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福建省厦门一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)


福建省厦门一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 A.1+2i ,其中 x,y 是实数,i 是虚数单位,则 x+yi 的共轭复数为() B.1﹣2i
2

C.2+i

/>
D.2﹣i

2. (5 分)已知条件 p:x +x﹣2>0,条件 q:x>a,若 q 是 p 的充分不必要条件,则 a 的 取值范围可以是() A.a≥1 B.a≤1 C.a≥﹣1 D.a≤﹣3 3. (5 分)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象可能是()
a

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)执行框图,若输出结果为 3,则可输入的实数 x 值的个数为()

A.1

B. 2

C. 3

D.4

5. (5 分)已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,0)∪(1,+∞) C. [3,+∞) D. (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) 6. (5 分)有一几何体的三视图如下,则该几何体体积为()

A.4+

B.4+

C.4+

D.4+π

7. (5 分)如图,四边形 OABC 的对角线 OB 与 AC 相交于点 P,已知 ,则实数 λ 的值为. ()

,且

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)已知 F1、F2 为双曲线 C:x ﹣

2

=1 的左、右焦点,P 为双曲线 C 上一点,且点

P 在第一象限,且 A.3 B.

,则△ PF1F2 内切圆半径为() C. 2 D.

9. (5 分)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)=2f(x) ,当 x∈[0,2]时,f(x)= 若 x∈[4,6]时,f(x)≥t ﹣2t﹣4 恒成立,则实数 t 的取值
2

范围是() A.[﹣ ,3] B.[1﹣ ,1+ ] C.[﹣1,3] D.[0,2]

10. (5 分)已知函数 fn(x)=anx +bnx +cnx,满足
*

3

2

=q(q>1,q 为常数) ,

n∈N ,给出下列说法; ①函数 fn(x)可以为奇函数; ②若函数 f1(x)在 R 上单调递增,则对于任意正整数 n,函数 fn(x)都在 R 上单调递增; ③若 x0 是函数 fn(x)的极值点, 则 x0 也是函数 fn+1(x)的极值点; 2 ④若 b1 >3a1c1,则对于任意正整数 n 函数 fn(x)在 R 上一定有极值. 以上说法中所有正确的序号是() A.①②③④ B.②③ C.②③④ D.②④

二 、填空题:本大题 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相 应位置. 11. (4 分)二项式 展开式中第三项的系数为.

12. (4 分)设向量 =(sinθ+cosθ,1) , =(5,1)垂直,且 θ∈(0,π) ,则 tanθ 等于. 13. (4 分)若在区间[﹣1,6]上等可能的任取一实数 a,则使得函数 f(x)=x ﹣3x﹣a 有三 个相异的零点的概率为. 14. (4 分)设函数 f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为 f′(x) ,在(﹣ 2 2 ∞,0)上恒有 2f(x)+xf′(x)>x 成立,则不等式(x+2015) f(x+2015)﹣4f(﹣2) >0 的解集为. 15. (4 分)已知(2x+1) =a0+a1x+a2x +…+anx 中令 x=0,就可以求出常数项,即 1=a0.请 x 2 3 4 n 你根据其中蕴含的解题方法研究下列问题; 若 e =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +…+anx +…, 且 n≥2, n∈N,则 a1+ =.
n 2 n 3

【选做题】 (从(1) (2) (3)题中任选两题作答,并在答题卷上标明所选题号) .

16. (4 分)设矩阵
2 2 n

,若曲线 C:x +4xy+2y =1 在矩阵 M 的作用下变换成曲线 C':
*

2

2

x ﹣2y =1,则矩阵 M =. (n∈N ) 17. (4 分)已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M 的方程为(x﹣4) +y =1,以原点 O 为极 点,以 x 轴正半轴为极轴,且与直角坐标系取相同的单位长度,建立极坐标系,直线 l 的极 坐标方程为 ρsin(θ+ 为. 18.已知函数 f(x)=2 取值范围是. ,若关于 x 的不等式 f(x)≤|m﹣2|恒成立,则实数 m 的 )= ,过直线 l 上的任意点 P 作圆 M 的切线,则切线长的取值范围
2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. (10 分)己知函数 f(x)= (1)当 x∈[﹣ , sinxcosx+sin x+ (x∈R)
2

]时,求函数 f(x)的最小值和最大值; ,f(C)=2,若向量 =

(2)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 c= (1,a)与向量 =(2,b)共线,求 a,b 的值.

20. (12 分)如图,已知多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, AC=AD=CD=DE=2,AB=1,F 为的中点. (1)求证:AF⊥平面 CDE; (2) 求异面直线 CB 与 AE 所成角的大小; ?求平面 ACD 和平面 BCE 所成锐二面角的大小.

21. (12 分)甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛 结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 ,各局比赛的结果相互 独立,第 1 局甲当裁判. (Ⅰ)求第 4 局甲当裁判的概率;

(Ⅱ)用 X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的分布列和数学期望. 22. (12 分)已知函数 (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)已知 f′(x)是函数 f(x)的导函数.?若数列{an}的通项 项和 Sn; ?若 ,求其前 n 的图象如图所示.

在其定义域内为增函数, 求实数 k 的取值范围.

23. (12 分)已知点 F 是抛物线 Γ:x =2py(p>0)的焦点,抛物线上点 M(x0,1)到 F 的距离为 2. (Ⅰ)求抛物线方程; (Ⅱ) 设直线 AB: y=x+b 与曲线 Γ 相交于 A, B 两点, 若 AB 的中垂线与 y 轴的交点为 (0, 4) ,求 b 的值. (Ⅲ)抛物线 Γ 上是否存在异于点 A、B 的点 C,使得经过 A、B、C 三点的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线.若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.

2

24. (14 分)设函数 f(x)=(x﹣1)e ﹣ax (其中 a∈R) . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a=1 时,求由直线 x=0、x=1、曲线 y=f(x)及线段 y=0(0≤x≤1)所围成的封闭区 域的面积; (3)当 时,求函数 f(x)在[0,a]上的最大值.

x

2

福建省厦门一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 A.1+2i ,其中 x,y 是实数,i 是虚数单位,则 x+yi 的共轭复数为() B.1﹣2i C.2+i D.2﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 由已知得出 x=(1+i) (1﹣yi) ,由复数相等的概念求出 x,y 确定出 x+yi,再得出 共轭复数 解答: 解:由已知,x=(1+i) (1﹣yi) ,计算 x=1+y+(1﹣y)i 根据复数相等的概念 ,解得 ,

x+yi=2+i,其共轭复数为 2﹣i. 故选 D. 点评: 本题考查复数的基本运算,复数相等、共轭复数的概念.属于基础题. 2. (5 分)已知条件 p:x +x﹣2>0,条件 q:x>a,若 q 是 p 的充分不必要条件,则 a 的 取值范围可以是() A.a≥1 B.a≤1 C.a≥﹣1 D.a≤﹣3 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 先化简不等式,再根据 q 是 p 的充分不必要条件,即可求得. 2 解答: 解:∵条件 p:x +x﹣2>0, ∴条件 q:x<﹣2 或 x>1 ∵q 是 p 的充分不必要条件 ∴a≥1 故选 A. 点评: 本题主要考查一元二次不等式的解法及必要条件、 充分条件和充要条件的定义, 是 一道基础题.[来源:学科网 ZXXK] 3. (5 分)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象可能是()
a 2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 结合对数函数和幂函数的图象和性质,分当 0<a<1 时和当 a>1 时两种情况,讨 a 论函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象,比照后可得答案. a 解答: 解:当 0<a<1 时,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象为:
[来源:学科网]

此时答案 D 满足要求, a 当 a>1 时,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象为:

无满足要求的答案, 综上:故选 D 点评: 本题考查的知识点是函数的图象, 熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质, 是解 答的关键. 4. (5 分)执行框图,若输出结果为 3,则可输入的实数 x 值的个数为()

A.1

B. 2

C. 3

D.4

考点: 程序框图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据题中程序框图的含义,得到分段函数 y= 于 x 的方程 f(x)=3,即可得到可输入的实数 x 值的个数. 解答: 解:根据题意,该框图的含义是 2 当 x≤2 时,得到函数 y=x ﹣1;当 x>2 时,得到函数 y=log2x. 因此,若输出结果为 3 时, ①若 x≤2,得 x ﹣1=3,解之得 x=±2 ②当 x>2 时,得 y=log2x=3,得 x=8 因此,可输入的实数 x 值可能是 2,﹣2 或 8,共 3 个数 故选:C 点评: 本题给出程序框图, 求输出值为 3 时可能输入 x 的值, 着重考查了分段函数和程序 框图的理解等知识,属于基础题. 5. (5 分)已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,0)∪(1,+∞) C. [3,+∞) D. (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) 考点: 等比数列的前 n 项和. 分析: 首先由等比数列的通项入手表示出 S3(即 q 的代数式) ,然后根据 q 的正负性进行 分类,最后利用均值不等式求出 S3 的范围. 解答: 解:∵等比数列{an}中,a2=1 ∴ ∴当公比 q>0 时, ;
2

,由此解关

当公比 q<0 时,



∴S3∈(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) . 故选 D. 点评: 本题考查等比数列前 n 项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用. 6. (5 分)有一几何体的三视图如下,则该几何体体积为()

A.

4+

B.4+

C. 4+

D. 4+π

考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积. 计算题. 由三视图可知:该几何体是如图所示的几何体,据此可求出体积. 解:由三视图可知:该几何体是如图所示的几何体,
2

∴V=π×1 ×2+ 故选 A.

+2×2×1=4+



点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.

7. (5 分)如图,四边形 OABC 的对角线 OB 与 AC 相交于点 P,已知 ,则实数 λ 的值为. ()

,且

A.

B.

C.

D.

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先, 应的值. 解答: 解:∵ , ,然后,根据共线的条件,建立等式,求解相

, ∴ 设 ∴μ ∴ ∵ , , , , ,





∴λ= . 故选:A. 点评: 本题重点考查了平面向量基本定理、 平面向量的加法和减法运算等知识, 属于中档 题.解题关键是准确应用共线的条件进行处理.

8. (5 分)已知 F1、F2 为双曲线 C:x ﹣

2

=1 的左、右焦点,P 为双曲线 C 上一点,且点

P 在第一象限,且 A.3 B.

,则△ PF1F2 内切圆半径为() C. 2 D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线的定义,结合 利用圆的切线的性质,即可得出结论. 解答: 解:由题意,|PF1|﹣|PF2|=2, ∵ , ,可得|PF1|=8,|PF2|=6,从而 PF1⊥PF2,

∴|PF1|=8,|PF2|=6, ∵|F1F2|=10, ∴PF1⊥PF2, 设△ PF1F2 内切圆半径为 r,则|PF1|﹣r+|PF2|﹣r=|F1F2|, ∴r=2. 故选:C. 点评: 本题考查双曲线的定义,考查圆的切线的性质,确定 PF1⊥PF2 是关键. 9. (5 分)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)=2f(x) ,当 x∈[0,2]时,f(x)= 若 x∈[4,6]时,f(x)≥t ﹣2t﹣4 恒成立,则实数 t 的取值
2

范围是() A.[﹣ ,3] B.[1﹣ ,1+ ] C.[﹣1,3] D.[0,2]

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先确定当 x∈[0,2]时,f(x)的最小值为﹣ ,利用函数 f(x)满足 f(x+2)=2f (x) ,可得 x∈[4,6]时,f(x)的最小值为﹣1,从而可得﹣1≥t ﹣2t﹣4,即可得出结论. 解答: 解:当 x∈[0,1)时,f(x)=x ﹣x∈[﹣ ,0] 当 x∈[1,2]时,f(x)=(x﹣2)x∈[﹣ ,0]
2 2

∴当 x∈[0,2]时,f(x)的最小值为﹣ , 又∵函数 f(x)满足 f(x+2)=2f(x) , 当 x∈[2,4]时,f(x)的最小值为﹣ , 当 x∈[4,6]时,f(x)的最小值为﹣1, ∵x∈[4,6]时,f(x)≥t ﹣2t﹣4 恒成立, 2 ∴﹣1≥t ﹣2t﹣4 ∴(t+1) (t﹣3)≤0, 解得:﹣1≤t≤3, 故选:C 点评: 本题考查的知识点是函数恒成立问题,考查函数的最值,是函数、不等式的综合应 用,确定﹣1≥t ﹣2t﹣4 是解题的关键. [来源:Zxxk.Com] 10. (5 分)已知函数 fn(x)=anx +bnx +cnx,满足
* 3 2 2 2

=q(q>1,q 为常数) ,

n∈N ,给出下列说法; ①函数 fn(x)可以为奇函数; ②若函数 f1(x)在 R 上单调递增,则对于任意正整数 n,函数 fn(x)都在 R 上单调递增; ③若 x0 是函数 fn(x)的极值点,则 x0 也是函数 fn+1(x)的极值点; 2 ④若 b1 >3a1c1,则对于任意正整数 n 函数 fn(x)在 R 上一定有极值. 以上说法中所有正确的序号是() A.①②③④ B.②③ C.②③④ D.②④ 考点: 利用导数研究函数的极值;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题;导数的综合应用;等差数列与等比数列. 分析: ①利用奇函数的定义,可以判断; 2 ②根据函数 f1(x)在 R 上单调递增,可得 f1′(x)=3a1x +2b1x+c1>0 在 R 上恒成立,可 得 a1>0,△ <0,再由等比数列的定义,即可判断; ③利用极值的定义,结合等比数列的条件,可得结论; 2 2 ④求出 fn′(x)=0,若 b1 >3a1c1,则由条件可得 4bn ﹣12ancn>0,则方程有两个不等的实 数根,且在其左右附近导数的符号改变. 3 2 3 2 解答: 解:对于①,fn(x)+fn(﹣x)=anx +bnx +cnx﹣anx +bnx ﹣cnx 2 =2bnx ≠0, ∴函数 fn(x)不是奇函数,则①错; 3 2 ②f1(x)=a1x +b1x +c1x, 则∵函数 f1(x)在 R 上单调递增, 2 ∴f1′(x)=3a1x +2b1x+c1>0 在 R 上恒成立, ∴a1>0,△ <0, 由于 =q(q>1,q 为常数) ,n∈N ,
2 *

则 an>0,bn>0,cn>0,且 4bn ﹣12ancn<0,

由于 fn(x)=anx +bnx +cnx,f′n(x)=3anx +2bnx+cn, 则由判别式△ <0,an>0,可得,f′n(x)>0 恒成立, 则函数 fn(x)都在 R 上单调递增,则②对; 2 ③若 x0 是函数 fn(x)的极值点,则 fn′(x0)=3anx0 +2bnx0+cnx0=0, ∵ =q(q>1,q 为常数) ,n∈N ,
2 *

3

2

2

∴fn+1′(x0)=q?(3anx0 +2bnx0+cnx0)=0, ∴x0 也是函数 fn+1(x)的极值点,则③对; 2 ④由于 f′n(x)=3anx +2bnx+cn=0, 2 2 若 b1 >3a1c1,则由条件可得 4bn ﹣12ancn>0, 则方程有两个不等的实数根,且在其左右附近导数的符号改变, ∴函数 fn(x)在 R 上有极值.则④对. 综上可知,②③④正确. 故选 C. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查数列知识,考查函数的极值,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题. 二、填空题:本大题 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11. (4 分)二项式 展开式中第三项的系数为 40.

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 利用通项公式写出展开式的第三项,求出系数即可. 解答: 解:∵二项式
2 5﹣2

展开式中,
2 6

第三项为 T2+1=

?( x )

? =40.

=(﹣2) ?

?x ?

;[来源:学,科,网]

∴第三项的系数为(﹣2) ×

2

故答案为:40. 点评: 本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题,是基础题. 12. (4 分)设向量 =(sinθ+cosθ,1) , =(5,1)垂直,且 θ∈(0,π) ,则 tanθ 等于﹣ .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;三角函数的求值;平面向量及应用. 分析: 运用向量垂直即数量积为 0, 得到 sinθ+cosθ=﹣ , 运用平方和平方关系, 求得 sinθ ﹣cosθ,进而运用商数关系,即可得到正切值. 解答: 解:由于向量 =(sinθ+cosθ,1) , =(5,1) ,且垂直,



=0,即 5(sinθ+cosθ)+1=0,即 sinθ+cosθ=﹣ ,
2 2

平方得,sin θ+cos θ+2sinθcosθ= 则 2sinθcosθ= ﹣1=﹣ ,



且 θ∈(0,π) ,则 sinθ>0,cosθ<0, 则 sinθ﹣cosθ= = = ,

则有 sinθ= ,cosθ=﹣ , 则 tan =﹣ .

故答案为:﹣ . 点评: 本题考查平面向量的数量积的坐标表示和垂直的条件, 考查同角三角函数的基本关 系式的运用,考查运算能力,属于中档题和易错题. 13. (4 分)若在区间[﹣1,6]上等可能的任取一实数 a,则使得函数 f(x)=x ﹣3x﹣a 有三 个相异的零点的概率为 .
3

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 3 分析: 构造 g(x)=x ﹣3x,k(x)=a,运用导数判断出极值,根据图象求解出 a 的范围: ﹣2<a<2,再根据题意得出﹣1≤a≤2,区间长度为 3,即可运用几何概率求解. 3 解答: 解:函数 f(x)=x ﹣3x﹣a, 3 构造 g(x)=x ﹣3x, k(x)=a, 2 f′(x)=3x ﹣3, 2 ∴f′(x)=3x ﹣3=0,x=±1, 2 f′(x)=3x ﹣3>0,x>1,x<﹣1, 2 f′(x)=3x ﹣3<0,﹣1<x<1, ∴f(x)在(﹣1,1)单调递减, (1,+∞) (﹣∞,﹣1)单调递增, ∴f(x)极大值=f(﹣1)=2, f(x)极小值=f(2)=﹣2 3 ∴g(x)=x ﹣3x,k(x)=a,有三个交点时,a 的范围:﹣2<a<2, ∵在区间[﹣1,6]上等可能的任取一实数 a ∴﹣1≤a≤2,区间长度为 3, ∴使得函数 f(x)=x ﹣3x﹣a 有三个相异的零点的概率为
3

故答案为:

点评: 本题考查了函数的图象的运用,结合导数判断极值,确定交点对应的变量范围,再 运用结合概率求解,属于综合题,难度 较大. 14. (4 分)设函数 f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为 f′(x) ,在(﹣ 2 2 ∞,0)上恒有 2f(x)+xf′(x)>x 成立,则不等式(x+2015) f(x+2015)﹣4f(﹣2) >0 的解集为(﹣∞,﹣2017) . [来源:学科网 ZXXK] 考点: 导数的运算;其他不等式的解法. 专题: 导数的概念及应用. 2 2 分析: 先确定函数 y=x f(x)在(一∞,0)上是减函数,再根据(x+2015) f(x+2015) 2 2 ﹣4f(﹣2)>0,可得(x+2015) f(x+2015)>(﹣2) f(﹣2) ,即可得出结论. 2 解答: 解:∵函数 f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,2f(x)+xf′(x)>x , 2 3 ∴2xf(x)+x f′(x)<x <0, 2 ∴[x f(x)]′<0, 2 ∴函数 y=x f(x)在(﹣∞,0)上是减函数, 2 ∵(x+2015) f(x+2015)﹣4f(﹣2)>0, 2 2 ∴(x+2015) f(x+2015)>(﹣2) f(﹣2) , ∴x+2015<﹣2, x<﹣2017 故答案为: (﹣∞,﹣2017)[来源:学科网] 2 点评: 本题考查函数的单调性,考查解不等式,正确确定函数函数 y=x f(x)在(﹣∞, 0)上是减函数,属于基础题.

15. (4 分)已知(2x+1) =a0+a1x+a2x +…+anx 中令 x=0,就可以求出常数项,即 1=a0.请 x 2 3 4 n 你根据其中蕴含的解题方法研究下列问题; 若 e =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +…+anx +… , 且 n≥2, n∈N,则 a1+ =2﹣ .

n

2

n

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 计算题;推理和证明. x 2 3 4 n 分析: 通过对 e =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +…anx +…,连续求导,赋值求出 a0,a1,a2,a3, a4,猜想 an,然后求解 a1+
x 2 3 4

的值.
n

解答: 解:∵e =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +…+anx +…, x 2 3 n﹣1 ∴(e )′=a1+2a2x+3a3x +4a4x +…+nanx +…, 令 x=0,可得 a1=1, 同理,a2= 猜想 an= , ,

∴a1+

=1+ + ﹣ +…+

﹣ =2﹣ ,

故答案为:2﹣ . 点评: 本题考查数列与函数的综合应用, 函数的导数以及二项式定理的应用, 考查转化思 想以及计算能力. 【选做题】 (从(1) (2) (3)题中任选两题作答,并在答题卷上标明所选题号) . 16. (4 分)设矩阵 x ﹣2y =1,则矩阵 M =
2 2 n

,若曲线 C:x +4xy+2y =1 在矩阵 M 的作用下变换成曲线 C': . (n∈N )
*

2

2

考点: 几种特殊的矩阵变换. 专题: 计算题;矩阵和变换. 分析: 确定坐标之间的变换关系,利用若曲线 C:x +4xy+2y =1 在矩阵 M 的作用下变换 2 2 n 成曲线 C′:x ﹣2y =1,比较系数,求出 a,b,即可求 a+b 的值,从而可得矩阵 M . 解 答: 解:设曲线 C 上任意一点 P(x,y) ,它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点 P'(x',y') ,则 又点 P'(x',y')在曲线 C'上,所以 x' ﹣2y' =1,则(x+ay) ﹣2(bx+y) =1, 2 2 2 2 即(1﹣2b )x +(2a﹣4b)xy+(a ﹣2)y =1 为曲线 C 的方程,…(5 分) 2 2 又已知曲线 C 的方程为 x +4xy+2y =1,
2 2 2 2 2 2

比较系数可得

,解得 b=0,a=2,∴a+b=2.

∴M = 故答案为:

n

. .

点评: 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识, 考查运算求解能力, 考查化归与转化思想. 17. (4 分)已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M 的方程为(x﹣4) +y =1,以原点 O 为极 点,以 x 轴正半轴为极轴,且与直角坐标系取相同的单位长度,建立极坐标系,直线 l 的极 坐标方程为 ρsin(θ+ 为[ ,+∞) . )= ,过直线 l 上的任意点 P 作圆 M 的切线,则切线长的取值范围
2 2

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 首先, 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程, 然后, 根据圆心到直线距离、 半径、 切线长之间的关系进行距离转化,从而求解问题. 解答: 解:∵直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ+ ∴ρsinθcos +ρcosθsin = , )= ,

∴ y+x﹣1=0, ∴直线 l 的直角坐标方程为: y+x﹣1=0, 当圆心到直线距离 d 最短时,此时 切线长最短, 则 d= , 此时切线长为 故答案为:[ = ,+∞) . ,

点评: 本题重点考查了直线的极坐标方程、 直线与圆的位置关系、 点到直线的距离公式等 知识,属于中档题,关键是等价转化思想在解题中的灵活运用. 18.已知函数 f(x)=2 ,若关于 x 的不等式 f(x)≤|m﹣2|恒成立,则实数 m 的

取值范围是(﹣∞,﹣3]∪[7,+∞) . 考点: 柯西不等式. 专题: 不等式.

分析: 由柯西不等式可得(2

+

) ≤(2 +1 )[(

2

2

2

) +(

2

) ]=25,关于

2

x 的不等式 f(x)≤|m﹣2|恒成立,等价于|m﹣2|≥5,即可求出实数 m 的取值范围. 解答: 由柯西不等式可得(2 当且仅当 + ) ≤(2 +1 )[(
2 2 2

) +(

2

) ]=25,

2

,即 x=4 时等号成立;

关于 x 的不等式 f(x)≤|m﹣2|恒成立,等价于|m﹣2|≥5, ∴m≥7 或 m≤﹣3. 故答案为: (﹣∞,﹣3]∪[7,+∞) 点评: 本题考查柯西不等式,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档 题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. (10 分)己知函数 f(x)= (1)当 x∈[﹣ , sinxcosx+sin x+ (x∈R)
2

]时,求函数 f(x)的最小值和最大值; ,f(C)=2,若向量 =

(2)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 c= (1,a)与向量 =(2,b)共线,求 a,b 的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1) 首先, 化简函数解析式 f (x) =sin (2x﹣ ) +1, 然后, 结合 x∈[﹣ , ],

利用三角函数的单调性求解最大值和最小值; (2)首先,求解 C 的大小,然后,利用共线的条件得到 b=2 a,再结合余弦定理求解即可. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)= ∴f(x)= = sin2x + sinxcosx+sin x+ (x∈R)
2

sin2x﹣ cos2x+1 )+1, , ≤ , )≤1,

=sin(2x﹣ ∵﹣ ∴﹣ ∴﹣ ≤ x≤ ≤2x﹣

≤sin(2z﹣

从而 1﹣

≤sin(2x﹣

)+1≤2, ,最大值是 2; )+1=2,则 sin(2C﹣ < , )=1,

则 f(x)的最小值是 1﹣ (2)∵f(C)=sin(2C﹣ ∵0<C<π,∴﹣ ∴2C﹣ = <2C﹣

,解得 C=



∵向量 =(1,a)与向量 =(2,b)共线, ∴b﹣2a=0, 即 b=2a ① 由余弦定理得,c =a +b ﹣2abcos
2 2 2 2 2



即 a +b ﹣ab=3② 由①②解得 a=1,b=2. 点评: 本题综合考查了三角恒等变换公式、 三角函数的图象与性质等知识, 向量共线的条 件,余弦定理等知识点,考查比较综合,属于中档题. 20. (12 分)如图,已知多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, AC=AD=CD=DE=2,AB=1,F 为的中点. (1)求证:AF⊥平面 CDE; (2) 求异面直线 CB 与 AE 所成角的大小; ?求平面 ACD 和平面 BCE 所成锐二面角的大小.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由已知得 DE⊥AF,AF⊥CD,由此能证明 AF⊥平面 CDE. (2)取 CE 的中点 Q,连结 FQ,由 FD,FQ,FA 两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向 量法能求出异面直线 CB 与 AE 所成角的大小和平面 ACD 和平面 BCE 所成锐二面角的大小. 解答: (1)证明:∵DE⊥平面 ACD,AF?平面 ACD, ∴DE⊥AF,又∵AC=AD,F 为 CD 中点, ∴AF⊥CD, ∵CD∩DE=D,

∴AF⊥平面 CDE. (2)解:取 CE 的中点 Q,连结 FQ, ∵F 为 CD 的中点,故 DE⊥平面 ACD, ∴FQ⊥平面 ACD,由(1)知 FD,FQ,FA 两两垂直, 故建立如图所示的空间直角坐标系, 则 F(0,0,0) ,C(﹣1,0,0) , A(0,0, ) ,B(0,1, ) ,E(1,2,0) , =(1,1, ∵ ) , =(1,2,﹣ ) ,

=0,∴异面直线 CB 与 AE 所成角的大小为 90°. =(1,1, ) , =(2,2,0) ,

设平面 BCE 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,

取 x=1,得 又平面 ACD 的一个法向量为 ∴|cos< >|=| |=

, =(0,1,0) , ,

∴平面 ACD 和平面 BCE 所成锐二面角的大小为 45°.

点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查异面直线 CB 与 AE 所成角的大小和平面 ACD 和平面 BCE 所成锐二面角的大小的求法,解题时要注意向量法的合理运用.

21. (12 分)甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛 结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 ,各局比赛的结果相互 独立,第 1 局甲当裁判. (Ⅰ)求第 4 局甲当裁判的概率; (Ⅱ)用 X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的分布列和数学期望. [来源:Z§xx§k.Com] 考点: 离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (I) 令 A1 表示第 2 局结果为甲获胜, A2 表示第 3 局甲参加比赛时, 结果为甲负, A 表示第 4 局甲当裁判, 分析其可能情况, 每局比赛的结果相互独立且互斥, 利用独立事件、 互斥事件的概率求解即可. (II)X 的所有可能值为 0,1,2.分别求出 X 取每一个值的概率,列出分布列后求出期望 值即可. 解答: 解: (I)令 A1 表示第 2 局结果为甲获胜.A2 表示第 3 局甲参加比赛时,结果为甲 负.A 表示第 4 局甲当裁判. 则 A=A1?A2,P(A)=P(A1?A2)=P(A1)P(A2)= ; (Ⅱ)X 的所有可能值为 0,1,2.令 A3 表示第 3 局乙和丙比赛时,结果为乙胜.B1 表示 第 1 局结果为乙获胜,B2 表示第 2 局乙和甲比赛时,结果为乙胜,B3 表示第 3 局乙参加比 赛时,结果为乙负, 则 P(X=0)=P(B1B2 P(X=2)=P( )=P(B1)P(B2)P( )P(B3)= . )= .

B3)=P(

P(X=1)=1﹣P(X=0)﹣P(X=2)= . 故 X 的分布列为 X 0 P 从而 EX=0× +1× +2× = . 点评: 本题考查互斥、独立事件的概率,离散型随机变量的分布列和期望等知识 ,同时 考查利用概率知识解决问题的能力.

1

2

22. (12 分)已知函数 (1)求函数 y=f(x)的解析式;

的图象如图所示.

(2)已知 f′(x)是函数 f(x)的导函数.?若数列{an}的通项 项和 Sn;?若 围.[来源:Z§xx§k.Com]

,求其前 n

在其定义域内为增函数,求实数 k 的取值范

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求函数的导数,根据函数的图象结合函数的极值即可求函数 y=f(x)的解析 式;[来源:Z_xx_k.Com] (2)求出数列的通项公式,利用裂项法进行求和.结合函数单调性和导数之间的关系转化 为求函数的最值问题即可. 解答: 解: (1)函数的导数 f′(x)=ax +a﹣2, 由图象可知 f(x)的图象过点(0,3) ,且 f′(1)=0, 则 ,解得
2 2

,即 f(x)=



(2)∵f′(x)=x ﹣1, ∴ 则前 n 项和 Sn= (1 ∵若 = ( ﹣ ) , )= .

+…+ ﹣ =kx ﹣ ﹣2lnx,

∴g′(x)=k+

=



∵函数 g(x)的定义域为(0,+∞) , ∴若函数 g(x)在其定义域上为增函数, 则 g′(x)>0 在(0,+∞)上恒成立,即 k≥ 在(0,+∞)上恒成立,

设 h(x)=

, (x>0) ,

则 h(x)=

=



当且仅当 x=1 时,取等号, ∴k≥1,

故 k 的取值范围是[1,+∞) . 点评: 本题主要考查综合考查函数解析式的求解以及数列求和的计算, 利用裂项法以及参 数分类法是解决本题的关键. 23. (12 分)已知点 F 是抛物线 Γ:x =2py(p>0)的焦点,抛物线上点 M(x0,1)到 F 的距离为 2. (Ⅰ)求抛物线方程; (Ⅱ) 设直线 AB: y=x+b 与曲线 Γ 相交于 A, B 两点, 若 AB 的中垂线与 y 轴的交点为 (0, 4) ,求 b 的值. (Ⅲ)抛物线 Γ 上是否存在异于点 A、B 的点 C,使得经过 A、B、C 三点的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线.若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.
2

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知条件利用抛物线定义知:1+ =2,由此能求出抛物线方程.
2

(Ⅱ) 由

,得 x ﹣4x﹣4b=0,△ =16﹣16b>0,x1+x2=4,由此求出 AB 的中垂线

为 y=﹣x+4﹣b,从而能求出 b=0. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 A(0,0) ,B(4,4) ,假设抛物线 L 上存在异于点 A、B 的点

满足题意,令圆的圆心为 N(a,b) ,则

,由此能求

出存在点 C,且坐标为(﹣2,1) . 解答: 解: (Ⅰ)∵F 是抛物线 Γ:x =2py(y>0)的焦点, ∴F( ) ,
2

∵点 M(x0,1)到 F 的距离为 2, ∴依抛物线定义知:1+ =2,解得 p=2, ∴抛物线为 x =4y﹣﹣﹣﹣(3 分) (Ⅱ) 由 ,得 x ﹣4x﹣4b=0,
2 2

∴△=16﹣16b>0,x1+x2=4, ∴AB 的中点为(2,2+b) ,∴AB 的中垂线为 依题意可知(0,4)在垂线上, ∴4=0+4﹣b,解得 b=0. (7 分) (Ⅲ)由(Ⅱ)知 A(0,0) ,B(4,4) , 假设抛物线 L 上存在异于点 A、B 的点 令圆的圆心为 N(a,b) , 满足题意, =﹣1,即 y=﹣x+4﹣b,

则由

,得



整理,得

,解得

, (10 分)

∵抛物线 L 在点 C 处的切线斜率 k=

, (t≠0) , (11 分)

又该切线与 NC 垂直,∴

,整理,得




3 2



整理,得 t ﹣2t ﹣8t=0, ∵t≠0,t≠4,∴t=﹣2.故存在点 C,且坐标为(﹣2,1) . (13 分) 点评: 本题考查抛物线方程的求法,考查实数的求法,考查满足条件的点是否存在 判断 与求法,解题时要认真审题,注意中点坐标公式的合理运用. 24. (14 分)设函数 f(x)=(x﹣1)e ﹣ax (其中 a∈R) . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a=1 时,求由直线 x=0、x=1、曲线 y=f(x)及线段 y=0(0≤x≤1)所围成的封闭区 域的面积; (3)当 时,求函数 f(x)在[0,a]上的最大值.
x 2

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: (1)求出 f′(x)=x(e ﹣2a) ,分类讨论列出表格得出单调性,

(2)根据前面的结论得出;区域面积 S=∫ =e﹣ ,

[x

﹣(x﹣1)e ]dx=[

x

﹣(x﹣2)e ]|

x

(3)根据 f(x)在(0,ln2a)单调递减,在(ln2a,a]单调递增,得出:函数 f(x)在[0, a]上的最大值 M=max{f(0) ,f(a)}=max{﹣1, (a﹣1)e ﹣a ,}, a 3 运用导数判断﹣1, (a﹣1)e ﹣a 大小,运用作差构造函数,多次求导数解决. x 2 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=(x﹣1)e ﹣ax (其中 a∈R) . x ∴f′(x)=x(e ﹣2a) , x ①当 a≤0 时,∵e ﹣2a>0, ∴x>0 时,f′(x)>0, x<0 时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞) , 单调递减区间为(﹣∞,0) , ②当 0<a 时,f′(x)=0,得出 x=0.x=ln2a,
a 3

当 x 变化时,如下表格: x (﹣∞,ln2a) ln2a (ln2a,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 可求 得(﹣∞,ln2a) (0,+∞)为单调递增区间; (ln2a,0)为单调递减; ③当 a= 时,f′(x)=x(e ﹣2a)≥0,∴f(x)在 R 上单调递增. ④当 a> 时,f′(x)=0,得出 x=0.x=ln2a, 当 x 变化时,如下表格: x (﹣∞,0) 0 (0,ln2a) ln2a (ln2a,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 +[来源:学§科§网] f(x) ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 可求得(﹣∞,0) , (ln2a,+∞)为单调递增区间; (0,ln2a)为单调递减; (2)由④和 f(1)<0 知 f(x)<0,x∈[0,1]恒成立, ∴区域面积 S=∫ [x
x x

﹣(x﹣1)e ]dx=[

x

﹣(x﹣2)e ]|

x

=e﹣ ,

(3)f′(x)=x(e ﹣2a) ,f′(x)=0,得出 x1=0.x2=ln2a, ∵x∈[0,a], ∴令 g(a)=ln2a﹣a g′(a)= >0,∴g(a)=ln2a﹣a, ,单调递增. 时,

g(a)≤ln2﹣1ln2﹣lne<0, ∴ln2a<a, ∴ln2a∈[0,a],

∴x∈(0,ln2a)时,f′(x)<0,x∈(ln2a,a]时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0,ln2a)单调递减,在(ln2a,a]单调递增, ∴函数 f(x)在[0,a]上的最大值 M=max{f(0) ,f(a)}=max{﹣1, (a﹣1)e ﹣a ,}, a 3 a 令 h(a)=(a﹣1)e ﹣a +1,h′(a)=a(e ﹣3a) , a a 令 φ(a)=e ﹣3a,φ′(a)=e ﹣3<0, ∴φ(a)=e ﹣3a, φ( )?φ(1)<0, 存在 x0∈[ ]时,∴φ(a)=0,
a a 3

,单调递减,

∴[ ,x0]时,φ(a)>0,即 h′(a)>0; [x0,1]时,φ(a)<0,即 h′(a)<0; ∴h(a)在[ ,x0]单调递增,在[x0,1]单调递减, ∵h( )= ∴当 ,h(1)=0, 时,h(a)≥0 恒成立, (a=1 时等号成立)
a 3

∴函数 f(x)在[0,a]上的最大值为: (a﹣1)e ﹣a , 点评: 本综合考查了函数的导数的运用,难度较大,多次求导判断最值,单调性,必需思 路清晰,目的性强.


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