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2012年全国高中数学联赛试题及详细解析


2012年全国高中数学联赛
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上. 1.设 P 是函数 y ? x ?

2 x

( x ? 0 )的图 像上任意一点,过点 P 分别向

直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足分别为 A, B ,则 PA ? PB 的值是________

_____.

??? ??? ? ?

6.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x .若对任意的 x ? [ a, a ? 2] , 不等式 f ( x ? a ) ? 2 f ( x ) 恒成立,则实数 a 的取值范围是_____________. 7.满 足 的所有正整数 n 的和是_____________. n 3 8.某情报站有 A, B , C , D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从

?

1

4

? sin

?

?

1

上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使 用 A 种密码的概率是_____________.(用最简分数表示) 二、 解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分)已知函数 f ( x ) ? a sin x ?

1 2

cos 2 x ? a ?

3 a

?

1 2

, a ? R, a ? 0

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围;

(2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使 得 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

10.(本小题满分20分)已知数列 ? a n ? 的各项均为非零实数,且对于任意的 正整数 n , 都有
3 3 ( a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ? a13 ? a2 ? ? ? an

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a 2 , a3 ; (2)是否存在满足条件的无穷数列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012 ? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.

11.(本小题 满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 OB ? OD ? 6 . (1)求证: | OA | ? | OC | 为定值; (2)当点A在半 圆 ( x ? 2) ? y ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求 点 C 的轨迹.
2 2

三、(本题满分 50 分) 设 P0 , P , P2 , ? , Pn 是平面上 n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d ( d ? 0) 1 求证: P0 P ? P0 P2 ?? P0 Pn ? ( ) 1

d

n

3

( n ? 1)!

四、(本题满分 50 分) 设 Sn ? 1 ? , n 是正整数.证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a , b ,数列 2 n {S n ? [ S n ]} 中有无穷多项属于 ( a , b ) .这里, [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数.

1

?? ?

1

[来源:21 世纪教育网]

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题

参考答案及详细评分标准(A卷word版) 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上. 1. 设 P 是函数 y ? x ?

2 x

( x ? 0 )的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y

轴作垂线,垂 足分别为,则的值是



2. 设的内角的对边分别为,且满足, 则的值是 . 【答案】4

[来源:21世纪教育网]

3.设,则的最大值是 【答案】 【解析】不妨设则 因为 所以 当且仅当时上式等号同时成立.故
[21世纪教育网]

.

4.抛物线的焦点为,准线为l,是抛物线上的两个动点,且满足.设线段AB的中点在l 上的投影为,则的最大值是 . 【答案】1 【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 在中,由余弦定理得
21世纪教育网

当且仅当时等号成立.故的最大值为1. 5.设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球.若正三棱锥的侧面与底面所成的角为,则正 三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是 .

6. 设是定义在上的奇函数,且当时,.若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围 是 . 【答案】

7.满足的所有正整数的和是 【答案】33 【解析】由正弦函数的凸性,有当时,由此得 所以 故满足的正整数的所有值分别为它们的和为.



8.某情报站有四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未使 用的三种密码中等可能地随 机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用A种 密码的概率是 .(用最简分数表示)

二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分)已知函数 (1)若对任意,都有,求的取值范围; (2)若,且存在,使得,求的取值范围.

10.(本小题满分20分)已知数列的各项均为非零实数,且对于任意的正整数,都有 (1)当时,求所有满足条件的三项组成的 数列; (2)是否存在满足条件的无穷数列,使得若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.

11.(本小题满分20分) 如图5,在平面直角坐标系中,菱形的边长为,且. (1)求证 :为定值; (2)当点A在半圆()上运动时,求

点的轨迹.

【解 析】因为所以三点共线 如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有 ( 定值) (2)设其中则. 因为所以 由(1)的结论得所以从而 故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 2012 年全国高中数学联赛加试试题(卷) 一、(本题满分40分) 如图,在锐角中,是边上不同的两点,使得设和的外心分别为,求证:三点共线。
21 世纪教育网

证法一:令消去得 由 于这方程必有整数解;其中为方程的特解. 把最小的正整数解记为则,故使是的倍数.……40 分 证法二:由于由中国剩余定理知,同余方程组 在区间上有解即存在使是的倍数.…………40 分 证法三:由于总存在使取使则 存在使 此时因而是的倍数.……………40 分 三、(本题满分50分) 设是平面上个点,它们两两间的距离的最小值为 求证:

四、(本题满分50分) 设,n是正整数.证明:对满足的任意实数,数列中有无穷多项属于.这里,表示不超过 实数x的最大整数. 【解析】证法一:(1)对任意,有

证法二:(1)


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