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湖南省长沙市长郡中学2016届高三数学(文)上学期第四次月考试题及答案


长郡中学 2016 届高三月考试卷(四) 数学(文科)
一、选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | log2 x ? 1} ,则 CR A ? ( A. (0,2) B. (??,0] )D C. [2,??) )A D.第四象限 )C D. (??,0]

? [2 ? ?)

2.已知为虚数单位,复数 A.第一象限

2i 在复平面内对应的点位于( 1? i
C.第三象限

B.第二象限

2 3.“函数 f ? x ? ? x ? 6mx ? 6 的减区间为 ? ??,3? ”是“ m ? 1 ”的(

A.充分不必要条件 C.充分必要条件
2 2

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )D

4.若点 P(1,1) 为圆 ( x ? 3) ? y ? 9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0

D. 2 x ? y ? 1 ? 0

x2 5.已知曲线 y ? ? 3ln x 的一条切线的斜率为 2,则切点的横坐标为( 2
A.3 B.2 C. 1

)A

D.

1 2

6.已知两个不同的平面 ?、? 和两条不重合的直线 m、n,有下列四个命题: ①若 m / / n, m ? ? ,则 n ? ? ; ③若 m ? ? , m / / n, n ? ? ,则 ? ? ? ; 其中正确命题的个数是( )D A.0 B.1 ②若 m ? ? , m ? ? , 则 ? / / ? ; ④若 m / /? , ? ? ? ? n, 则m / / n .

C.2

D.3

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 7 .设不等式组 ? x ? 4 表示的平面区域为 D .在区域 D 内随机取一个点,则此点到直线 ? y ? ?2 ?
y +2=0 的距离大于 2 的概率是(
A. )A

9 25

B.

8 25

C.

4 13

D.

5 13

8 . 已 知函 数 f ( x) ? A sin( ( 其 中 A ? 0, ? ? ? x? ? )

π ) 的部 分 图 象如 右 图所 示,为 了 得到 2

g ( x) ? sin 2 x 的图象,则只需将 f ( x) 的图象(

)A

π 个长度单位 6 π C.向左平移 个长度单位 6
A.向右平移

B.向右平移

π 个长度单位 12 π D.向左平移 个长度单位 12
)C D. 3

9.执行右侧的程序框图,输出的结果 S 的值为( A. ?

3 2

B.0

C.

3 2

10.已知“若点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 C : 则 C 在点 P 处的切线方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上, a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ?1 ”.现已知双曲线 a2 b

C:

x2 y 2 ? ? 1 和点 Q(1, t )(t ? ? 3) ,过点 Q 作双曲线 C 的两条切 4 12
)C C. ( 4,0) D. (?4,0)

线,切点分别为 M , N ,则直线 MN 过定点( A. (0,2 3) B. (0,?2 3)

11.已知点 P (a, b) 与点 Q(1, 0) 在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧,给出下列命题: ① 2a ? 3b ? 1 ? 0 ; ② a ? 0 时,

b 有最小值,无最大值; a

③存在正实数 m ,使得 a2 ? b2 ? m 恒成立 ; ④ a ? 0 且 a ? 1 , b ? 0 时, 则 其中正确的命题是( A.①② )D B.②③ C.②④ D.③④

1 2 b 的取值范围是 ( ??, ? ) ? ( , ?? ) . 3 3 a ?1

? ? ?3 s i n x,0 ? x ? 1 12 . 已 知 偶 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 域 为 R , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? ? .函数 2 2 ? x ?2 ? 1, x ? 1 ?
g ( x) ? x2 ? 2ax ? a2 ? 1(a ? R) .若函数 y ? g ( f ( x)) 有且仅有 6 个零点,则实数 a 的取值范围为
( )B B. (1,2) C. (2,3] D. (2,3)

A. (1,2]

二、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 13.某校从高一年级学生中随机抽取 100 名学生,将他们期中考试的 数学成绩(均为整数)分成六段:[40,50),[50,60),?,[90,100] 后得到频率分布直方图 ( 如图所示 ) .则分数在 [70,80) 内的人数是 _____.30 14 .已知 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? 2 ,

b ? 3 , cos B ?

4 2 ,则 sin A 的值为__________. 5 5

15.如右图,设 A、B、C、D 为球 O 上四点,若 AB、AC、AD 两两互相垂直,且

AB ? AC ? 6 , AD ? 2 ,则球 O 的体积为
16 . 已 知 A(1,?1), B(4,0),C (2,2) . 平 面 区 域



2? 3
由 所 有 满 足

D

AP ? ? AB ? ? AC(1 ? ? ? a,1 ? ? ? b) 的点 P( x, y ) 组成.若区域 D 的面积为 8,则的 a ? 4b 最小
值为 .9

三、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)在等比数列 ?an ? 中, a 2=4, a6 ? 8a3 . (1)求 an ; (2)令 bn ? log2 an ,求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn . bn ? bn ?1

【解析】(1)设数列 ?an ? 的公比 q ,则 ?

?a1q ? 4
5 2 ?a1q ? 8a1q

,解得 a1 ? 2 , q ? 2 ?????6 分

? an ? 2n (n ? N * ) ;
(2)由(1)知, bn ? log2 2 ? n ,
n

? Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1) 2 2 3 3 4 n n ?1

1 n ? n ?1 n ?1 n 即 Tn ? n ?1 ?1?

????? 12 分

18.(本小题满分 12 分)为了了解学生的校园安全意识,某学校在全校抽取部分学生进行了消防知 识问卷调查,问卷由三道选择题组成,每道题答对得 5 分,答 错得 0 分,现将学生答卷得分的情况统计如下表: 已知被调查的所有女生的平均得分为 8.25 分, 现从所有答 卷中抽取一份,抽到男生的答卷且得分是 15 分的概率为 (1)求 x , y 的值; (2)现要从得分是 15 分的学生中用分层抽样的方法抽取 6 人进行消防知识培训,再从这 6 人中随 机抽取 2 人参加消防知识竞赛,求所抽取的 2 人中至少有 1 名男生的概率. 【解析】(1)因为被调查的所有女生的平均得分为 8.25 分,

1 . 10

?

5 x ? 30 ? 10 ? 15 ? 60 ? 8.25 ,解得 x ? 90 , 20 ? x ? 30 ? 60

从所有答卷中抽取一份,共有结果 (10 ? 25 ? 35 ? y) ? (20 ? 90 ? 30 ? 60) ? 270 ? y 种,

? ,抽到男生且得分是 15 分的概率
因此 x ? 90 , y ? 30 ;

y 1 ? ,解得 y ? 30 , y ? 270 10
?????4 分

(2)从得 15 分的学生中,用分层抽样方法抽取 6 人,则抽样比为

6 1 ? , 90 15

? 女生抽 4 人,记 A1 , A2 , A3 , A4 ,男生抽 2 人,记为 B1 , B2 ,
现从这 6 人中随机抽取 2 人,则所有可能结果为: A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 B1 , A1 B2 , A2 A3 ,

A2 A4 , A2 B1 , A2 B2 , A3 A4 , A3 B1 , A3 B2 , A4 B1 , A4 B2 , B1 B2 共 15 种,
设 “取出的 2 人中至少有一名男生” 为事件 A, 则 A 包含的基本事件有: A1 B1 ,A1 B2 ,A2 B1 ,

A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 , A4 B1 , A4 B2 , B1 B2 共 9 种,? P( A) ?
因此所抽取的 2 人中至少有 1 名男生的概率为

9 3 ? , 15 5
?????12 分

3 . 5

19.(本小题满分 12 分)如图 1,由正四棱锥 P ? ABCD 和正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 所组成的 几何体的三视图如图 2. (1)求证: PC ? 平面 A1BD ; ( 2 )求点 P 到平面 A1BD 的距 离. 【解析】 (1)如图,连接 AC 交

P

2

2

D
A B

2

2
2

C

2

BD 于 O ,并连接 PO 、 A1O .

D1 A1
图1

C1 B1
图2

? 正四棱锥 P ? ABCD , ? PC ? BD ,
又由三视图知, PO ? 又 易 知 PO ? AA 1 ?

2 , AB ? BC ? 2 ,? AC ? 2 2 ,故 PA ? PC ,

2 且 PO // AA1 , ? 四 边 形 POA 1 A 为 平 行 四 边 形 , ? PA // OA 1 ,故
P
?????6 分

OA1 ? PC ,又 OA1 ? BD ? O ,
因此 PC ? 平面 A1BD ;

D
(2)由( 1)知 PA// OA 1 ,故点 P 到平面 A 1 BD 的距离即为点 A 到平面 A1BD 的距离, 又 易 知 平 面 AA1O ? 平 面 A1BD , 且 平 面 AA1O ? 平 面

A

o
D1

C
B

C1 B1

A1

A1 BD ? A1O ,故过 A 作 AE ? A1O ,垂足为 E ,则 AE ? 平面 A1BD , AE 即为点 A 到平面 A1BD 的距离,
又由已知, AO ? AA 1 ?

2 ,? A1O ? 2 ,故 AE ?

AO ? AA1 ? 1, A1O
?????12 分

因此点 P 到平面 A1BD 的距离为 1.

20. (本小题满分 12 分) 设点 G , M 分别是 ?ABC 的重心和外心,A(?1,0) ,B(1,0) , 且 GM // AB . (1)求点 C 的轨迹 E 的方程; (2) 已知点 D(? ,0) , 是否存在直线, 使过点 (0,1) 并与曲线 E 交于 P, Q 两点, 且 ?PDQ 为钝角. 若 存在,求出直线的斜率 k 的取值范围;若不存在,说明理由.

1 2

y x ?1 y , ), 又 GM // AB , 则 M (0, ) , 2 2 3 x ?1 y ? ( x ? 1) ? ? y ? 0 , 又 M 是 ?ABC 的外心,所以 MF ? AC ? 0 ,即 2 6
【解析】 (1) 设 C ( x, y )( y ? 0) , 则 G ( , ) ,AC 的中点 F (

x y 3 3

化简得, x ?
2

y2 y2 ? 1( y ? 0) ,即点 C 的轨迹 E 的方程为 x 2 ? ? 1( y ? 0) 3 3

?????5 分

(2) 假设存在满足条件的直线,并设其方程为 y ? kx ? 1 ,则

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 联立 ? 消去 y 得 (k 2 ? 3) x2 ? 2kx ? 2 ? 0 ,则 ? ? 12k ? 24 ? 0 , 3 ? y ? kx ? 1 ?
设 P( x1, y1 ),Q( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? 由

?2 ? 2k , x1 ? x2 ? 3 , 3 k ?3 k ?3
角 , 有

?PDQ





DP ? DQ ? 0





1 1 1 1 ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? (kx1 ? 1)( kx 2 ? 1) 2 2 2 2 1 5 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k )( x1 ? x2 ) ? ? 0 2 4 7 2 整理得, 11k ? 4k ? 7 ? 0 ,解得 k ? ?1 或 k ? , ?????10 分 11
又当 k ? 1 时,直线过点 A(?1,0) ,而 A 不在曲线 E 上,此时直线与曲线 E 只有一个交点,不 符合题 意,故舍去, 因此,综上可知符合条件的直线存在,且其斜率的取值范围为 k ? ?1 或

7 ? k ? 1或 k ? 1. 11
?????12 分

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? x .
2

(1)求函数 y ? f ( x) 在区间 [ , e ] 的最值; ( e 为自然对数的底数) ( 2 )如果函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 的图象与 x 轴交于两点 A( x1,0), B( x2 ,0) 且 0 ? x1 ? x2 ,求证:

1 e

g/(

x1 ? x2 )?0. 2
/

【解析】 (1)函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) ,且求导得: f ( x) ?
/ / 则当 x ? [ ,1] 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? [1, e] 时, f ( x) ? 0 ,

2 2(1 ? x)(1 ? x) ? 2x ? , x x

1 e

即 f ( x) 在 [ ,1] 上单调递增,在 [1, e] 单调递减,

1 e



1 1 f ( ) ? ?2 ? 2 , f (e) ? 2 ? e 2 , f (1) ? ?1 ,且 f ( 1 ) ? f (e) e e e

因此,当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值 ? 1 , 当 x ? e 时, f ( x) 取得最小值 2 ? e
2

???????????5 分
2 ? ?2 ln x1 ? x1 ? ax1 ? 0 , 2 ? 2 ln x ? x ? ax ? 0 2 2 2 ?

(2)方程 f ( x) ? ax ? 0 有两个不等实根 x1 , x2 ,则有 ?

两式相减得, a ?

2 2(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? x2 ) , 又由已知 g / ( x) ? ? 2 x ? a , x x1 ? x2

则g (

/

x1 ? x2 4 4 2(ln x1 ? ln x2 ) )? ? ( x1 ? x2 ) ? a ? ? ( x1 ? x2 ) ? [ ? ( x1 ? x2 )] 2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 4 2(ln x1 ? ln x2 ) ; )? ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2
/

即g (

/

因此,g (

x1 ? x2 4 2(ln x1 ? ln x2 ) 2( x1 ? x2 ) )?0 ? ? ?0? ? ln x1 ? ln x2 (? 0 ? x1 ? x2 ) 2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

2( ?

x1 ? 1) x x2 ? ln 1 x1 x2 ?1 x2

令 h(t ) ? 减,

2(t ? 1) 4 1 (t ? 1)2 ? ln t , t ? (0,1) ,则 h / (t ) ? ? ?? ? 0 ,即函数 h(t ) 在 (0,1) 上递 t ?1 (t ? 1)2 t t (t ? 1)2 2(t ? 1) ? ln t (0 ? t ? 1) , t ?1

所以,当 t ? (0,1) 时, h(t ) ? h(1) ? 0 ,即

x1 ? 1) x x ?x x2 ? ln 1 成立,即 g / ( 1 2 ) ? 0 成立. ?????????12 因此,当 0 ? x1 ? x2 时, x1 2 x2 ?1 x2 2(


请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ∠BAC 的平分线与 BC 和外接圆分别相交于 D 和 E, 延长 AC 交过 D、 E、C 三点的圆于点 F. (1)求证: EF ? ED ? EA ;
2

(2)若 AE ? 6 , EF ? 3 ,求 AF ? AC 的值. 【解析】(1)如图,连接 CE,DF. ∵AE 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 在圆内又知∠DCE=∠EFD,∠BCE=∠BAE.∴∠EAF=∠EFD 又∠AEF=∠FED, ∴Δ AEF∽Δ FED, ∴

EF AE 2 ? ,∴ EF ? ED ? EA ED EF
9 3 , AD ? 2 2

?????5 分

2 (2)由(1)知 EF ? ED ? EA ,∵EF=3,AE=6, ∴ ED ?

∴ AF ? AC ? AD ? AE ? 6 ? 分

9 ? 27 2

??????????????10

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在 直角坐标系 xoy 中,直线的参数方程为 ?

? x ? ?3 ? t cos? (为参数).取原点为极点, x 轴 ? y ? 1 ? t sin ?
2

的非负半轴为极轴, 并取相同的单位长度建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 4 cos ? . (1)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (2)若直线经过点 (0,4) ,点 P 是曲线上任意一点,求点 P 到直线的距离的最小值. 【解析】(1)曲线 C 直角坐标方程的直角方程为: y ? 4 x ,
2

∴曲线 C 是顶点为 O(0,0) ,焦点为 F (1,0) 的抛物线; (2)直线的参数方程为 ?

????????5 分

? x ? ?3 ? t cos? (为参数),故直线过点 (?3,1) ; ? y ? 1 ? t sin ?

又若直线经过点 (0,4) ,∴直线的普通方程为: x ? y ? 4 ? 0 ,

1 | 4(t ? )2 ? 3 | | 4t ? 4t ? 4 | 2 2 由已知设 P(4t ,4t ) ,则点 P 到直线的距离 d ? , ? 2 2
2

所以当 t ?

1 3 2 ,即点 P(1,2) 时, d 取得最小值 , 2 2

因此点 P 到直线的距离的最小值为

3 2 . 2

????????10 分

24. (本小题满分 10 分)选修 4 -5: 不等式选讲: 已知函数 f ( x) ?| x ? 1 | , g ( x) ? ? | x ? 3 | ?a(a ? R) . (1)当 a ? 6 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? g ( x) ; (2)若函数 y ? 2 f ( x) 的图象恒在函数 y ? g ( x) 的图象的上方,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a ? 6 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 即为 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? 6 ; ①当 x ? ?3 时,不等式即为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 6 ,解得 x ? ?4 ,此时 ? 4 ? x ? ?3 ; ②当 ? 3 ? x ? 1 时,不等式即为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 6 ,即 4 ? 6 成立,此时 ? 3 ? x ? 1 ; ③当 x ? 1 时,不等式即为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 6 ,解得 x ? 2 ,此时 1 ? x ? 1 ; 因此,综上可知所求不等式的解集为 (?4,2) ; (2)函数 y ? 2 f ( x) 的图象恒在函数 y ? g ( x) 的图象的上方, 故 2 f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立,即 a ? 2 | x ? 1 | ? | x ? 3 | , ?????????5分

?? 3 x ? 1, x ? ?3 ? 令 h( x) ? 2 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? ?? x ? 5,?3 ? x ? 1 ,则 h( x) 在 (??,1] 上递减,在 [1,??) 上递增, ?3 x ? 1, x ? 1 ?
故当 x ? 1 时, h( x) 取得最小值 h(1) ? 4 ,故 a ? 4 , 即当 a ? 4 时,函数 y ? 2 f ( x) 的图象恒在函数 y ? g ( x) 的图象的上方.?????????10 分


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