AB ? BC ? 2 ,△ BCD 是等边三角形, ∴ BD ? 2 , OD ? 1 . ………………………………………6 分 连接 OB , 则 OB ? CD , OB ? BD ? sin 60 ? 3 . ……………………………7 分 ∴ VA?BDM ? VM ? ABD ? VO? ABD ? VA?BDO ………………………………………10 分 ………………………………………11 分
?

1 1 ? ? ? OD ? OB ? AB 3 2

1 1 3 . ? ? ?1? 3 ? 2 ? 3 2 3
∴ 三棱锥 A ? BDM 的体积为

3 . 3

………………………………………12 分

(20)(Ⅰ)解法 1:依题意,点 P 到点 F ?1,0 ? 的距离等于点 P 到直线 l 的距离, ………1 分 ∴点 P 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l : x ? ?1 为准线的抛物线. …………2 分 ∴曲线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

………………………………………3 分

解法 2:设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,依题意,得 PF ? x ? 1 , ………………………1 分 ∴

? x ?1?
2

2

? y2 ? x ?1 .

………………………………………2 分

化简得 y ? 4 x . ∴曲线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

………………………………………3 分

(Ⅱ) (Ⅱ)解法 1:设点 P ? x0 , y0 ? ,则圆 P 的半径为 r ? x0 ? 1 .………………………4 分 ∴圆 P 的方程为 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? ? x0 ? 1? . ①
2 2 2 2 ∵圆 F : ? x ? 1? ? y ? 1 , ② 2

………………………5 分

① ? ②得直线 MN 的方程为 2 ?1 ? x0 ? x ? 2 y0 y ? y0 ? 2x0 ?1 ? 0 . …………6 分
2

∵点 P ? x0 , y0 ? 在曲线 C : y ? 4x 上,
2

7

2 ∴ y0 ? 4 x0 ,且 x0 ? 0 .
2 2 ?1 ? x0 ? ? y0 ? 2 x0 ? 1 2 4 ?1 ? x0 ? ? 4 y0 2

∴点 F 到直线 MN 的距离为 d ?

?

1
2 4 ?1 ? x0 ? ? 4 y0 2

.

……………………………………7 分
2 ∵圆 F : ? x ? 1? ? y ? 1 的半径为 1 , 2

∴ MN ? 2 1 ? d ? 2 1 ?
2

1
2 4 ?1 ? x0 ? ? 4 y0 2

.

…………………8 分

? 2 1?

1 4 ?1 ? x0 ? ? 16 x0
2
2

? 2 1?

1 4 ? x0 ? 1?
2

.

…………………9 分

∵ x0 ? 0 ,∴ ? x0 ? 1? ? 1 . ∴0 ?

1 4 ? x0 ? 1?
2

?

1 . 4

………………………………………………………10 分



3 1 ? 1? ? 1 . ………………………………………………………11 分 2 4 4 ? x0 ? 1?

∴ 3 ? MN ? 2 . ∴ MN 的取值范围为 ? 3, 2 .

?

?

……………………………………12 分

解法 2:设点 P ? x0 , y0 ? ,点 F 到直线 MN 的距离为 d , 则点 P 到直线 MN 的距离为 PF ? d .
2

……………………………………4 分

2 ∵圆 F : ? x ? 1? ? y ? 1 的半径为 1 ,圆 P 的半径为 PF ,

∴ MN ? 2 1 ? d 2 ? 2 PF ? PF ? d ∴ 1 ? d ? PF ? PF ? d
2 2

2

?

?

2

.

……………………………5 分 . …………………6 分

?

1 ? ,化简得 d ? 2 PF
2

∴ MN ? 2 1 ? d ? 2 1 ?
2

1 4 PF
2

.

……………………………………7 分

∵点 P ? x0 , y0 ? 在曲线 C : y ? 4x 上,
2

2 ∴ y0 ? 4 x0 ,且 x0 ? 0 .

8

∴ PF

2

2 ? ? x0 ? 1? ? y0 2

…………………………………………………8 分

2 ? x0 ? 2x0 ? 1 ? 4x0

? ? x0 ? 1?
?1.
∴0 ?

2

………………………………………………………9 分

1 4 PF
2

?

1 . 4

………………………………………………………10 分



3 1 ? 1? ? 1. 2 4 4 PF

………………………………………………………11 分

∴ 3 ? MN ? 2 . ∴ MN 的取值范围为 ? 3, 2 .

?

?

…………………………………………12 分

(21)(Ⅰ)解:∵当 a ? ?2 时, f ? x ? ? ∴ f ?? x? ? ?

1 ? 2x , ex

1 ?2. ………………………………………………1 分 ex 1 1 令 f ? ? x ? ? ? x ? 2 ? 0 ,得 x ? ln ? ? ln 2 . ………………………2 分 e 2
当 x ? ? ln 2 时, f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? ? ln 2 时, f ? ? x ? ? 0 . ………………3 分

∴函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, ? ln 2? ,递增区间为 ? ? ln 2, ??? .……4 分 (Ⅱ)解法 1:当 x ? 1 时, f ? x ? ? ln x 等价于

1 1 ? ax ? ln x ,即 ln x ? x ? ax ? 0 .(*) x e e
………5 分

令 g ? x ? ? ln x ?

1 1 1 ? ax ? a ? 0 ? ,则 g ? ? x ? ? ? x ? a ? 0 , x e x e

∴函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增. ∴ g ? x ? ? g ?1? ? ? ? a . 要使(*)成立,则 ? 下面证明若 a ?

1 e

………………………………………………6 分

1 1 ? a ? 0 , 得 a ? .……………………………………………7 分 e e

1 时,对 x ? ? 0,1? , f ? x ? ? ln x 也成立. e

当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? ln x 等价于

1 1 ? ax ? ? ln x ,即 ln x ? x ? ax ? 0 . x e e
9

而 ln x ?

1 1 1 ? ax ? ln x ? x ? x .(**) ………………………………………8 分 x e e e
1 1 1 1 1 ? x ,则 h? ? x ? ? ? x ? , x e e x e e

令 h ? x ? ? ln x ? 再令 ? ? x ? ?

1 1 1 1 1 x2 ? ex ? x ? ,则 ? ? ? x ? ? ? 2 ? x ? 2 x . x e e x e xe
2 x

由于 x ? ? 0,1? ,则 x ? 1 , e ? 1 ,故 ? ? ? x ? ? ∴ 函数 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减. ∴ ? ? x ? ? ? ?1? ? 1 ?

x2 ? ex ? 0 . ……………………9 分 x 2e x

1 1 2 ? ? 1 ? ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 . ………………………10 分 e e e

∴ 函数 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增. ∴ h ? x ? ? h ?1? ? 由(**)式 ln x ?

1 1 ? ?0. e e

……………………………………………11 分

1 1 1 ? ax ? ln x ? x ? x ? 0 . x e e e

综上所述,所求 a 的取值范围为 ? , ?? ? . ……………………………………12 分 解法 2: f ? x ? ? ln x 等价于

?1 ?e

? ?

1 1 ? ax ? ln x ,即 ax ? x ? ln x .(*) x e e

?1 ? ln x, x ? 1, ? 1 ? ex g x ? ? ln x ? 令 ? ? …………………………………5 分 ? ex ? 1 ? ln x, 0 ? x ? 1. ? ? ex
当 x ? 1 时, g ? x ? ?

1 1 1 ? ln x ,则 g ? ? x ? ? ? x ? ? 0 . x e e x

∴函数 g ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上单调递减. ∴ g ? x ? ? g ?1? ?

1 . e

………………………………………………6 分

当 0 ? x ? 1 时, g ? x ? ?

1 1 1 ex ? x ? ? ln x g x ? ? ? ? ?0. , 则 ? ? ex ex x xe x

∴函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上单调递增.

10

1 . ………………………………………………7 分 e 1 下面证明,当 a ? 时, (*)式成立: e 1 ① 当 x ? 1 时, ax ? ? g ? x ? , (*)式成立. ……………………………………8 分 e 1 1 1 ② 当 0 ? x ? 1 时,由于 ax ? x ,令 h ? x ? ? ln x ? x ? x , e e e 1 1 1 则 h? ? x ? ? ? x ? , x e e
∴ g ? x ? ? g ?1? ? 再令 ? ? x ? ?

1 1 1 1 1 x2 ? ex ? x ? ,则 ? ? ? x ? ? ? 2 ? x ? 2 x . x e e x e xe
2 x

由于 x ? ? 0,1? ,则 x ? 1 , e ? 1 ,故 ? ? ? x ? ? ∴ 函数 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减. ∴ ? ? x ? ? ? ?1? ? 1 ?

x2 ? ex ? 0 .……………………9 分 x 2e x

1 1 2 ? ? 1 ? ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 . e e e

∴ 函数 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增. ∴ h ? x ? ? h ?1? ? ∴ ln x ?

1 1 ? ?0. e e

………………………………………………10 分

1 1 ? x ? 0. ………………………………………………11 分 ex e 1 1 ∴ ln x ? x ? x ? ax ,即(*)式成立. e e
综上所述, 所求 a 的取值范围为 ? , ?? ? .

?1 ?e

? ?

…………………………………12 分

(23)(Ⅰ)解:由 ?

? x ? 3 cos ? , x 2 ? ? y 2 ? 1, 得 3 ? ? y ? sin ? ,

∴曲线 C 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

…………………………………2 分

由 ? sin(? ?

? ? ?? ? ) ? 2 ,得 ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? 2 ,……………3 分 4 4 4? ?
…………………………………4 分

化简得, ? sin ? ? ? cos ? ? 2 , ∴x? y ? 2.
11

∴直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 .

…………………………………5 分

(Ⅱ)解法 1:由于点 Q 是曲线 C 上的点,则可设点 Q 的坐标为

?

3 cos ? ,sin ? , …6 分

?

点 Q 到直线 l 的距离为 d ?

3 cos ? ? sin ? ? 2 2

…………………………7 分

?? ? 2cos ? ? ? ? ? 2 6? ? .…………………………………8 分 ? 2
当 cos ? ? ?

? ?

??

4 ? 2 2 . …………………………………9 分 ? ? ?1 时, d max ? 6? 2
…………………………………10 分

∴ 点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2 2 .

解法 2:设与直线 l 平行的直线 l ? 的方程为 x ? y ? m ,

? x ? y ? m, ? 2 2 由 ? x2 消去 y 得 4 x ? 6mx ? 3m ? 3 ? 0 , ………………………6 分 2 ? ? y ? 1, ?3
令 ? ? ? 6m ? ? 4 ? 4 ? 3m ? 3 ? 0 ,
2 2

?

?

…………………………………7 分 …………………………………8 分

解得 m ? ?2 .

∴直线 l ? 的方程为 x ? y ? ?2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . ∴两条平行直线 l 与 l ? 之间的距离为 d ?

2?2 2

? 2 2 .………………………9 分

∴点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2 2 .

…………………………………10 分

12


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