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2013(新课标全国卷Ⅱ)理科数学


2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学试卷(新课改 II)(理工农医类)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 2 (1)已知集合 M = {x | (x ?1) < 4, x∈R},N ={?1,0,1,2,3} ,则 M∩N =

>(A){0,1,2} (B){?1,0,1,2} (C){?1,0,2,3} (D){0,1,2,3}

(2)设复数 z 满足(1?i )z = 2 i ,则 z = (A)?1+i (B)?1?i

(C)1+ i

(D)1?i

(3)等比数列{an}的的前 n 项和为 Sn,已知 S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则 a1 = 1 (A) 3 (B)? 1 3 1 (C) 9 (D)? 1 9

(4)已知 m, n 为异面直线,m⊥平面?,n⊥平面??.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l??,l????则: / / (A)?∥?且 l∥? (C)?与?相交,且交线垂直于 l (B)?⊥?且 l⊥? (D)?与?相交,且交线平行于 l
开始
输入 N

(5)已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a = (A)?4 (B)?3 (C)?2 (D)?1

k =1, S = 0,T =1 (6)执行右面的程序框图,如果输入的 N =10,那么输出的 S = (A)1+ 1 1 1 + +…+ 2 3 10 T T= k S = S+T k= k +1 k >N
是 输出 S 结束 否

1 1 1 (B)1+ + +…+ 2! 3! 10! (C)1+ 1 1 1 + +…+ 2 3 11

1 1 1 (D)1+ + +…+ 2! 3! 11!

(7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O?xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0) ,(1,1,1) ,(0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)设 a = log36,b = log510,c = log714,则 (A)c > b > a (B)b > c > a (C)a > c > b (D)a > b > c

?x ≥1 ? (9)已知 a > 0,x, y 满足约束条件?x + y ≤3 , 若 z =2x + y 的最小值为 1,则 a = ? y≥ a(x ?3) ?
1 (A) 4 1 (B) 2 (C)1 (D)?

(10)已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 +bx +c,下列结论中错误的是 (A)?x0∈R, f (x0)= 0 (B)函数 y = f (x )的图像是中心对称图形 (C)若 x0 是 f (x )的极小值点,则 f (x )在区间(-∞, x0)单调递减 (D)若 x0 是 f (x )的极值点,则 f '(x0 ) = 0 (11) 设抛物线 C: 2 =3px ( p > 0)的焦点为 F, M 在 C 上, y 点 |MF|=5, 若以 MF 为直径的圆过点(0,3), 则 C 的方程为 (A)y2 = 4x 或 y2 = 8x (C)y2 = 4x 或 y2 = 16x (B)y2 = 2x 或 y2 = 8x (D)y2 = 2x 或 y2 = 16x

(12)已知点 A(?1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y = ax +b (a > 0)将△ABC 分割为面积相等的两部分, 则 b 的取值范围是: (A)(0,1) (B)(1?? 2 1 , ) 2 2 (C)(1?? 2 1 , ] 2 3 (D) [ 1 1 , ) 3 2

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要 求作答。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ?BD =

→ →

.

1 (14)从 n 个正整数 1, 2, …, n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为 , 14 则n= .

(15)设??为第二象限角,若 tan(? +

?
4

)=

1 2

,则 sin? +cos??=

. .

(16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,已知 S10 = 0,S15 = 25,则 nSn 的最小值为 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a = bcosC + csinB. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b =2,求△ABC 面积的最大值.

(18)如图,直棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1 = AC = CB = (Ⅰ)证明:BC1 //平面 A1CD1 (Ⅱ)求二面角 D?A1C?E 的正弦值

2 AB. 2

A1 B1

C1

E A D B
(19)(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内, 每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品, 每 1t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度 内市场需求量的频率分布直方图,如右图所示.经 销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品。 X 以 (单位:t,100
≤ X ≤ 150)表示下一个销售季度

C

频率/组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 X 100 110 120 130 140 150

内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季 度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率;

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个需求量,需求量落入该区间 的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 X∈[100,110),则取 X = 105,且 X = 105 的概 率等于需求量落入[100,110]的概率,求 T 的数学期望.

(20)(本小题满分 12 分)
2 x 2 y =1 2 平面直角坐标系 xOy 中, 过椭圆 M:— + — 2 (a>b>0)的右焦点的直线 x + y ?? 3 = 0 交 M 于 a b

1 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (Ι )求 M 的方程 (Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 的面积最大 值. (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) = e x?ln(x + m) (Ι )设 x = 0 是 f (x )的极值点,求 m,并讨论 f (x )的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明 f (x ) > 0 .

请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD C 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BC?AE = DC?AF,B、E、F、C 四点共圆. (1) 证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; F (2) 若 DB =BE = EA,求过 B、E、F、C 四点的圆 的面积与△ABC 外接圆面积的比值。 A

D

B

E

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程
?x =2cos? 已知动点 P,Q 都在曲线 C:? (?是参数)上,对应参数分别为??=?与??=2? (0 <? <2?), M ?y = 2sin?

为 PQ 的中点. (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c =1,证明: (Ⅰ)ab+bc+ac ≤ 1 ; 3
≥1

a2 b2 c2 (Ⅱ) + + b c a

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