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公开课教案:指数函数(高三复习课)


2012 学年度第一学期高三数学助学提纲

指数函数
【复习目标】 : 1 掌握指数函数的性质、图像及应用。 . 2 进一步领会研究函数的基本方法,提高观察、分析、归纳的能力,增强分类讨论、数 形结合、换元与等价转化等思想方法的应用。 【复习重点】指数函数性质、图像 【复习难点】指数函数性质、图像的综合应用 【知识梳理】 1 指数函数的定义: 一般地,把形如 的函数叫做指数函数。 2 指数函数的图像和性质:

y ? ax ( a ? 1)
y 图

y ? a x ( 0 ? a ? 1)
y

像 x o x o O 0 o

(1)定义域为 (2)过定点( )



值域为

函 数 性 质

当x ? 0时,y ? 当x ? 0时,y ?
(3)单调性: ;



当x ? 0时,y ? 当x ? 0时,y ?
单调性:



【双基检测】 : 1.函数 f ( x) ?

3 2 x ?1 ?
2 x ?1

1 的定义域是 27
? 1 (a ? 0, a ? 1) 过定点,则此定点坐标为
x

2.已知函数 f ( x) ? a

. .

3.指数函数 f ( x) ? (a ? 1) 是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围是

1

2012 学年度第一学期高三数学助学提纲

1 是奇函数,则实数 a 的值为 4 ?1 x 5.当 x ? ?? 1,1? 时函数 f ( x) ? 3 ? 2 的值域是
4.已知函数 f ( x) ? a ?
x



1 x x 6.函数 y=( ) -3 在区间[-1,1]上的最大值为________. 3 7.(1)若指数函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )在[-1,1]上的最大值与最小值的差是 1,则底
x

数 a 等于 (2)若指数函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )在[-1,1]上的最大值与最小值的和是
x

5 ,则底 2


数 a 等于 8.若函数 f ( x) ? a ? (b ? 1)( a ? 0 且 a ? 1 ) 的图像在第一、 三、 四象限, 则必有 (
x

A . 0 ? a ? 1 且 b ? 0 B. 0 ? a ? 1 且 b ? 0 【例题】 1.已知 x ? [0 , 3] ,求函数 y ? 4
x? 1 2

C. a ? 1 且 b ? 0

D. a ? 1 且 b ? 0

? 2 x? 2 ? 3 的最大值与最小值.

2.若关于 x 的方程 9 ? (a ? 4) ? 3 ? 4 ? 0 有实数解,求实数 a 的取值范围.
x x

变式训练 1:若关于 x 的方程 9 ? 4 ? 3 ? a ? 0 有实数解,求实数 a 的取值范围.
x x

变式训练 2:若关于 x 的方程 a9 ? 4 ? 3 ? 4 ? 0 有实数解,求实数 a 的取值范围.
x x

2

2012 学年度第一学期高三数学助学提纲

3. (2011 年上海数学高考理科卷第 20 题).已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 , 其中常数 a, b 满足
x x

ab ? 0 。⑴ 若 ab ? 0 ,判断函数 f ( x) 的单调性,并加以证明;
⑵ 若 ab ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时 x 的取值范围。

1 4.(2008 年上海数学高考理科卷第 19 题).已知函数 f(x)=2x- |x|. 2 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围.

【巩固训练与作业题】 1.下列函数式中,满足 f ( x ? 1) ?

1 ( x ? 1) 2 1 2. 函数 y ? x 的值域是( 2 ?1
A、 A、? ??,1? 3. f ( x) ? (1 ? a ) ? a
x 2

1 ) f ( x) 的是( 2 1 x B、 x ? C、 2 4
) C、? ?1, ?? ?

D、 2

?x

B、? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ?
?x

D、(??, ?1) ? ? 0, ?? ?

是( )A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数

3

2012 学年度第一学期高三数学助学提纲

4.已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a ? b 的图像必定不经过(
x



A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 |1-x| 5.(选做)若函数 y=2 +m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是( A.m≤-1 B.-1≤m<0
2 x

)

C.m≥1

D.0<m≤1

6.不等式 (2a ? 1) ? 1 的解集为 (?? , 0) ,则实数 a 的取值范围是______________. 7.(选做)关于 x 的方程 4 ? k ? 2 ? k ? 3 ? 0 有且只有一个实数解,则实数 k 的取值范围
x x

是___________________________. 8.定义区间[x1,x2]的长度为 x2-x1,已知函数 f(x)=3|x|的定义域为[a,b],值域为[1,9],则 区间[a,b]的长度的最大值为______ ,最小值为______. 9.若关于 x 的方程 4 ? 2 ? m ? 2 ? 0 有实数根,求实数 m 的取值范围.
x x

10.已知 x ? ? ?3, 2 ? ,求 f ( x) ?

1 1 ? ? 1 的最小值与最大值。 4x 2x

1 11. 已 知 指 数 函 数 y ? ( ) x , 当 x ? ( 0 , ? ? 时 ) , 有 y ?1 , 解 关 于 x 的 不 等 式 a
loga ( x ? 1) ? log a (6 ? x) 。

12.关于 x 的方程 k ? 9 ? k ? 3
x

x ?1

? 6(k ? 5) ? 0 在 x ? [0 , 2] 上有解,求实数 k 的取值范围.

3x 1 ? . 13.已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 9 ?1 2 (1)判断并证明函数 y ? f ( x) 在 (??,0] 上的单调性; (2) (选做)求函数 y ? f ( x) 的值域; 1 (3) (选做)求不等式 f ( x) ? 的解集. 3

4

2012 学年度第一学期高三数学助学提纲

指数函数
【复习目标】 : 1 掌握指数函数的性质、图像及应用。 . 2 进一步领会研究函数的基本方法,提高观察、分析、归纳的能力,增强分类讨论、数 形结合、换元与等价转化等思想方法的应用。 【复习重点】指数函数性质、图像 【复习难点】指数函数性质、图像的综合应用 【知识梳理】 1 指数函数的定义: 一般地,把形如 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 2 指数函数的图像和性质:
x

的函数叫做指数函数。

y ? ax ( a ? 1)
y 图

y ? a x ( 0 ? a ? 1)
y

像 x o x o O 0 o

(1)定义域为

x?R



值域为

y ? (0,??)

(2)过定点( 0,1 ) 函 数 性 质

当x ? 0时,y ? 当x ? 0时,y ?
(3)单调性:

(1, ??) ; (0,1)


当x ? 0时,y ? (0,1) 当x ? 0时,y ? (1, ??)



在( ? ?,??) 内是增函数;

在( ? ?,??) 内是减函数;

【双基检测】 : 1.函数 f ( x) ?

3 2 x ?1 ?

1 的定义域是 27

[?1,??)

2.已知函数 f ( x) ? a

2 x ?1

? 1 (a ? 0, a ? 1) 过定点,则此定点坐标为

. ( , 0)

1 2

5

2012 学年度第一学期高三数学助学提纲

3.指数函数 f ( x) ? (a ? 1) 是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围是
x

. (1, 2) .?

4.已知函数 f ( x) ? a ?

1 是奇函数,则实数 a 的值为 4 ?1
x

1 2

5.当 x ? ?? 1,1? 时函数 f ( x) ? 3 ? 2 的值域是
x

? 5 ? ? ,1 ? ? 3 ? ?

1 x 8 x 6.函数 y=( ) -3 在区间[-1,1]上的最大值为________. 3 3 7.(1)若指数函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )在[-1,1]上的最大值与最小值的差是 1,则底
x

数 a 等于
x

5 ?1 2

(2)若指数函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )在[-1,1]上的最大值与最小值的和是 数 a 等于
x

5 ,则底 2

1 或2 2


8.若函数 f ( x) ? a ? (b ? 1)( a ? 0 且 a ? 1 ) 的图像在第一、 三、 四象限, 则必有 ( C A . 0 ? a ? 1 且 b ? 0 B. 0 ? a ? 1 且 b ? 0 【例题】 1.已知 x ? [0 , 3] ,求函数 y ? 4
x? 1 2

C. a ? 1 且 b ? 0

D. a ? 1 且 b ? 0

? 2 x? 2 ? 3 的最大值与最小值. 1 2 1 x 2 解: 设2 ? t, 则 t ? [1 , 8] , y ? t ? 4t ? 3 ? (t ? 4) ? 5 , 所以, 当 t ? 4 即 x ? 2 时, 2 2 y min ? ?5 ;当 t ? 8 即 x ? 3 时, y max ? 3 .
2.若关于 x 的方程 9 ? (a ? 4) ? 3 ? 4 ? 0 有实数解,求实数 a 的取值范围.
x x

解法一:令 t ? 3 ( t ? 0 ) ,则问题变为关于 t 的方程 t ? (a ? 4)t ? 4 ? 0 在 (0 , ? ?) 上有
x
2

?? ? (a ? 4)2 ? 16 ? 0 ? 正实数解,则有 ? t1 ? t2 ? ?(a ? 4) ? 0 ;解得 a ? ?8 ? t1 ? t2 ? 4 ? 0 ?
4 ? 4 ? a ? ?8 3x x x 变 式 训 练 1 : 若 关 于 x 的 方 程 9 ? 4?3 ? a ? 0 有 实 数 解 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围. ( a ? (??,4] )
解法二: ?(a ? 4) ? 3 ?
x

变 式 训 练 2 : 若 关 于 x 的 方 程 a9 ? 4 ? 3 ? 4 ? 0 有 实 数 解 , 求 实 数 a 的 取 值 范
x x

围. ( a ? (??,1] ) 3. (2011 年上海数学高考理科卷第 20 题).已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 , 其中常数 a, b 满足
x x

ab ? 0 。
6

2012 学年度第一学期高三数学助学提纲

⑴ 若 ab ? 0 ,判断函数 f ( x) 的单调性,并加以证明; ⑵ 若 ab ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时 x 的取值范围。 解:⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时,任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2 1 ? 2 2 ) ? b(3 1 ? 3 2 ) ∵
x x x x

2 x1 ? 2 x2 , a ? 0 ? a(2 x1 ? 2 x2 ) ? 0 ,

3x1 ? 3x2 , b ? 0 ? b(3x1 ? 3x2 ) ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,函数 f ( x) 在 R 上是增函数。
当 a ? 0, b ? 0 时,同理,函数 f ( x) 在 R 上是减函数。 ⑵

f (x ? 1 ) ?f x ( ? )a?

x

? 2 b ?2 x ?3

0

当 a ? 0, b ? 0 时,( ) ? ?
x

3 2 3 2

2 x 2b 2b a a ? x ? log 2 (? ) ) , 则x?l ; (或 ( ) ? ? o g1 5 .( ? ) 3 a a 2b 2b 3 2 x 2b 2b a a ? x ? log 2 (? ) ) , 则x?l 。 (或 ( ) ? ? o g1 5 .( ? ) 3 a a 2b 2b 3
x x

当 a ? 0, b ? 0 时,( ) ? ?
x

(机动)变式训练:已知 k ? R , a ? 0 且 a ? 1 ,b ? 0 且 b ? 1 ,函数 f ( x) ? a ? k ? b . (1)如果实数 a 、 b 满足 a ? 1 , ab ? 1 ,试判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)设 a ? 1 ? b ? 0 , k ? 0 ,判断函数 f ( x) 在 R 上的单调性并加以证明; 解: (1)由已知, b ?

1 x ?x ?x x ,于是 f ( x) ? a ? k ? a ,则 f (? x) ? a ? k ? a ,若 f ( x) 是 a
x ?x

偶函数,则 f ( x) ? f (? x) ,即 a ? k ? a 意 实 数 x 恒 成 立 , 所 以 k ?1 .

? a ? x ? k ? a x ,所以 (k ? 1)( a x ? a ? x ) ? 0 对任

若 f ( x ) 是 奇 函 数 , 则 f ( ? x ) ? ? f ( x) , 即

a ? x ? k ? a x ? ?(a x ? k ? a ? x ) , 所 以 (k ? 1)( a x ? a ? x ) ? 0 对 任 意 实 数 x 恒 成 立 , 所 以

k ? ?1.
综上,当 k ? 1 时, f ( x) 是偶函数;当 k ? ?1时, f ( x) 奇函数,当 k ? ?1 , f ( x) 既不是 奇函数也不是偶函数. ( 2 )因为 a ? 1 , 0 ? b ? 1 ,所以函数 y ? a 是增函数, y ? b 减函数,由 k ? 0 知,
x x

y ? k ? b x ? 0 或是增函数,所以函数 f ( x) 在 R 于是增函数.
证明如下: 设 x1 、 x 2 ? R 且 x1 ? x2 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a x2 ? k ? b x2 ? a x1 ? k ? b x1 ? (a x2 ? a x1 ) ? k (b x2 ? b x1 )
7

2012 学年度第一学期高三数学助学提纲

因为 a ? 1 , 0 ? b ? 1, x1 ? x2 , k ? 0 , 所以 a
x2

? a x1 ? 0 , k (b x2 ? b x1 ) ? 0 ,

所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 R 是增函数. 1 4(2008 年上海数学高考理科卷第 19 题).已知函数 f(x)=2x- |x|. 2 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 1 解:(1)当 x<0 时,f(x)=0;当 x≥0 时,f(x)=2x- x. 2 1 由条件可知 2x- x=2,即 22x-2· 2x-1=0,解得 2x=1± 2. 2 ∵2x>0,∴x=log2(1+ 2). 1? 2t 2t 4t ? t 1? (2)当 t∈[1,2]时,2t? ?2 -22t?+m?2 -2t?≥0,即 m(2 -1)≥-(2 -1). ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞). 【巩固训练与作业题】 1.下列函数式中,满足 f ( x ? 1) ?

1 ( x ? 1) 2 1 2.函数 y ? x 的值域是( 2 ?1
A、 A、 ? ??,1?
x 2

1 ) D f ( x) 的是( 2 1 B、 x ? C、 2 x 4
)D C、 ? ?1, ?? ?

D、 2

?x

B、 ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ?
?x

D、 (??, ?1) ? ? 0, ?? ?

3. f ( x) ? (1 ? a ) ? a A、奇函数

是(

)B C、非奇非偶函数
x

B、偶函数

D、既奇且偶函数 )A

4.已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a ? b 的图像必定不经过(

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 |1-x| 5.(选做)若函数 y=2 +m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是( A.m≤-1 B.-1≤m<0
2 x

)A

C.m≥1

D.0<m≤1

6. 不 等 式 (2a ? 1) ? 1 的 解 集 为 (?? , 0) , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ______________. ( ?? , ?1)
x

? (1, ?? )
x

7. (选做)关于 x 的方程 4 ? k ? 2 ? k ? 3 ? 0 有且只有一个实数解

,则

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2012 学年度第一学期高三数学助学提纲

实数 k 的取值范围是___________________________. (?? , ? 3) ? {6} 8. 定义区间[x1,x2]的长度为 x2-x1,已知函数 f(x)=3|x|的定义域为[a,b],值域为[1,9],则 区间[a,b]的长度的最大值为______,最小值为______.4;2 9. 若关于 x 的方程 4 ? 2 ? m ? 2 ? 0 有实数根,求实数 m 的取值范围.
x x

解:由 4 ? 2 ? m ? 2 ? 0 得, m ? ?4 x ? 2 x ? 2 ? ?(2 x ? ) 2 ?
x x

1 2

9 ? 2 ,? m ? (??, 2) 4

10.已知 x ? ? ?3, 2 ? ,求 f ( x) ?

1 1 ? ? 1 的最小值与最大值。 4x 2x
2

f ( x) ?

1 1 1? 3 ? ? x ? 1 ? 4? x ? 2? x ? 1 ? 2 ?2 x ? 2 ? x ? 1 ? ? 2 ? x ? ? ? , x 4 2 2? 4 ?

∵ x ? ? ?3, 2? , ∴

1 1 3 ≤ 2? x ≤ 8 .则当 2? x ? ,即 x ? 1 时, f ( x) 有最小值 ;当 2? x ? 8 , 4 2 4

即 x ? ?3 时, f ( x) 有最大值 57。

1 11. 已 知 指 数 函 数 y ? ( ) x , 当 x ? ( 0 , ? ? 时 ) , 有 y ?1 , 解 关 于 x 的 不 等 式 a
log a x(? ? 1)
a

l o? g x( 。 6

)

解:∵

1 y ? ( ) x 在 x ? (0, ? ?) 时 , 有 y ? 1 , ∴ a

1 ? 1 ,即 0 ? a a

?。 1于是由

?x ?1 ? 6 ? x ? loga ( x ? 1) ? log a (6 ? x) ,得 ?6 ? x ? 0 , ?x ?1 ? 0 ?
解得

7 7 ? x ? 6 , ∴ 不等式的解集为 {x | ? x ? 6} 2 2
x x ?1

12. 关于 x 的方程 k ? 9 ? k ? 3 围.解: k ?
x

? 6(k ? 5) ? 0 在 x ? [0 , 2] 上有解,求实数 k 的取值范

30 30 x , x ? [0 , 2] ,令 t ? 3 ,则 t ? [1 , 9] , k ? 2 ,因为 x ?1 9 ?3 ?6 t ? 3t ? 6

?1 ? ?15 ? t 2 ? 3t ? 6 ? ? , 60 ? ,所以 k ? ? , 8? . ?2 ? ?4 ?
13.已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? (2) (选做)求函数 y ? f ( x) 的值域; (3) (选做)求不等式 f ( x) ? 解: (1)单调递增(证明略) . (2)因为 x ? 0 时, f ( x) 递增,所以令 t ? 3 ( 0 ? t ? 1) ,y?
x

(1)判断并证明函数 y ? f ( x) 在 (??,0] 上的单调性;

3x 1 ? . x 9 ?1 2

1 的解集. 3 t 1 ? t ?1 2
2

9

2012 学年度第一学期高三数学助学提纲

?

1 t? 1 t

?

1 1 ? 1 1? 有? ? y ? 0. 因为函数 y ? f ( x) 是奇函数, 所以 f ( x) 的值域是 ? ? , ? . 2 2 ? 2 2?

1 ? 1 ? , 0? ,不等式 f ( x) ? 无解. 3 ? 2 ? ?x 3 1 1 当 x ? 0 时, ? x ? 0 , f ( x) ? ? f (? x) ? ? ? x ? ? ,令 t ? 3? x , 0 ? t ? 1 ,则 9 ?1 2 3 t 1 t 1 ? 2 ?? , 2 ? , t 2 ? 1 ? 6t ,解得 t ? 3 ? 2 2 (舍去)或 t ? 3 ? 2 2 , 6 t ?1 6 t ?1
(3)当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ?

1 ?1? 所以, ? ? ? 3 ? 2 2 ,不等式 f ( x) ? 的解集为 (log 3 (3 ? 2 2 ) , ? ?) . 3 ?3?

x

10


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