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1.3 空间几何体的表面积和体积典型习题


§ 1.3 空间几何体的表面积和体积典型习
一.课标要求:
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 。

二.命题走向
近些年来在高考中不仅有直接求多面体、 旋转体的面积和体积问题, 也有已知面积或体 积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。 即使考查空间线面的位置关系问题, 也常以几 何体为依托.因而要

熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学 会运用等价转化思想, 会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题, 会等体积转化求 解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上,预测 2009 年高考有以下特色: (1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; (2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转 体中某些元素有关的计算问题;

三.要点精讲
1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长×l 全面积(S 全) 体 积(V)

S 底·h=S 直截面·h S 侧+2S 底 S 底·h S 侧+S 底
1 S 底·h 3

ch 各侧面积之和

棱 锥

1 ch′ 2
各侧面面积之和

1 (c+c′)h′ 2

S 侧+S 上底+S 下底

1 h(S 3

上底

+S 下底

+ S下底 ? S下底 )

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧 棱长。 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2π rl 2π r(l+r) π r h(即π r l)
2 2

圆锥 π rl π r(l+r)

圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+π (r 1+r 2)
2 2



S侧 S全
V

4π R

2

1 2 πrh 3

1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

表中 l、 h 分别表示母线、 高, r 表示圆柱、 圆锥与球冠的底半径, r1、 r2 分别表示圆台 上、 下底面半径,R 表示半径。

四.典例解析
题型 1:柱体的体积和表面积

例 1.一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长. 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得: ?

?2( xy ? yz ? zx) ? 20 ?4( x ? y ? z ) ? 24

(1) ( 2)

由(2)2 得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得 x2+y2+z2=16 即 l2=16 所以 l=4(cm)。 点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表 面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、 体积之间的关系。 例 2.如图 1 所示,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=5,AD=4,AA1=3, AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=

? 。 3

(1)求证:顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积。

图1 图2 解析: (1)如图 2,连结 A1O,则 A1O⊥底面 ABCD。作 OM⊥AB 交 AB 于 M,作 ON ⊥AD 交 AD 于 N,连结 A1M,A1N。由三垂线定得得 A1M⊥AB,A1N⊥AD。∵∠A1AM= ∠A1AN, ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N, 从而 OM=ON。 ∴点 O 在∠BAD 的平分线上。 (2)∵AM=AA1cos ∴AO=

1 3 ? =3× = 2 2 3

AM cos

?
4

=

3 2。 2
9 9 = , 2 2

又在 Rt△AOA1 中,A1O2=AA12 – AO2=9-

∴A1O=

3 2 3 2 ? 30 2 。 ,平行六面体的体积为 V ? 5 ? 4 ? 2 2

题型 2:柱体的表面积、体积综合问题 例 3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 , 3, 6 ,这个长方体对角线的长是

( A.2



3

B.3

2

C.6

D.

6

解析:设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1,b= l= a 2 ? b 2 ? c 2 ? 6 ;答案 D。

2 ,c= 3 ,则对角线 l 的长为

点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。 例 4.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1 将三棱 柱分成体积为 V1、V2 的两部分,那么 V1∶V2= ____ _。 解:设三棱柱的高为 h,上下底的面积为 S,体积为 V,则 V=V1+V2=Sh。 ∵E、F 分别为 AB、AC 的中点, ∴S△AEF=

1 S, 4

V1=

1 1 7 1 h(S+ S+ S ? )= Sh 3 4 4 12

V2=Sh-V1=

5 Sh, 12

∴V1∶V2=7∶5。 点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应 关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型 3:锥体的体积和表面积 例 5. P 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,

可得该几何体的表面积是 D (A)9π (B)10π (C)11π (D)12π (2008 江西卷 10) 连结球面上两点的线段称为球的弦。 半径为 4
CD 的长度分别等于 2 7 、 的球的两条弦 AB 、

E A B O

D C

4 3 , M 、 N 分别为 AB 、 CD 的中点,每条
弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题: ①弦 AB 、 CD 可能相交于点 M ②弦 AB 、 CD 可能相交于点 N ③ MN 的最大值为 5 ④ MN 的最小值为 1 其中真命题的个数为 C A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 (2008 湖北卷 3) 用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 ? ,则球的体积为 B A.
8? 3

B.

8 2? 3

C. 8 2?

D.

32? 3

点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力 方面主要考查空间想象能力。 例 6. (2008 北京,19) . (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC ,△PAD 是等边三 角形,已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. A (Ⅰ)证明:在 △ ABD 中, 由于 AD ? 4 , BD ? 8 , AB ? 4 5 , 所以 AD ? BD ? AB .
2 2 2

P M D C B

P M A D O C B

故 AD ? BD . 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,

BD ? 平面 ABCD , 所以 BD ? 平面 PAD , 又 BD ? 平面 MBD , 故平面 MBD ? 平面 PAD . (Ⅱ)解:过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O , 由于平面 PAD ? 平面 ABCD , 所以 PO ? 平面 ABCD . 因此 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高, 又 △PAD 是边长为 4 的等边三角形.
因此 PO ?

3 ?4 ? 2 3. 2

在底面四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , AB ? 2 DC , 所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ ADB 中,斜边 AB 边上的高为 此即为梯形 ABCD 的高, 所以四边形 ABCD 的面积为 S ? 故 VP ? ABCD ?

4?8 8 5 , ? 5 4 5

2 5?4 5 8 5 ? ? 24 . 2 5

1 ? 24 ? 2 3 ? 16 3 . 3

点评:本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的 洞察力,并进行一定的逻辑推理。 题型 4:锥体体积、表面积综合问题

例 7.ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GB 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,且 GC=2,求点 B 到平面 EFC 的距离? 解:如图,取 EF 的中点 O,连接 GB、GO、CD、FB 构造三棱锥 B-EFG。

设点 B 到平面 EFG 的距离为 h,BD= 4 2 ,EF ? 2 2 ,CO=

3 ×4 2 ? 3 2 。 4

GO ? CO 2 ? GC 2 ? (3 2 ) 2 ? 2 2 ? 18 ? 4 ? 22 。
而 GC⊥平面 ABCD,且 GC=2。 由 V B ? EFG ? VG ? EFB ,得

1 1 EF·GO·h ? S △EFB · 6 3

点评:该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 B 为顶点,△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键,利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方 程是解这类题的方法,从而简化了运算。 例 8. (2007 江西理,12) A 如图, 在四面体 ABCD 中, 截面 AEF 经过四面体的内切球 (与 四个面都相切的球)球心 O,且与 BC,DC 分别截于 E、F, 如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥 A - O D BEFD 与三棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1, S2, 则必有 ( ) F A.S1?S2 B.S1?S2 B C.S1=S2 D.S1,S2 的大小关系不能确定 E 解:连 OA、OB、OC、OD, 则 VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC 又 VA-BEFD=VA-EFC, 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故 SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC +SEFC 又面 AEF 公共,故选 C 点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、 表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。 题型 5:棱台的体积、面积及其综合问题 例 9. (2008 四川理,19) . (本小题满分 12 分)

C

如图, 面 ABEF⊥面 ABCD, 四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD=∠FAB=90°, BC∥ AD,BE∥ AF,G、H 分别是 FA、FD 的中点。 (Ⅰ)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (Ⅱ)C、D、E、F 四点是否共面?为什么? (Ⅲ)设 AB=BE,证明:平面 ADE⊥平面 CDE.
1 2
1 2

F G E A )解法一: (Ⅰ)由题设知,FG=GA,FH=HD. 所以 GH 又 BC B C D H

1 AD , 2 1 AD ,故 GH 2
BC.

所以四边形 BCHG 是平行四边形. (Ⅱ)C、D、F、E 四点共面.理由如下: 由 BE

1 AF ,G 是 FA 的中点知,BE 2

GF,所以 EF∥BG.

由(Ⅰ)知 BG∥GH,故 FH 共面.又点 D 在直线 FH 上. 所以 C、D、F、E 四点共面. (Ⅲ)连结 EG,由 AB=BE,BE

AG 及∠BAG=90°知 ABEG 是正方形.

故 BG⊥EA.由题设知,FA、AD、AB 两两垂直,故 AD⊥平面 FABE, 因此 EA 是 ED 在平面 FABE 内的射影,根据三垂线定理,BG⊥ED. 又 ED∩EA=E,所以 BG⊥平面 ADE. 由(Ⅰ)知,CH∥BG,所以 CH⊥平面 ADE.由(Ⅱ)知 F ? 平面 CDE.故 CH ? 平面 CDE,得平 面 ADE⊥平面 CDE. 解法二: 由题设知,FA、AB、AD 两两互相垂直. 如图,以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴正方向建立直角坐标系 A-xyz. (Ⅰ)设 AB=a,BC=b,BE=c,则由题设得

A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c).
所以, GH ? (0, b,0), BC ? (0, b,0). 于是 GH ? BC . 又点 G 不在直线 BC 上. 所以四边形 BCHG 是平行四边形.

????

??? ?

????

??? ?

(Ⅱ)C、D、F、E 四点共面.理由如下: 由题设知,F(0,0,2c),所以

??? ? ???? ??? ? ???? EF ? (?a,0, c), CH ? (?a,0, c), EF ? CH ,
又C ? EF,H ? FD,故C、D、F、E四点共面.
(Ⅲ)由 AB=BE,得 c=a,所以 CH ? (?a,0, a), AE ? (a,0, a). 又 AD ? (0, 2b,0),因此 CH ?AE ? 0, CH ?AD ? 0. 即 又

????

??? ?

??? ?

???? ??? ?

???? ??? ?

CH⊥AE,CH⊥AD, AD∩AE =A,所以 CH⊥平面 ADE,

故由 CH ? 平面 CDFE,得平面 ADE⊥平面 CDE. 点评:该题背景较新颖,把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则 几何体(拟柱体)中,能考查考生的应变能力和适应能力,而第三步研究拟柱体的近似计算 公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题, 是极具实际意义的问题。 考查了 考生继续学习的潜能。 例 10. (1) (2008 四川理,8) 设 M , N 是球心 O 的半径 OP 上的两点,且 NP ? MN ? OM ,分别过 N , M , O 作垂线于

OP 的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为:( D )
(A) 3,5,6 (B) 3, 6,8 (C) 5, 7, 9 (D) 5,8, 9

【解】 :设分别过 N , M , O 作垂线于 OP 的面截球得三个圆的半径为 r1 , r2 , r3 ,球半径为 R ,

?2 ? 5 ?1 ? 8 ?2 ? 则: r ? R ? ? R ? ? R2 , r22 ? R2 ? ? R ? ? R2 , r32 ? R2 ? ? R ? ? R2 ?3 ? 9 ?3 ? 9 ?3 ?
2 1 2

2

2

2

2 2 2 ∴r 1 :r 2 :r 3 ? 5:8: 9

∴这三个圆的面积之比为: 5,8, 9

故选 D

【点评】 :此题重点考察球中截面圆半径,球半径之间的关系; 【突破】 :画图数形结合,提高空间想象能力,利用勾股定理; 例 11. (2008 四川文,12) 若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为 60 的菱形,则 该棱柱的体积等于( B ) (A) 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D) 4 2
0

0 【解】 :如图在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,设 ?AA 1B 1 ? ?AAC 1 1 ? 60 ,

0 O, 由条件有 ?C1 A 1B 1C1 于点 1B 1 ? 60 ,作 AO ? 面A

则 cos ?AAO ? 1

cos ?AA1B1 cos 600 1 3 ? ? ? 0 cos ?B1 AO cos30 3 3 1
6 3
∴ AO ? AA1 ? sin ?AA1O ?

∴ sin ?AA1O ?

2 6 3
故选 B

∴ VABC ? A1B1 AOC1 ? S?A1B1C1 ? AO ?

1 2 6 ? 2 ? 2 ? sin 600 ? ?2 2 2 3

【点评】 : 此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式, 同时考察空间想象能力; 【突破】 :具有较强的空间想象能力,准确地画出图形是解决此题的前提,熟悉最小角定理 并能准确应用是解决此题的关键; 例 12.如图 9—9,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球,水面高度恰好升高 r,则

R = r



解析:水面高度升高 r,则圆柱体积增加π R2·r。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积, 因此有

4 3 R 2 3 2 3 π r =π R2r。故 ? 。答案为 。 3 3 r 3

点评:本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。 题型 7:圆锥的体积、表面积及综合问题 例 13.已知过球面上 A, B, C 三点的截面和球心的距离为球半径的 半,且 AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表面积。 解:设截面圆心为 O? ,连结 O?A ,设球半径为 R , 则 O?A ? 一

2 3 2 3 ? ?2 ? , 3 2 3
2 2 2



在 Rt ?O?OA 中, OA ? O?A ? O?O , ∴R ?(
2

2 3 2 1 2 ) ? R , 3 4

∴R ?

4 , 3
2

∴ S ? 4? R ?

64 ?。 9

点评: 正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系。 例 14.如图所示,球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA,PB,PC 两两互相垂直, 且 PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。

解析:如图,设过 A、B、C 三点的球的截面圆半径为 r,圆心为 O′,球心到该圆面 的距离为 d。 在三棱锥 P—ABC 中,∵PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA= 2 a,且 P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心 O′。

由正弦定理,得

2a 6 =2r,∴r= a。 sin 60? 3

又根据球的截面的性质,有 OO′⊥平面 ABC,而 PO′⊥平面 ABC, ∴P、 O、 O′共线, 球的半径 R= r 2 ? d 2 。 又 PO′= PA2 ? r 2 = a ?
2

3 2 2 a, a = 3 3

∴OO′=R -
2

3 3
2

a=d= R 2 ? r 2 ,(R-

3 3

a)2=R2 – (

3 6 2 a) ,解得 R= a, 2 3

∴S 球=4π R =3π a 。 点评:本题也可用补形法求解。将 P—ABC 补成一个正方体,由对称性可知,正方体 内接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径 R=

3 a,下略。 2

题型 9:球的面积、体积综合问题 例 15. (1)表面积为 324? 的球,其内接正四棱柱的高是 14 ,求这个正四棱柱的表面 积。 (2)正四面体 ABCD 的棱长为 a,球 O 是内切球,球 O1 是与正四面体的三个面和球 O 都 相切的一个小球,求球 O1 的体积。 解: (1)设球半径为 R ,正四棱柱底面边长为 a ,

则作轴截面如图, AA? ? 14 , AC ?
2 又∵ 4? R ? 324? ,∴ R ? 9 ,

2a ,

∴ AC ?

AC?2 ? CC?2 ? 8 2 ,∴ a ? 8 ,
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∴ S表 ? 64 ? 2 ? 32 ?14 ? 576

(2) 如图, 设球 O 半径为 R, 球 O1 的半径为 r, E 为 CD 中点, 球 O 与平面 ACD、 BCD 切于点 F、G,球 O1 与平面 ACD 切于点 H
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由题设

AG ?

AE 2 ? GE 2 ?

6 a 3

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△AOF∽△AEG



6 a?R 6 ? 3 ,得 R ? a 12 3 3 a a 6 2 R

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△AO1H∽△AOF



6 a ? 2R ? r r 6 3 ? ,得 r ? a R 24 6 a?R 3
3

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V球O1

4 4 ? 6 ? 6 3 ? ?r 3 ? ? ? a? ? a ? ? 3 3 ? 24 ? 1728

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点评:正四面体的内切球与各面的切点是面的中心,球心到各面的距离相等。 题型 10:球的经纬度、球面距离问题 例 19. (1)我国首都靠近北纬 40 纬线,求北纬 40 纬线的长度等于多少 km ?(地球 半径大约为 6370km ) (2)在半径为 13cm 的球面上有 A, B, C 三点, AB ? BC ? AC ? 12cm ,求球心到经过 这三点的截面的距离。 解: (1)如图, A 是北纬 40 上一点, AK 是它的半径, ∴ OK ? AK , 设 C 是北纬 40 的纬线长, ∵ ?AOB ? ?OAK ? 40 ,
? ? ? ? ?

∴ C ? 2? ? AK ? 2? ? OA ? cos ?OAK ? 2? ? OA ? cos 40

?

? 2 ? 3.14 ? 6370 ? 0.7660 ? 3.066 ?104 (km)
答:北纬 40 纬线长约等于 3.066 ?10 km .
? 4

(2)解:设经过 A, B, C 三点的截面为⊙ O? , 设球心为 O ,连结 OO? ,则 OO? ? 平面 ABC , ∵ AO? ?

3 2 ?12 ? ? 4 3 , 2 3

∴ OO? ? OA2 ? OA?2 ? 11, 所以,球心到截面距离为 11cm .

例 16.在北纬 45 圈上有 A, B 两点,设该纬度圈上 A, B 两

?

点的劣弧长为 球面距离。

2 ,求 A, B 两点间的 ? R ( R 为地球半径) 4

解:设北纬 45 圈的半径为 r ,则 r ?
? ? 北纬 45 圈的圆心, ?AO ' B ? ? ,

2 R ,设 O? 为 4

∴? r ? ∴? ?

2 2 2 ? R ,∴ R? ? ?R, 4 2 4
,∴ AB ?

?
2

2r ? R ,

∴ ?ABC 中, ?AOB ?

?
3



所以, A, B 两点的球面距离等于

?
3

R.

点评:要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离,再求出这两点的球心角,进 而求出这两点的球面距离。 (2008 广东文 18) (本小题满分 14 分) 如图 5 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径, ?ABD ? 60 , ?BDC ? 45 , ?ADP ~ ?BAD 。 (1)求线段 PD 的长;
? ?

(2)若 PC ? 11R ,求三棱锥 P-ABC 的体积。 【解析】 (1)? BD 是圆的直径 ?

?BAD ? 90?



? A D P~? B A ,D

3 4 ? 3R ; ? 1 2R ? 2 ? (2 ) 在 Rt ? BCD 中, CD ? BD cos 45 ? 2R 2 2 2 2 2 ?9 R ?2 R ?1 1 R ? PC ? P D2 ? C D ? P D? C D 又 ?PDA ? 90? ? PD ? 底面 ABCD ? 3 2 1 ?2 1 1 ? 3 21 S? ABC ? AB?BC s i n 6? 0 ? ?4 5 ? R? R ? 2 ? ? R ? ? ? ? 2 2 2 2 2 ? 2 4 ? ? BD sin 60? AD DP AD 2 ? , DP ? ? ? BA AD BA BD sin 30?

? ?

? ?

2

4R2 ?

三棱锥 P ? ABC 的体积为 VP ? ABC ? ?S? ABC ?PD ? ?

1 3

1 3

3 ?1 2 3 ?1 3 R ? 3R ? R . 4 4

五.思维总结
1.正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全= 3 a ;
2

(2)体积:V=

2 3 a; 12 2 a; 2

(3)对棱中点连线段的长:d=

(4)内切球半径:r=

6 a; 12
R=

(5)外接球半径

6 a; 4

(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 2. 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角 四面 体有下列性质: 如图,在直角四面体 AOCB 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=a,OB=b,OC=c。 则:①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形; ②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心; ③体积 V=

1 abc; 6

④底面△ABC=
2

1 2

a 2 b2 ? b2c2 ? c2a 2 ;

⑤S △ABC=S△BHC·S△ABC; 2 2 2 2 ⑥S △BOC=S △AOB+S △AOC=S △ABC

1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 ; 2 OH a b c 1 ⑧外切球半径 R= a 2 ? b2 ? c2 ; 2
⑦ ⑨内切球半径 r=

S ?AOB ? S ?BOC - S ?ABC a?b?c

3.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角. ①如图,圆锥的顶角为β ,母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,底面半径为 r,则

? h = , l 2 ? ? r α + =90° ? cosα =sin = . l 2 2
sinα =cos

②圆台 如图,圆台母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,上、下底面半径分别为 r ′、r,则 h=lsinα ,r-r′=lcosα 。 ③球的截面 用一个平面去截一个球,截面是圆面. (1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆; (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面; (3)球心和截面距离 d,球半径 R,截面半径 r 有关系: r= R 2 - d 2 . 4.经度、纬度: 经线:球面上从北极到南极的半个大圆;

纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;

经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 0 经线及轴确定的半平 面所成的二面角的度数。 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。

?

5. 两点的球面距离: 球面上两点之间的最短距离, 就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度, 我们 把这个弧长叫做两点的球面距离 两点的球面距离公式: (其中 R 为球半径, ? 为 A,B 所对应的球心角的弧度数)
王新敞
奎屯 新疆


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