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河南省偃师市高级中学南院2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题


偃师市高级中学南院 2015 届高三上学期第一次月考 数学(理)试题
一、选择题本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ={1,2z2 ,zi},B ={2,4},i 为虚数单位,若 A ∩B ={2},则纯虚数 z 为 A. i B.- i C.2i D.-2i

>2.已知集合 A ={x|a-2<x<a+2},B ={x| x≤-2 或 x≥4},则 A ∩B =? 的充要条件是 A.0≤a≤2 3.“2 >2 ”是“ln a>ln b”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 4.已知命题 p、q,“ ?p 为真”是“p∧q 为假”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 5.已知命题 p:?x∈R,log2 (3x+1)≤0,则 A. p 是假命题;? p:?x∈R,log2 (3 +1)≤0 B.p 是假命题;? p:?x∈R,log2 (3 +1)>0 C.p 是真命题;? p:?x∈R,log2 (3x+1)≤0 D.p 是真命题;? p:?x∈R,log2 (3x+1)>0 6.给出下列三个结论: (1)若命题 p 为假命题,命题? p 为假命题,则命题“p∨q”为假命题; (2)命题“若 xy=0,则 x=0 或 y=0”的否命题为“若 xy≠0,则 x≠0 或 y≠0”; (3)命题“?x∈R,2 >0”的否定是“?x∈R,2 ≤0”. 则以上结论正确的个数为 A.3 7.下列说法正确的是 A.命题“存在 x∈ R,x2 +x+2013>0”的否定是 “任意 x∈ R,x2 +x+2013<0” B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
·1·
x x x x a b

B.-2<a<2

C.0<a≤2

D.0<a<2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B.2

C.1

D.0

1 C.函数 f (x)= 在其定义域上是减函数 x D.给定命题 p、q,若“p 且 q”是真命题,则? p 是假命题 3 3 8.定义在 R 上的偶函数满足 f ( +x) = f ( -x)且 f (-1)=1,f (0) =-2,则 f (1)+f (2)+f (3)+… 2 2 +f (2014) 的值为 A.1 B.-2 C.2 D.0

?2x-2, x≤1 ? 9.已知函数 f (x)=? 则函数 f (x)的零点为 ?2+log 2 x,x>1 ?

1 A. 和 1 4

B.-4 和 0

C.

1 4

D.1

10.若函数 f (x)( x∈ R)是奇函数, 函数 g (x)( x∈ R)是偶函数, 则一定成立的是 A.函数 f [g (x)]是奇函数 C.函数 f [f (x)]是奇函数 B.函数 g [f (x)]是奇函数 D.函数 g [g (x)]是奇函数

11.已 知 函数 f ( x)是 定义在 R 上的奇 函数, 且它的 图像关 于直线 x =1对称 ,若函 数 f (x )= x (0< x ≤ 1 ), 则 f (- 5.5)= A. 2 2 B.1.5 C.- 2 2 D.-1.5 f (x2 )-f (x1 ) x2 -x1

12. 已知 a>0 且 a≠1, 函数 f (x)=? >0 成立,则 a 的取值范围是 A.(0, 1)
x

? ?(a-1)x+3a-4,x≤0 ?a ,x>0 ?
x

, 满足对任意实数 x1 ≠x2 , 都有

B.(1,+∞)

5 C.(1, ] 3

5 D.[ ,2) 3

e -1,x≤1 ? ? 13.若曲线 y=? 1 与直线 y=kx-1 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 ?1-x , x>1 ? A.(3-2 2,3+2 2) C.(-∞,0)∪(0,3-2 2) B.(0,3-2 2) D.(-∞,3-2 2)

14.不等式(x-1)2 <loga x 在 x∈ (1,2)内恒成立,实数 a 的取值范围为 A.(1,2] B.( 2 ,1) 2 C.(1, 2) D.( 2,2)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
·2·

- 15.设(1+2i) z =3-4i( i 为虚数单位) ,则| z |=

. .

16.若 f (x)=3x+sin x,则满足不等式 f (2m-1)+f (3-m)>0 的 m 的取值范为 17.已知函数 f (x)=? a 的取值范围是
2

?log 2 x,x>0 ? ? ?3 , x≤0
x

,且关于 x 的方程 f (x)+x-a=0 有且只有一个实根,则实数



-x +x,x≤1 ? ? 18.已知函数 f (x)=?log1 x,x>1 ,g (x)=| x-k |+| x-1 |,若对任意的 x1 ,x2 ∈R,都有 ? 3 ? f (x1 )≤g(x2 )成立,则实数 k 的取值范围为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.已知sin x x -2cos =0. 2 2

(Ⅰ)求 tan x 的值; (Ⅱ)求 cos 2x 的值. π 2cos ( +x)·sin x 4

1 21.已知函数 f (x)的图像与函数 h(x)=x+ +2 的图像关于点 A (0,1)对称. x (Ⅰ)求 f (x)的解析式; (Ⅱ)若 g(x)=x· f (x)+ax,且 g(x)在区间[0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围.
·3·

22 . (参数方程和极坐标)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin θ = 4cos θ ,直线 l 的参数方程为
?x=tcos α ? ? ? ?y=1+tsinα

2

(t 为参数,0≤α <π ).

(Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (Ⅱ)若直线 l 经过点(1,0) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长。

23. (不等式选讲)设函数 f (x)=| x+1 |+| x-a |(a>0) (Ⅰ)若 a=2 时,解不等式 f (x)≤4; (Ⅱ)若不等式 f (x)≤4 的对一切 x∈[a,2]恒成立,求实数 a 的取值范围。

24. (参数方程和极坐标)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已

?x=-2+ 22 t 知曲线 C:ρ sin θ =2acos θ (a>0),过点 P (-2,-4)的直线 l:? (t 为参数) 2 ?y=-4+ 2 t
2

与曲线 C 相交于 M,N 两点. (Ⅰ)求曲线 C 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若| PM |,| MN|,| PN |成等比数列,求实数 a 的值。

·4·

偃师高中南院 15 级第一次月考试题 理科数学参考答案

20. 解: (1)易知圆心 C 直角坐标为 (1, 3) ,∴圆 C 直角坐标方程为 ( x ?1) 2 ? ( y ? 3)2 ? 4 , ∴ ( ? cos? ?1)2 ? ( ? sin ? ? 3)2 ? 4 ,化简即得圆 C 极坐标方程 ? ? 4 sin(? ?

?
6

) .-------5 分

(2)将直线 l 参数方程代入 ( x ?1) 2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,化简可得 t 2 ? (3 ? 2 3)t ? 4 3 ? 3 ? 0 , 设点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t1t2 ? 4 3 ? 3 , ∴ MA ? MB ? t1t2 ? 4 3 ? 3 ------------------10 分

21.解:(1)∵f (x)的图像与 h(x)的图像关于 A(0,1)对称,设 f (x)图像上任意一点坐标为 B(x,y), 其关 于 A(0,1)的对称点为 B′(x′,y′),则?
? ?x′=-x, ?y′=2-y. ?

∵B′(x′,y′)在 h(x)上,∴y′=x′+ 1 ∴2-y=-x- +2. 1

1 +2. x′ 1

∴y=x+ . 即 f (x)=x+ . -----------------5 分 x x x (2) g(x)=x2 +ax+1,∵g(x)在[0,2]上为减函数, a ∴- ≥2,即 a≤-4. ∴a 的取值范围为(-∞,-4].------------------10 分 2
·5·

22. 解: (1)由 ? sin 2 ? ? 4cos? 可得 ? 2 sin 2 ? ? 4? cos? ,∴曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 4 x , 从而曲线 C 的形状是顶点在原点,焦点为 (1,0) 的抛物线。 ------------------5 分

(2)∵直线 l 过点 (1, 0) 和点 (0,1) ,∴直线 l 的斜率为 ? 1 ,从而其倾斜角 ?

?

3? , 4

? 2 x?? t ? ? 2 2 ( t 为参数) ∴直线 l 的参数方程为 ? ,代入 y 2 ? 4 x ,化简可得 t ? 6 2t ? 2 ? 0 , ?y ? 1? 2 t ? 2 ? 设点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? ?6 2 , t1t 2 ? 2 ,
∴ AB ? t1 ? t 2 ?

(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 8

------------------10 分

23.解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? 4 ? x ?1 ? x ? 2 ? 4 当 x ? ?1 时, x ?1 ? x ? 2 ? 4 ? ? 2 x ? 1 ? 4 ,∴ x ? ? 当 ? 1 ? x ? 2 时, x ?1 ? x ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ,∴ x ? R ; 当 x ? 2 时, x ?1 ? x ? 2 ? 4 ? 2 x ? 1 ? 4 ,∴ x ? ∴综上可得 f ( x) ? 4 的解集为 ??

3 ; 2

5 . 2

? 3 5? ------------------5 分 , . ? 2 2? ? (2)∵ 0 ? a ? 2 ,且 x ? [a, 2] ,∴ f ( x) ? 4 ? 2 x ? a ? 1 ? 4 , ∴ a ? 2 x ? 3 对 x ? [a, 2] 恒成立,∴ a ? 1 ,∴实数 a 的取值范围是 ?1,2? -----------10 分
24.

·6·


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