当前位置:首页 >> 数学 >>

圆锥曲线经典解答题汇编


圆锥曲线经典解答题汇编

目录
1.轨迹问题 ................................................................................................................................................................................ 1 2.中点弦及弦长公式的运用 .................................................................................................................................................... 5 3.最值问题 ................................................................................................................................................................................ 9 4.面积问题 ...............................................................................................................................................................................11 5.求解参数范围问题 .............................................................................................................................................................. 14 6.对垂直的处理 ...................................................................................................................................................................... 15 7.比例问题 .............................................................................................................................................................................. 18 8.直线过定点或多点共线问题 .............................................................................................................................................. 20 9.定值问题 .............................................................................................................................................................................. 21 10.相切与公共切线问题 ........................................................................................................................................................ 25

1.轨迹问题
1. 如图,M 是抛物线上 y2=x 上的一点,动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点,且 MA=MB. (1)若 M 为定点,证明:直线 EF 的斜率为定值; (2)若 M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心 G 的轨迹 2 解: (1)设 M(y 0 ,y0) ,直线 ME 的斜率为 k(l>0)
2 则直线 MF 的斜率为-k,方程为 y ? y0 ? k ( x ? y0 ).

∴由 ?

? ? y ? y0 ? k ( x ? y ) ,消 x得ky 2 ? y ? y0 (1 ? ky0 ) ? 0 2 ? ?y ? x
2 0

y
M B

1 ? ky0 (1 ? ky0 )2 解得 yF ? ,? xF ? k k2 1 ? ky0 1 ? ky0 2 ? yE ? yF 1 k ?k ∴ k EF ? (定值) ? ? k ?? 2 2 ?4ky0 xE ? xF (1 ? ky0 ) (1 ? ky0 ) 2 y0 ? k2 k2 k2
所以直线 EF 的斜率为定值 2 (2) 当?EMF ? 90 时, ?MAB ? 45 , 所以k ? 1, 直线 ME 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? y0 )
2 ? y ? y0 ? x ? y0 ? 由? 得 E ((1 ? y0 )2 ,1 ? y0 ) 2 ? ?y ? x

O
E

A F

x

同理可得 F ((1 ? y0 )2 , ?(1 ? y0 )).
2 2 ? ? (1 ? y0 ) 2 ? (1 ? y0 ) 2 2 ? 3 y0 xM ? xE ? xF y0 x ? ? ? ? ? 3 3 3 设重心 G(x, y) ,则有 ? ? x ? xM ? xE ? xF ? y0 ? (1 ? y0 ) ? (1 ? y0 ) ? ? y0 ? 3 3 3 ? 1 2 2 消去参数 y0 得 y 2 ? x ? ( x ? ). 9 27 3

x2 y2 右焦点分别是 F(- c, 0) 、 F( 0) , Q 是椭圆外的动点, 满足 | F1Q |? 2a. ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 1 2 c, a2 b2 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. c (Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ? x ; a
2. 已知椭圆 (Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程; (Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为 ( x, y). 由 P ( x, y ) 在椭圆上,得

| F1P |? ( x ? c)2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? b 2 ?
由 x ? a, 知a ?

b2 2 c x ? (a ? x) 2 . a2 a

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. ………3 分 a a

证法二:设点 P 的坐标为 ( x, y). 记 | F1 P |? r1 , | F2 P |? r2 , 则 r1 ?

( x ? c) 2 ? y 2 , r2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 .

c x. a c 证法三:设点 P 的坐标为 ( x, y). 椭圆的左准线方程为 a ? x ? 0. a
由 r1 ? r2 ? 2a, r12 ? r22 ? 4cx, 得 | F1 P |? r1 ? a ?
2 由椭圆第二定义得 | F1 P | ? c ,即 | F1 P |? c | x ? a |?| a ? c x | . a c a a a2 |x? | c

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. …………………………3 分 a a (Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上.
由 x ? ?a, 知a ? 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 |? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.

1 | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 2 2 2 2 综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . …………………………7 分 解法二:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上.
在△QF1F2 中, | OT |? 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ? TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. x? ? c ? x? , x ? ? 2 x ? c, ? ? 2 因此 ? 设点 Q 的坐标为( x ?, y ? ) ,则 ? ? ? y ? ? 2 y. ? y ? y? . ? 2 ? 由 | F1Q |? 2a 得 ( x? ? c) ? y ? ? 4a .
2 2 2




2 2

将①代入②,可得 x ? y ? a .
2 2 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . ……………………7 分
2

3. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? x 上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足 AO ? BO .
2

(Ⅰ)求 ?AOB 得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; ③ (Ⅱ) ?AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. ④

y A B

x O

x ? x2 ? x? 1 ? ? 3 解: (I)设△AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 3 ? ∵OA⊥OB ∴ k OA ? k OB ? ?1 ,即 x1 x2 ? y1 y 2 ? ?1 ,……(2)
2 2

…(1)

又点 A,B 在抛物线上,有 y1 ? x1 , y 2 ? x2 ,代入(2)化简得 x1 x2 ? ?1

y1 ? y 2 1 2 1 1 2 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ] ? ? (3x) 2 ? ? 3x 2 ? 3 3 3 3 3 3 2 所以重心为 G 的轨迹方程为 y ? 3x 2 ? 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 (II) S ?AOB ? | OA || OB |? ( x12 ? y12 )( x2 ? y2 )? x1 x2 ? x12 y 2 ? x2 y1 ? y12 y 2 2 2 2 1 6 1 1 1 6 6 x1 ? x2 ?2 ? 2 x16 ? x2 ?2 ? 2 (?1)6 ? 2 ? ? 2 ? 1 由(I)得 S?AOB ? 2 2 2 2 6 6 当且仅当 x1 ? x2 即 x1 ? ? x2 ? ?1 时,等号成立。所以△AOB 的面积存在最小值,存在时求最小值 1;
∴y? 4. 如图,动圆 C1 : x 2 ? y 2 ? t 2 ,1<t<3, 与椭圆 C2 :

x2 B, C, D 四点, 点 A1 , A2 分别为 C2 ? y 2 ? 1 相交于 A, 9

的左,右顶点。 (Ⅰ)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大 面积; (Ⅱ)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程。 【解析】(Ⅰ)设 A( x0 , y0 ),则矩形 ABCD 的面积 S= 4 | x0 | y0 | ,
2 2 x0 x0 2 2 ? y0 ? 1 得, y0 ? 1 ? , 由 9 9
2 1 2 9 2 9 x0 ? ) ? , ) = ? ( x0 9 2 4 9

2 ∴ x0 y0 = x0 (1 ?

2

2

当 x0 ?
2

9 1 2 , y0 ? 时, Smax =6, 2 2

∴ t = 5 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 6. (Ⅱ) 设 A ? x1 ,y1 ? ,B ? x1 ,-y1 ? ,又知 A1 ? -3,0 ? ,A2 ? 3,0 ? ,则 直线 A1 A 的方程为 直线 A2 B 的方程为 由①②得
2

y1 ? x+3? x1 +3 -y y = 1 ? x-3? x1 -3 y=
- y12 y = 2 2 ? x 2 -32 ? x1 -3

① ② ③

由点 A ? x1 ,y1 ? 在椭圆 C0 上,故可得

x12 ? x12 2 ? y = 1+ y =1 ,从而有 ,代入③得 ? 1 1 2 ? 32 ? 3 ?

x2 2 -y =1? x <-3,y <0 ? 9
∴直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程为

x2 2 -y =1? x <-3,y <0 ? 9

……12 分

5. 如图,动点 M 到两定点 A(?1,0) 、 B(2,0) 构成 ?MAB ,且 ?MBA ? 2?MAB ,设动点 M 的轨迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,求

| PR | 的取值范围。 | PQ |

y

M

A

O

B x

【答案】本题主要考查轨迹方程的求法,圆锥曲线的定义等基础知识,考查基本运算能力,逻辑推理能力,考查方 程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想 [解析](1)设 M 的坐标为(x,y) ,显然有 x>0, y ? 0 . 当∠MBA=90° 时,点 M 的坐标为(2,, ± 3) 当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
| y| | y| x ?1 ? ? 2 tan ?MAB | y| 2 x ? 2 有 tan∠MBA= ,即 1? ( ) 2 x ?1 1 ? tan ?MAB 2

化简得:3x2-y2-3=0,而又经过(2,,± 3) 2 2 综上可知,轨迹 C 的方程为 3x -y -3=0(x>1)…………………5 分

(II)由方程

? y ? ?2 x ? m 2 2 消去 y,可得 x ? 4mx ? m ? 3 ? 0 。 (*) ? 2 2 3 x ? y ? 3 ? 0 ?

由题意,方程(*)有两根且均在(1,+ ? )内,设 f ( x) ? x 2 ? 4mx ? m2 ? 3

? ? 4m ?? 2 ? 1 ? ? 所以 ? f (1) ? 12 ? 4m ? m 2 ? 3 ? 0 ?? ? (?4m) 2 ? 4(m 2 ? 3) ? 0 ? ? ?
解得,m>1,且 m ? 2 设 Q、R 的坐标分别为 ( x0 , y0 ), ( xR , yR ) ,由 PQ ? PR 有

xR ? 2m ? 3(m2 ? 1) , x0 ? 2m ? 3(m2 ? 1)

1 2 ? 3(1 ? 2 ) PR xR 2m ? 3(m2 ? 1) 4 m ? ?1 ? 所以 ? ? ? 2 PQ xQ 2m ? 3(m ? 1) 1 1 2 ? 3(1 ? 2 ) 2 ? 3(1 ? 2 ) m m
由 m>1,且 m ? 2,有

1 ? ?1 ?

4 1 2 ? 3(1 ? 2 ) m

? 7 ? 4 3, 且 ? 1 ?

? 7. 1 2? ( 3 1? 2 ) m

4

所以

PR 的取值范围是 ?1,7? ? (7,7 ? 4 3 ) PQ

2.中点弦及弦长公式的运用
6. 设 A、B 是椭圆 3x ? y ? ? 上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (Ⅰ)确定 ? 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的 ? ,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由.
2 2

(I)解法 1:依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 3, 代入3x ? y ? ? ,整理得
2 2

(k 2 ? 3) x 2 ? 2k (k ? 3) x ? (k ? 3) 2 ? ? ? 0. ① 2 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 则x1 , x2是方程 ①的两个不同的根,? ? ? 4[? (k ? 3) ? 3(k ? 3) ] ? 0 x ? x2 2k (k ? 3) ? 1,? k (k ? 3) ? k 2 ? 3. 且x1 ? x2 ? .由N (1,3) 是线段 AB 的中点,得 1 2 2 k ?3 解得 k=-1,代入②得, ? >12,即 ? 的取值范围是(12,+ ? ). 于是,直线 AB 的方程为 y ? 3 ? ?( x ? 1),即x ? y ? 4 ? 0.



解法 2:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 则有
2 2 ? ?3x1 ? y1 ? ? , ? 3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0. ? 2 2 ? ?3x2 ? y 2 ? ? 3( x1 ? x2 ) . 依题意, x1 ? x2 ,? k AB ? ? y1 ? y 2

? N (1, 3)是AB的中点,? x 1 ? x 2 ? 2,y 1 ? y 2 ? 6,从而k AB ? ?1. 又由N (1, 3)在椭圆内,? ? 3 ? 12 ? 3 2 ? 12. ? ?的取值范围是(12, ??). 直线AB的方程为y ? 3 ? ?(x ? 1),即x ? y ? 4 ? 0.
( II ) 解 法 1 : ? CD垂直平分AB,? 直线CD的方程为y ? 3 ? x ? 1,即x ? y ? 2 ? 0. 代 入 椭圆 方 程 , 整 理 得

4 x 2 ? 4 x ? 4 ? ? ? 0.



又设C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), CD的中点为M ( x0 , y0 ), 则x3 , x4是方程 ③的两根,
1 1 3 1 3 ? x3 ? x4 ? ?1, 且x0 ? ( x3 ? x4 ) ? ? , y0 ? x0 ? 2 ? , 即M (? , ). 2 2 2 2 2
于是由弦长公式可得 | CD |? 1 ? (? ) ? | x3 ? x4 |?
2

1 k

2(? ? 3).



将直线 AB 的方程 x ? y ? 4 ? 0, 代入椭圆方程得 4 x 2 ? 8x ? 16 ? ? ? 0. 同理可得 | AB |? 1 ? k 2 ? | x1 ? x2 |?



2(? ? 12) .



?当? ? 12时, 2(? ? 3) ? 2(? ? 12) .,? | AB |?| CD | .
假设在在 ? >12,使得 A、B、C、D 四点共圆,则 CD 必为圆的直径,点 M 为圆心.点 M 到直线 AB 的距离为

d?

| x0 ? y 0 ? 4 | 2

1 3 |? ? ?4| 3 2 ? 2 2 ? . 2 2



于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

AB 2 9 ? ? 12 ? ? 3 CD 2 | ? ? ? ?| | . 2 2 2 2 2 | CD | 故当 ? ? 12 时,A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心, 为半径的圆上. 2 | MA | 2 ?| MB | 2 ? d 2 ? |
(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得: A、B、C、D 共圆 ? △ACD 为直角三角形,A 为直角 ?| AN | ?| CN | ? | DN |, 即
2

| AB | 2 | CD | | CD | ) ?( ? d )( ? d ). ⑧ 2 2 2 ? ? 12 由⑥式知,⑧式左边= . 2 2(? ? 3) 3 2 2(? ? 3) 3 2 ? ? 3 9 ? ? 12 ? )( ? )? 由④和⑦知,⑧式右边= ( ? ? , 2 2 2 2 2 2 2 (
∴⑧式成立,即 A、B、C、D 四点共圆

7. 如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1,

1 5 2 )到抛物线 C: y =2px(P>0)的准线的距离为 。点 M(t,1) 2 4

是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分。

(1)求 p,t 的值。 (2)求△ABP 面积的最大值。 【解析】

1 ?2 pt ? 1 ? ? ?p ? (1)由题意得 ? 2. p 5 ,得 ? 1? ? ? ? ? 2 4 ?t ? 1
(2)设 A( x1 , y1 ), B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点坐标为 Q(m, m) 由题意得,设直线 AB 的斜率为 k(k ? 0 ). 由?
2 ? ? y1 ? 2px1 ,得 ( y2 ? y1 )( y1 ? y2 ) ? k ( x2 ? x1 ) ,得 k ? 2m ? 1 2 y ? 2px ? ? 2 2

所以直线的方程为 y ? m ?

1 ( x ? m) ,即 x ? 2my ? 2m2 ? m ? 0 . 2m

2 ? ? x ? 2my ? 2m ? m ? 0 2 2 由? ,整理得 y ? 2my ? 2m ? m ? 0 , 2 ? ?y ? x

所以 ? 4m ? 4m2 , y1 ? y2 ? 2m , y1 y2 ? 2m2 ? m .从而得

AB ? 1 ?

1 y1 ? y2 ? 1 ? 4m2 4m ? 4m2 , 2 k

设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则

d?

1 ? 2m ? 2m 2 1 ? 4m 2

,设 ? ABP 的面积为 S,则 S ?

1 AB ? d ? 1 ? 2(m ? m2 ) ? m ? m2 . 2

由 ? ? 4m ? 4m2 ? 0 ,得 0 ? m ? 1 .

1 2 ,则 S ? t (1 ? 2t ) . 2 1 2 设 S ? t (1 ? 2t ) , 0 ? t ? ,则 S ? ? 1 ? 6t 2 . 2
令t ?

m ? m2 , 0 ? t ?

由 S ? ? 1 ? 6t 2 ? 0 ,得 t ?

6 ? 1? 6 6 ,故 ? ABP 的面积的最大值为 . ? ? 0, ? ,所以 Smax ? 9 9 6 ? 2?

8. 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: (Ⅰ)求 C 的离心率;

x2 y 2 ? ? 1? a>0,b>0 ? 相交于 B、D 两点,且 BD 的中点为 M ?1,3? . a 2 b2

(Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF BF ? 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. 【参考答案】

3.最值问题
9. 如图,椭圆 M :
3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形 ABCD 的面积为 8. 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P, Q, l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 S , T .求 的最大值及取得最大值时 m 的值. 【答案】(21)(I) e ?
c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? ……① a 2 a2 4
| PQ | | ST |

矩形 ABCD 面积为 8,即 2a ? 2b ? 8 ……② 由①②解得: a ? 2, b ? 1 , ∴椭圆 M 的标准方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, (II) ? ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 , y ? x ? m , ?

8 4m 2 ? 4 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? , 5 5
由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 .
4m 2 ? 4 4 2 ? 8 ? | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 ? 5 ? m2 . 5 5 5 ? ?
2

当 l 过 A 点时, m ? 1 ,当 l 过 C 点时, m ? ?1 . ①当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2, 2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,

| PQ | 4 5 ? m2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 , 2 | ST | 5 (3 ? m) 5 t t
| PQ | 1 3 4 5 2 其中 t ? m ? 3 ,由此知当 ? ,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时, 取得最大值 5. | ST | t 4 5 3 3

②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 m ? ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 , 由此知,当 m ? 0 时,

| PQ | 5 2 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

| PQ | 2 ? 5 ? m2 , | ST | 5

| PQ | 2 取得最大值 5. | ST | 5

| PQ | 5 2 综上可知,当 m ? ? 和 0 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

4.面积问题
y2 ? 1 上, F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点.已知 PF 与 FQ 共线, MF 与 2 FN 共线,且 PF ? MF ? 0 .求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值. 解:如图,由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点 F(0,1),且 PQ⊥MN,直线 PQ、NM 中至少有一 条存在斜率,不妨设 PQ 的斜率为 K,又 PQ 过点 F(0,1),故 PQ 的方程为 y = kx +1
10.
P 、 Q 、 M 、 N 四点都在椭圆 x 2 ?

将此式代入椭圆方程得(2+ k 2 ) x 2 +2 kx -1=0 设 P、Q 两点的坐标分别为( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),则

y
M F P O N Q

? k ? 2k ? 2 ? k ? 2k ? 2 , x2 ? 2 2?k 2 ? k2 8(1 ? k 2 )2 2 2(1 ? k 2 ) 2 2 2 从而 | PQ | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 亦即 | PQ | ? 2 ? k2 (2 ? k 2 )2 1 2 2(1 ? (1 ? ) 2 ) 1 k (1)当 k ≠0 时,MN 的斜率为- ,同上可推得 | MN |? 1 2 k 2 ? (? ) k 1 1 4(1 ? k 2 )(1 ? 2 ) 4(2 ? k 2 ? 2 ) 1 k ? k 故四边形面积 S ? | PQ || MN |? 1 2 2 (2 ? k 2 )(2 ? 2 ) 5 ? 2k 2 ? 2 k k 1 4(2 ? u ) 1 令u = k2 ? 2 得 S ? ? 2(1 ? ) k 5 ? 2u 5 ? 2u 1 ∵ u = k 2 ? 2 ≥2 k 16 16 当 k =±1 时 u =2,S= 且 S 是以 u 为自变量的增函数∴ ?S?2 9 9 1 ②当 k =0 时,MN 为椭圆长轴,|MN|=2 2 ,|PQ|= 2 。∴S= |PQ||MN|=2 2 16 综合①②知四边形 PMQN 的最大值为 2,最小值为 。 9 x1 ?
2 2

x

11. 如图, F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 + =1( a ? b ? 0 )的左、右焦点, A 是椭圆 C a2 b2

的顶点, B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点, ?F1 A F2 =60°. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值. 【解析】 (I) ?F1 AF2 ? 60 ? a ? 2c ? e ? (Ⅱ)设 BF2 ? m ;则 BF1 ? 2a ? m 在 ?BF1 F2 中, BF1 ? BF2 ? F1F2 ? 2 BF2 ? F1F2 ? cos120
2 2 2

?

c 1 ? a 2

?

3 ? (2a ? m)2 ? m2 ? a 2 ? am ? m ? a 5
1 1 3 3 S ? ? F2 F1 ? AB ? sin 60? ? ? a ? (a ? a) ? ? 40 3 ?AF1B 面积 2 2 5 2 ? a ? 10, c ? 5, b ? 5 3
12. 如图,椭圆 C:
1 x2 y 2 + 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 .不过原点 O 的直线 l 2 2 a b

与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.
c 1 ? ; (1) a 2

【解析】(Ⅰ)由题: e ?

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c)2 ? 12 ? 10 . (2) 由(1) (2)可解得: a2 ? 4,b2 ? 3,c2 ? 1 . ∴所求椭圆 C 的方程为:
x2 y 2 + ? 1. 4 3
1 2 1 2

(Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. ∵A,B 在椭圆上,
? xA2 y A2 + ?1 ? ? 4 3 ∴? 2 2 ? xB + yB ? 1 ? 3 ? 4 y A ? yB 3 x ? xB 3 2x 3 ?? ? A ?? ? 0 ?? . xA ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2
3 2

? k AB ?

设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ x ? m (m≠0),
? x2 y 2 + ?1 ? ? 代入椭圆: ? 4 3 ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 . ∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0. 由上又有: xA ? xB =m, y A ? yB = ∴|AB|= 1 ? k AB | xA ? xB |= 1 ? k AB
m2 ? 3 . 3

( xA ? xB )2 ? 4 xA xB = 1 ? k AB
?3 ? 1 ? m 1 ? k AB ? m? 2 1 ? k AB

4?

m2 . 3

∵点 P(2,1)到直线 l 的距离表示为: d ?



∴S ? ABP= d|AB|= |m+2| 4 ? 当|m+2|= 4 ?

1 2

1 2

m2 , 3

1 m2 ,即 m=﹣3 或 m=0(舍去)时,(S ? ABP)max= . 2 3

此时直线 l 的方程 y=﹣ x ?

3 2

1 . 2

13. 已知以原点 O 为中心, F (I) (II)

?

5, 0 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e ?

?

5 。 2

求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; 如题( 20 )图,已知过点 M ? x1 , y1 ? 的直线 l1 : x1 x ? 4 y1 y? 4 与过点

N ? x2 , y2 ?(其中 x2 ? x )的直线 l2 : x2 x ? 4 y2 y ? 4 的交点 E 在双曲线
C 上,直线 MN 与两条渐近线分别交与 G、H 两点,求 ?OGH 的面积。

5.求解参数范围问题
14. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3,0) 。 (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的 取值范围。 解: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a ? 0, b ? 0).

由已知得 a ?

3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1. 故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)将 y ? kx ?

2代入

x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 3

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 即k2 ?

2 ? ?1 ? 3k ? 0, 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

1 且k 2 ? 1. ① 设 A( x A , y A ), B( xB , y B ) ,则 3

xA ? xB ?

6 2k ?9 , xA xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ? 1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? (k ? 1) ? 2k ?2? 2 . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1 3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 于是 ② ? 2,即 2 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 2 3 3k ? 1 3k ? 1 3 3 1 由①、②得 ? k 2 ? 1. 故 k 的取值范围为 (?1, ? ) ? ( ,1). 3 3 3 2 15. 设 A ? x1,y1 ? , B ? x2,y2 ? 两点在抛物线 y ? 2 x 上, l 是 AB 的垂直平分线。
2

(Ⅰ)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F ?证明你的结论; (Ⅱ)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围。 解: (Ⅰ) F ? l ? FA ? FB ? A、B 两点到抛物线的准线的距离相等, ∵抛物线的准线是 x 轴的平行线, y1 ? 0,y2 ? 0 ,依题意 y1,y2 不同时为 0 ∴上述条件等价于 y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? 0
2 2

∵ x1 ? x2 ∴上述条件等价于 x1 ? x2 ? 0 即当且仅当 x1 ? x2 ? 0 时, l 经过抛物线的焦点 F 。 (Ⅱ)设 l 在 y 轴上的截距为 b ,依题意得 l 的方程为 y ? 2 x ? b ;过点 A、B 的直线方程可写为 y ? ? 所以 x1、x2 满足方程 2 x 2 ?

1 x?m, 2

1 x?m ? 0 , 2

得 x1 ? x2 ? ?

1 4

A、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 ? ?

1 1 ? 8m 0 ,即 m ? 4 32 1 1 1 1 设 AB 的中点 N 的坐标为 ? x0,y0 ? ,则 x0 ? ? x1 ? x2 ? ? ? , y0 ? ? x0 ? m ? ?m 2 8 2 16 1 1 5 5 1 9 由 N ? l ,得 ? m ? ? ? b ,于是 b ? ? m ? ? 16 4 16 16 32 32 9 ? ? 即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为 ? , ? ?? ? 32 ?

6.对垂直的处理
16. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C : 2 x ? y ? 1
2 2

(1)设 F 是 C 的左焦点, M 是 C 右支上一点,若 MF ? 2 2 ,求点 M 的坐标; (2)过 C 的左焦点作 C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;

(3)设斜率为 k ( k ? [解](1)双曲线 C :
x2
1 2

2 )的直线 l 交 C 于 P 、 Q 两点,若 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,求证: OP ⊥ OQ
6 2

? y 2 ? 1 ,左焦点 F (?
2 6 2 2

, 0) .
2 2 , 2

设 M ( x, y) ,则 | MF | ? ( x ? 由 M 是右支上一点,知 x ? 所以 M (
6 2
2 2

) ? y 2 ? ( 3x ?

)

……2 分
6 2

,所以 | MF |? 3x ?

2 2

? 2 2 ,得 x ?

.

, ? 2) .
2 2

……5 分

(2)左顶点 A(?

, 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x .
2 x 平行的直线方程为: y ? 2 ( x ?
,得 ?
2 2

过 A 与渐近线 y ? 解方程组 ?

) ,即 y ? 2 x ? 1 .
……8 分

?y ? ? 2 x ?y ? 2 x ?1

? ?x ? ? ?y ? 1 2 ?

2 4

.
2 4

所求平行四边形的面积为 S ?| OA || y |?

.
|b| k 2 ?1

……10 分

(3)设直线 PQ 的方程是 y ? kx ? b .因直线与已知圆相切,故 即 b ? k ? 1 (*).
2 2

? 1,

由?

? y ? kx ? b 2 2 2 ,得 (2 ? k ) x ? 2kbx ? b ? 1 ? 0 . 2 2 ?2 x ? y ? 1

2 kb ? ? x1 ? x2 ? 2 ? k 2 设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ? . ?1? b 2 ? ? x1 x2 ? 2 ? k 2 y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ,所以

OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2
(1? k 2 )( ?1? b 2 ) 2?k 2

? 22k? kb2 ?
2 2

?1? b 2 ? k 2 2?k 2

.

由(*)知 OP ? OQ ? 0 ,所以 OP⊥OQ. 17. 如图, 设椭圆的中心为原点 O, 长轴在 x 轴上, 上顶点为 A, 左右焦点分别为 F1 , F2 , 线段 的中点分别为 B1 , B2 , 且△ AB1 B2 是面积为 4 的直角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程

【命题立意】本题考查椭圆的标准方程,平面向量数量积的基本运算,直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综 合问题.

x2 y 2 解:设所求椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,右焦点为 F2 ? c, 0 ? 。 a b
因 AB1B2 是直角三角形,又 AB1 ? AB2 ,故 ?B1 AB2 为直角,因此 OA ? OB2 ,得 b ? 结合 c ? a ? b 得 4b ? a ? b ,故 a 2 ? 5b2 , c 2 ? 4b2 ,所以离心率 e ?
2 2 2 2 2 2

c 。 2

c 2 ? 5。 a 5

在 Rt AB1B2 中, OA ? B1B2 ,故

S

AB1B2

?

1 c B1B2 OA ? OB2 OA ? b ? b 2 2 2
AB1B2

由题设条件 S

? 4 ,得 b2 ? 4 ,从而 a 2 ? 5b2 ? 20 。

因此所求椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1 20 4

(2)由(1)知 B1 (?2,0), B(2,0) ,由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程为: x ? my ? 2 ,代入椭 圆方程得 m ? 5 y ? 4my ? 16 ? 0 ,
2 2

?

?

设 P ? x1 , y2 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则 y1 , y2 是上面方程的两根,因此

y1 ? y2 ?

4m 16 , y1 y2 ? ? 2 2 m ?5 m ?5

又 B2 P ? ? x1 ? 2, y1 ? , B2Q ? ? x2 ? 2, y2 ? ,所以

B2 P B2Q ? ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? y1 y2
? ? my1 ? 4 ?? my2 ? 4 ? ? y1 y2
? ? m2 ? 1? y1 y2 ? 4m ? y1 ? y2 ? ? 16

??

16 ? m2 ? 1? m2 ? 5

?

16m2 ? 16 m2 ? 5

??

16 m2 ? 6 4 m2 ? 5
2

由 PB2 ? QB1 ,得 B2 P B2Q ? 0 ,即 16m ? 64 ? 0 ,解得 m ? ?2 , 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为: x ? 2 y ? 2 ? 0 和 x ? 2 y ? 2 ? 0 。

7.比例问题
18. 设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角 a 2 b2

为 60o, AF ? 2FB . (I) (II) 解: 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题意知 y1 <0, y2 >0. (Ⅰ)直线 l 的方程为
2 2 ,其中 c ? a ? b . y ? 3 ( x? c)

求椭圆 C 的离心率; 如果|AB|=

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

? y ? 3( x ? c), ? 联立 ? x 2 y 2 得 (3a 2 ? b2 ) y 2 ? 2 3b2cy ? 3b4 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
? 3b2 (c ? 2a) ? 3b 2 (c ? 2a) 解得 y1 ? , y2 ? 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2
因为 AF ? 2FB ,所以 ? y1 ? 2 y2 . 即

3b2 (c ? 2a) ? 3b 2 (c ? 2a) ? 2 ? 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2

得离心率 e ?

c 2 ? . a 3

……6 分

(Ⅱ)因为 AB ? 1 ?

1 2 4 3ab 2 15 y2 ? y1 ,所以 ? 2 ? . 2 3 4 3 3a ? b



c 2 5 15 5 ? 得b ? a .所以 a ? ,得 a=3, b ? 5 . a 3 4 4 3

椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 5



x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 19. 已知椭圆 C1 : 4
(1)求椭圆 C2 的方程;

(2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。

y 2 x2 ? 1? a ? 2 ? , 【解析】 (Ⅰ)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2 ? a 4
a2 ? 4 3 3 a ? 4. ? 其离心率为 2 ,故 a 2 ,则

. 故椭圆 C2 的方程为 16 ? 4 ? 1 (Ⅱ)解法一: A,B 两点的坐标分别为 ? xA,y A ?, ? xB,yB ? , 由 AB ? 2OA 及(Ⅰ)知, O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y ? kx . 将 y ? kx 代入

y2

x2

x2 4 2 ? y 2 ? 1 中,得 1 ? 4k 2 x 2 ? 4 ,所以 x A , ? 4 1 ? 4k 2
y 2 x2 16 2 + ? 1 中,得 ? 4 ? k 2 ? x2 ? 16 ,所以 xB , ? 16 4 4 ? k2
2 2

?

?

将 y ? kx 代入

又由 AB ? 2OA ,得 x B ? 4 x A ,即

16 16 . ? 2 4?k 1 ? 4k 2

解得 k ? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x . 解法二: A,B 两点的坐标分别为 ?x A , y A ?, ?x B , y B ? , 由 AB ? 2OA 及(Ⅰ)知, O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y ? kx . 将 y ? kx 代入

x2 4 2 ? y 2 ? 1 中,得 1 ? 4k 2 x 2 ? 4 ,所以 x A , ? 4 1 ? 4k 2 16k 2 16 2 y ? , , B 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

?

?

2 又由 AB ? 2OA ,得 x B ?

将 x B , y B 代入

2

2

y2 x2 4? k2 ? ?1 ? 1 ,即 4 ? k 2 ? 1 ? 4k 2 , 中,得 1 ? 4k 2 16 4

解得 k ? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x

8.直线过定点或多点共线问题
20. 如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0)上。

(1) 求抛物线 E 的方程; (2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点。 解答: (I)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ;则 x1 ? 2 py1 , x2 ? 2 py2
2 2

2 2 2 OA ? OB ? x12 ? y 12 ? x 2 ?y ? 2 py ?1 y ? 2 1 2 py ? y 2

2 2

? ( y1 ? y 2)(2 p ? y 1 ? y )2? 0 ? y ?1 y ( 2 2 p, y , y 1 ? 0) 2
得:点 A, B 关于 y 轴对称

OA ? OB ? AB ? 8 3 ? A(?4 3,12), B(4 3,12)
x2 代入抛物线 E 的方程得: p ? ? 2 ? 抛物线 E 的方程为 x 2 ? 4 y 2y
(II)设 P( x0 ,
2 x0 1 1 ) ;则 y ? x 2 ? y? ? x 4 4 2

过点 P 的切线方程为 y ?

1 2 1 1 1 2 x0 ? x0 ( x ? x0 ) 即 y ? x0 x ? x0 4 2 2 4

2 x0 ?4 , ?1) 令 y ? ?1 ? Q( 2 x0 2 x0 ?4 , ?1 ? t ) 2 x0

设 M (0, t ) 满足: MP MQ ? 0 及 MP ? ( x0 , y0 ? t ), MQ ? ( 得: 4(t ? t ? 2) ? (1 ? t ) x0 ? 0 对 x0 ? 0 均成立
2 2

? t 2 ? t ? 2 ? 0,1 ? t ? 0 ? t ? 1

以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上定点 M (0,1) 21. 已知曲线 C : ? 5 ? m ? x ? ? m ? 2 ? y ? 8 ? m ? R ? .
2 2

(1)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A , B (点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y ? kx ? 4 与 曲线 C 交于不同的两点 M , N ,直线 y ? 1 与直线 BM 交于点 G ,求证: A , G , N 三点共线. 解: (1)原曲线方程可化简得:
x2 y2 ? ?1 8 8 5?m m?2

8 ? 8 ?5 ? m ? m ? 2 ? ? 8 7 ?0 由题意可得: ? ,解得: ? m ? 5 2 ?5 ? m ? 8 ?m ? 2 ? 0 ?
(2)由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k 2 ? 1) x2 ? 16kx ? 24 ? 0 ,
?=32(2k 2 ? 3) ,解得: k 2 ?

3 2

由韦达定理得: xM ? xN ?

16k 24 ①, xM xN ? 2 ,② 2 2k ? 1 2k ? 1

设 N ( xN , k xN ? 4) , M ( xM , kxM ? 4) , G( xG , 1)
MB 方程为: y ?

? 3xM ? kxM ? 6 , 1? , x ? 2 ,则 G ? xM ? kxM ? 6 ?

? AG ? ?

? 3xM ? ,? 1? , AN ? ? xN ,xN k ? 2 ? , ? xM k ? 6 ?

欲证 A , G ,N 三点共线,只需证 AG , AN 共线 即
3xM ( xN k ? 2) ? ? xN 成立,化简得: (3k ? k ) xM xN ? ?6( xM ? xN ) xM k ? 6

将①②代入易知等式成立,则 A , G ,N 三点共线得证。

9.定值问题
OA ? OB 22. 已知椭圆的中心为坐标原点 O, 焦点在 x 轴上, 斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、 B 两点,
与 a ? (3, ?1) 共线。

(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ? OA ? ? OB (? , ? ? R) ,证明 ?2 ? ? 2 为定值。 解:设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), F (c,0) a2 b2

则直线 AB 的方程为 y ? x ? c ,代入

x2 y2 ? 2 ? 1 ,化简得 (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 cx ? a 2 c 2 ? a 2 b 2 ? 0 . 2 a b

a 2c a 2 c 2 ? a 2b 2 令 A( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 , x x ? . 1 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2

由 OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3, ?1), OA ? OB 与 a 共线,得

3( y1 ? y 2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0, 又 y1 ? x1 ? c, y2 ? x2 ? c , 3 ? 3( x1 ? x2 ? 2c) ? ( x1 ? x2 ) ? 0, ? x1 ? x2 ? c. 2


2a 2 c 3c ? ,所以 a 2 ? 3b 2 . 2 2 2 a ?b

?c ? a2 ? b2 ?

6a , 3

故离心率 e ?

c 6 ? . a 3

(II)证明: (1)知 a 2 ? 3b 2 ,所以椭圆

x2 y2 ? ? 1 可化为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 . a2 b2 设 OM ? ( x, y) ,由已知得 ( x, y) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y 2 ),

? x ? ?x1 ? ?x 2 , ?? ? M ( x, y) 在椭圆上,? (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y 2 ) 2 ? 3b 2 . y ? ? x ? ? x . 1 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 即 ? ( x1 ? 3 y1 ) ? ? ( x2 ? 3 y 2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y 2 ) ? 3b . ① 3c 2 3 2 2 1 2 由(1)知 x1 ? x 2 ? , a ? c ,b ? c . 2 2 2 2 2 2 2 a c ?a b 3 x1 x2 ? ? c2 2 2 a ?b 8 3 9 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? x1 x2 ? 3( x1 ? c)( x2 ? c) ? 4 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 )c ? 3c 2 ? c 2 ? c 2 ? 3c 2 ? 0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又 x 1 ?3 y1 ? 3b , x2 ? 3 y 2 ? 3b ,代入①得 ? ? ? ? 1.
故 ?2 ? ? 2 为定值,定值为 1.

23. 抛物线 C 的方程为 y ? ax 2 (a ? 0) , 过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为 k1,k2 的两条直线分别交抛物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B 三点互不相同),且满足 k 2 ? ?k1 ? 0(? ? 0且? ? ?1) .
(Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线 AB 上一点 M,满足 BM ? ? MA ,证明线段 PM 的中点在 y 轴上; 解: (Ⅰ)由抛物线 C 的方程 y ? ax ( a ? 0 )得,焦点坐标为 (0,
2

1 1 . ) ,准线方程为 y ? ? 4a 4a (Ⅱ)证明:设直线 PA 的方程为 y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) ,直线 PB 的方程为 y ? y0 ? k 2 ( x ? x0 ) .
点 P( x0 , y0 ) 和 点 A( x1 , y1 ) 的 坐 标 是 方 程 组 ?

? ? y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) 2 ② ? ? y ? ax




的解.将②式代入①式得

ax 2 ? k1 x ? k1 x0 ? y0 ? 0 ,于是 x1 ? x0 ?

k1 k ,故 x1 ? 1 ? x0 a a

? ? y ? y0 ? k2 ( x ? x0 ) ④ 的解.将⑤式代入④式得 2 y ? ax      ⑤ ? ? k k ax 2 ? k 2 x ? k 2 x0 ? y0 ? 0 .于是 x2 ? x0 ? 2 ,故 x2 ? 2 ? x0 . a a
又 点 P ( x 0 , y 0 ) 和 点 B( x 2 , y 2 ) 的 坐 标 是 方 程 组 ? 由已知得, k 2 ? ??k1 ,则 x 2 ? ?

?

a

k1 ? x0 .



设点 M 的坐标为 ( x M , y M ) ,由 BM ? ? MA ,则 x M ? 将③式和⑥式代入上式得 x M ? ∴线段 PM 的中点在 y 轴上. 24. 如图,椭圆 C0 :

? x0 ? ?x0 ? ? x0 ,即 xM ? x0 ? 0 . 1? ?

x2 ? ?x1 . 1? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0 ,a,b 为常数),动圆 C1 : x2 ? y 2 ? t12 ,b ? t1 ? a 。点 A1 , A2 分别为 C0 a 2 b2

的左,右顶点, C1 与 C0 相交于 A,B,C,D 四点。 (Ⅰ)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程;
2 (Ⅱ)设动圆 C2 : x 2 ? y 2 ? t2 与 C0 相交于 A , B , C , D 四点,其中 b ? t2 ? a ,

/

/

/

/

2 为定值。 t1 ? t2 。若矩形 ABCD 与矩形 A/ B / C / D/ 的面积相等,证明: t12 ? t2

【解析】设 A ? x1 ,y1 ? ,B ? x1 ,-y1 ? ,又知 A1 ? -a,0 ? ,A2 ? a,0 ? ,则 直线 A1 A 的方程为 直线 A2 B 的方程为 由①②得

y1 ? x+a ? x1 +a -y y = 1 ? x-a ? x1 -a y=

① ② ③

y2 =

- y12 x 2 -a 2 ? 2 2 ? x1 -a

由点 A ? x1 ,y1 ? 在椭圆 C0 上,故可得

x12 ? x12 y12 2 2? y = b 1,从而有 ,代入③得 + =1 ? 1 2 ? a a 2 b2 ? ?

x2 y 2 - =1? x<-a,y <0 ? ……6 分 a 2 b2 (2)证明:设 A' ? x2 ,y2 ? ,由矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D' 的面积相等,得

? x2 ? ? x2? 4 x1 y1 =4 x2 y2 , ? x12 y12 =x2 2 y2 2 ,因为点 A,A' 均在椭圆上,所以 b 2 x12 ?1- 12 ? =b 2 x2 2 ?1- 22 ? ? a ? ? a ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由 t1 ? t2 ,知 x1 ? x2 ,所以 x1 +x2 =a 。从而 y1 +y2 =b ,因而 t1 +t2 =a +b 为定值…1
25. 如图,已知椭圆

x2 y2 2 ? ? 1(a>b>0) 的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1 , F2 为顶点的三 2 a2 b2

角形的周长为 4( 2 ? 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和

PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D .

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,证明 k1 · k2 ? 1 ;

CD 恒成立?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ·
【解析】 (Ⅰ) 由题意知, 椭圆离心率为

2 c , 得 a ? 2c , 又 2a ? 2c ? 4 ? (2 1 )? 2 a

, 所以可解得 a ? 2 2 , c ? 2,

所以 b ? a ? c ? 4 ,所以椭圆的标准方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 ;所以椭圆的焦点坐标为( ?2 ,0) ,因为双曲线为等轴 8 4

双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 4

10.相切与公共切线问题
26. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.
2

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左焦点为 F1 (?1, 0) ,且点 P(0,1) 在 C1 a 2 b2

答案: (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (?1, 0) ,所以 c ? 1 , 点 P(0,1) 代入椭圆
2 2 2

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 1 ,即 b ? 1 , 2 b a b

所以 a ? b ? c ? 2 , 所以椭圆 C1 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

(2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 ,消去 y 并整理得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ? kx ? m ?
因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,
2 2 2 2

整理得 2k ? m ? 1 ? 0
2 2



? y2 ? 4x 2 2 2 ,消去 y 并整理得 k x ? (2km ? 4) x ? m ? 0 。 ? ? y ? kx ? m
因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4) ? 4k m ? 0 ,
2 2 2

整理得 km ? 1



? 2 ? 2 ?k ? ?k ? ? 综合①②,解得 ? 2 或? 2 。 ?m ? 2 ?m ? ? 2 ? ?
所以直线 l 的方程为 y ?

2 2 x? 2 或 y ?? x? 2 。 2 2
2
2

27. 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ? ) ? r (r ? 0) 有一个公共点 A ,且在点 A 处两曲线的切线
2 2

1 2

为同一直线 l . (Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距离。 解: (1)设 A( x0 ,( x0 ? 1) ) ,对 y ? x ? ( x ? 1) 求导得 y? ? 2( x ? 1) ,故直线 l 的斜率 k ? 2( x0 ? 1) ,当 x0 ? 1 时,
2
2

不合题意,所心 x0 ? 1

1 圆心为 M (1, ) , MA 的斜率 k ? ? 2

( x0 ? 1) 2 ? x0 ? 1

1 2

由 l ? MA 知 kk ? ? ?1 ,即 2( x0 ? 1) ?

( x0 ? 1)2 ? x0 ? 1

1 2 ? ?1 ,解得 x ? 0 ,故 A(0,1) 0

所以 r ?| MA |?

1 5 (1 ? 0)2 ? ( ? 1) 2 ? 2 2
2

(2)设 (a,( a ?1) ) 为 C 上一点,则在该点处的切线方程为 y ? (a ? 1) ? 2(a ? 1)( x ? a) 即 y ? 2(a ? 1) x ? a ? 1
2
2

5 若该直线与圆 M 相切,则圆心 M 到该切线的距离为 ,即 2

1 | 2(a ? 1) ?1 ? ? a 2 ? 1| 5 2 ,化简可得 ? 2 [2(a ? 1)]2 ? (?1) 2

a 2 (a 2 ? 4a ? 6) ? 0
求解可得 a0 ? 0, a1 ? 2 ? 10, a2 ? 2 ? 10 抛物线 C 在点 (ai ,(ai ? 1) )(i ? 0,1, 2) 处的切线分别为 l , m, n ,其方程分别为
2

y ? 2 x ? 1① y ? 2(a1 ? 1) x ? a12 ? 1 ②
②-③得 x ?

y ? 2(a2 ? 1) x ? a22 ? 1 ③

a1 ? a2 ? 2 ,将 x ? 2 代入②得 y ? ?1 ,故 D(2, ?1) 2

所以 D 到直线 l 的距离为 d ?

| 2 ? 2 ? (?1) ? 1| 22 ? (?1) 2

?

6 5 。 5

28. 设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点. (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m,n 距离 的比值. 【解析】设准线 l 于 y 轴的焦点为 E,圆 F 的半径为 r , 则|FE|= p , | FA |?| FB|= | FD | = r ,E 是 BD 的中点, (Ⅰ) ∵ ?BFD ? 90 ,∴ | FA | ? | FB|=| FD | = 2 p ,|BD|= 2 p ,
0

设 A( x0 , y0 ),根据抛物线定义得,|FA|= ∵

?ABD







p ? y0 , 2 4 2 为





1 p 1 S?ABD = | BD | ( y0 ? ) = ? 2 p ? 2 p = 4 2 ,解得 p =2, 2 2 2 2 2 ∴F(0,1), FA|= 2 2 , ∴圆 F 的方程为: x ? ( y ? 1) ? 8 ;
(Ⅱ) 【解析 1】∵ A , B , F 三点在同一条直线 m 上, ∴ AB 是圆 F 的直径, ?ADB ? 90 ,
0

3 1 3 或- , | AB | ,∴ ?ABD ? 300 ,∴ m 的斜率为 3 3 2 3 3 p ∴直线 m 的方程为: y ? ? p, x ? ,∴原点到直线 m 的距离 d1 = 4 3 2 2 3 3 设直线 n 的方程为: y ? ? x ? 2 pb ? 0 , x ? b ,代入 x 2 ? 2 py 得, x 2 ? 3 3 4 2 p ∵ n 与 C 只有一个公共点, ∴ ? = p ? 8 pb ? 0 ,∴ b ? ? , 3 6 3 3 p ∴直线 n 的方程为: y ? ? p, x ? ,∴原点到直线 n 的距离 d 2 = 12 3 6 ∴坐标原点到 m , n 距离的比值为 3.
由抛物线定义知 | AD |?| FA |?
2 x0 p 【解析 2】由对称性设 A( x0 , )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2 2p 2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p2 2p 2p 2

点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ?

3p p ? 3p p 3p 得: A( 3 p, ) ,直线 m : y ? 2 2 x ? ? x ? 3 y ? ?0 2 2 2 3p
3p p x2 x 3 3 , ) x ? 2 py ? y ? ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3
2

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6
3p 3p : ?3。 2 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为


相关文章:
圆锥曲线经典解答题汇编
圆锥曲线经典解答题汇编_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档圆锥曲线经典解答题汇编_高三数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线...
圆锥曲线经典题汇编含详细解析
圆锥曲线经典题汇编含详细解析_高二数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线经典题 1.已知椭圆 C: 与圆 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知过椭圆 C 的左顶点 A...
2014-2016年全国一卷圆锥曲线高考题汇编含答案
2014-2016年全国一卷圆锥曲线高考题汇编答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2014-2016年全国一卷及山东卷圆锥曲线高考题汇编答案 ...
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案_数学_高中教育_教育专区。数学圆锥曲线测试高考题一、选择题: x2 y2 4 1. (2006 全国 II)已知双曲线 -=1的一条渐近线方程...
2016年圆锥曲线解答题分类汇编(带答案)
2016年圆锥曲线解答题分类汇编(带答案)_数学_高中教育_教育专区。一、 OA ? OB ? OA ? OB ? 0 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 x2 5.y=kx+ 2 与 x...
2016年高考数学理试题分类汇编:圆锥曲线
2016年高考数学理试题分类汇编:圆锥曲线_高考_高中教育_教育专区。2016 年高考数学理试题分类汇编 圆锥曲线一、选择题 1、(2016 年四川高考)设 O 为坐标原点,P ...
2007-2015山东省高考数学圆锥曲线汇编试题及答案
2007-2015山东省高考数学圆锥曲线汇编试题答案_高考_高中教育_教育专区。2007-2015 山东高考数学圆锥曲线汇编试题 1.07N.L 设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y 2 ...
圆锥曲线高考题汇编(带详细解析)
圆锥曲线高考题汇编(带详细解析) 隐藏>> 第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线解析几何的重点内容,这部分内容的特点是: (1)曲线与方程的基础知识要求很高...
2015年高考数学真题分类汇编 圆锥曲线
2015年高考数学真题分类汇编 圆锥曲线_高考_高中教育_教育专区。2015 年高考数学...x2 试题解析: (Ⅰ)椭圆 C 的标准方程为 ? y2 ? 1. 3 所以 a ? 3 ...
2016年高考数学理真题分类汇编:圆锥曲线
2016年高考数学理真题分类汇编:圆锥曲线_高考_高中教育_教育专区。2016 年高考数学理试题分类汇编 圆锥曲线一、选择题 1、 (2016 年四川高考)设 O 为坐标原点,P...
更多相关标签: