当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

王广廷-2015年中国西部数学邀请赛试题及解答


2015 c?I ??ê ?
2?
(?°??, 200231)

?m

1. ‰?

ê n, ?ê x1 , x2 , · · · , xn ÷v
n P k=1

n P k=1

xk ?

ê. P dk = min |xk ?
m∈Z

m|, 1 ≤ k ≤ n. ?

dk

???. ( ekt ?K)

) { ? ?” ?, ?K??K ?”

x1 , x2 , · · · , xn ?áu (0, 1], ?Ké xi ‰??
n P i=1

ê

??C

(?. P

xi = t, K 0 ≤ t ≤ n, t ∈ N ? .

x1 , x2 , · · · , xk ≤ 1 , xk+1 , xk+2 , · · · , xn > 1 . K 2 2
n X k=1

dk = x1 + x2 + · · · + xk + (1 ? xk+1 ) + · · · + (1 ? xn ) = 2(x1 + x2 + · · · + xk ) + n ? k ? t,

5? x1 + x2 + · · · + xk ≤ n?k k , x1 + x2 + · · · + xk = t ? (xk+1 + · · · + xn ) ≤ t ? . 2 2

n X k=1

dk ≤ min{k, 2t ? n + k } + n ? k ? t
?

= min{n ? t, t} ≤ n ? ? ê?,

n? . 2 n ? ó ê?,

x1 = x2 = · · · = xn?1 = 1 , xn = 0, 2
n P i=1

,k x1 = x2 = · · · = xn = 1 2

di =
?

?

n 2

?

.

n???, ¤????? ){ 5?


n 2

?

.


di + 1 ? { xi } = 1 , 2 2
n X i=1


n P 1 i=1

2

? {xi } =




n 2

?

n P i=1

di , ?d,

di =

n n X 1 ? ? {xi } . 2 i=1 2

- f (x) =

n P 1 i=1 2

? { x } , ? ? f ( x)

i

? 1

?. d

n P

{ xi } =

n P i=1

xi ?

n P

i=1

i=1

[xi ] ∈ Z ?

(1)

n ?óê?, f (x) =
n X i=1 n X 1 n ≥ ? { xi } ? { x } i ≥ 0. 2 2 i=1 n P i=1


, K f (x) = 0, d? x1 = x2 = · · · = xn = 1 2 (2) n ??ê?, f (x) = ?? m ???
n P i=1 n X i=1


di =

n 2

=

?

n 2

?

.

n X 1 1 1 n ≥ = ? { xi } ? { x } + m . i ≥ 2 2 i=1 2 2





ê.
?

di =

n 2

?

1 2

=

n 2

?

x1 = x2 = · · · = xn?1 = 1 , xn = 0 ?, f (x) = 1 . d? 2 2
?

.
n 2
?

n???, ¤????? 2. X?, ω2 ω1 ?

. ω1 ? ? ? u T ??ü:. u??:

ω2 S?u: T . M, N ?

ü^uAB, CD ?O?L M, N . y?: e?? AC, BD, M N

K . ?y: T K ?? ∠M T N . ( ? ?K)

y ? ?Oò? T M, T N

ω2 u: E . ? TM ME = . TN NF

EF , l

MN

EF . u?

d?

u?n, T M2 T M ME AM · M B = · = . T N2 T N NF DN · N C (1)

3

AM K ?

DN K ?, d

u?n? DN KN = . sin ∠DKN sin ∠KDN

AM MK = , sin ∠AKM sin ∠M AK 5?

∠M AK = ∠BAC = ∠BDC = ∠KDN , u? AM M K · sin ∠AKM = . DN N K · sin ∠DKN 2

?n?? MB M K · sin ∠M KB = . NC N K · sin ∠N KC l AM · M B M K2 = . DN · N C N K2 d(1),(2) ? M K2 T M2 = , T N2 N K2 = MK TM = . TN NK T K ?? ∠M T N . 3. ê n ≥ 2, ?ê x1 , x2 , · · · , xn ÷v
n X n P i=1
?

(2)

xi = 1. y?: ≤ n . 2 ( ? , +?) ?K)

1 i=1 1 ? xi

!?

X

xi xj

1≤i<j ≤n

) { ? ?” 2 ? ? du

0 < x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ 1. 5?
X

xi xj =

n X i=1

xi

X

xj =

n X i=1
!

xi (1 ? xi ),

1≤i<j ≤n

1≤i<j ≤n

n X

1 i=1 1 ? xi

!

n X i=1

xi (1 ? xi ) ≤ n.

(?)

? ? é ? ? 1 ≤ i < j ≤ n, k xi + xj ≤ 1, 0 < xi < xj ≤ 1, l (xi ? xj )(1 ? xi ? xj ) ≤ 0, xi (1 ? xi ) ≤ xj (1 ? xj ). u?

x1 (1 ? x1 ) ≤ x2 (1 ? x2 ) ≤ · · · ≤ xn (1 ? xn ). q
1 1?x1

≤ 1 n

1 1?x2 n X

≤ ··· ≤
!

1 , 1?xn n X i=1

d Chebyshev ? ?
!

1 i=1 1 ? xi

xi (1 ? xi ) ≤

n X i=1



1 xi (1 ? xi ) = 1. 1 ? xi



!

¤± (?) ¤á, l ){

? ?¤á. ?: é?? 1 ≤ k ≤ n, k
? 

ky???
?

2

X

xi xj

1≤i<j ≤n

1 1 ? xk 3



≤ 2xk +

n?2X xi . n ? 1 i= k

(?)

???, d??? ?

P

i=k
X

x2 i ≥

2 n?2

P

x i xj , ?
? ?2 X

i,j =k

n?2 2 xi xj ≤ n?1 1≤i<j ≤n;i,j =k l
? ?   ?

xi

.

i= k

?

2

X

xi xj

1≤i<j ≤n

1 1 ? xk

=

2xk (1 ? xk ) + 2 2
P

X



xi x j

1≤i<j ≤n;i,j =k

1 1 ? xk



xi xj xi

= 2xk + ≤ 2xk + ¤± (?) ?¤á. ? K, é (?) ?ü>

i=j =k
P

i=k

n?2X xi . n ? 1 i= k

k = 1, 2, · · · , n ???

? ?¤á. ,n^???¤ ?

4. é???k 100 ^??. ^ T L?dù n / 8?. ? |T | ???.

???

( q? ?K) ) |T |max = 62500. ky?? n / ? ?ê??L 62500. ??|¤ 8 ? P ? A1 (? ) ù ^ ? ? ?? 8?P? ? ^ ? ?, ò ¤ k? ? ? 1 ??|¤ ????

), ¤ k? ? R ? B1 = ?). d ? l ? e A2 , ¤ k? ? R ?

8 ? P ? B1 (e ? ? 3 ? ? ? ? R ?, K ? ^, ò ¤ k? ? ? 1 ? ?, a q ? ?

??|¤

8 ? P ? B2 . 2 ? ? ? e ?¤*d?
k P i=1

A3 , B3 , · · · . u?ù 100 ^?? 5?z?? 1?R?
k X i=1

8? A1 , B1 , A2 , B2 , · · · , Ak , Bk . ???,?^?c???
k P i=1

|Ai | = ai , |Bi | = bi (1 ≤ i ≤ k ), K n / ??, ¤k?

(ai + bi ) = 100.

n>7??|p?R? n / o?ê??L
k X

ai bi (100 ? ai ? bi ).

ai bi (100 ? ai ? bi ) ≤ = ≤

(aj + bj )2 · (100 ? ai ? bi ) 4 i=1
k 1X (ai + bi ) · [(ai + bi )(100 ? ai ? bi )] 4 i=1 k 1X [(ai + bi ) + (100 ? ai ? bi )]2 ( ai + b i ) · 4 i=1 4

4

= 625 ·

k X i=1

( ai + b i )

= 62500. e?‰? 62500 ?? n / 3?I??? ?N E.

100 ^ ? ? ? O ? x = 1, x = 2, · · · , x = 25; y = 1, y =

2, · · · , y = 25; y = x + 26, y = x + 27, · · · , y = x + 50; y = ?x + 101, y = ?x + 102, · · · , y = ?x + 125. d ?, ù 100 ^ ? ? ? ? 4 |, z | 25 ^ ? p ? 1, – ? O ? 0? , 45? , 90? , 135? . ? ? c ü | ? ? ? p R ?, :. d?? n / o?ê ü| u

? ? ? ? p R ?, … ? ? n ? ? 25 × 25 × 50 + 25 × 25 × 50 = 62500. n?, ¤?????62500. ào>/ ABCD ????ü

5.

??? S , AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. y x, y, z, w, k 1 S ≤ (xy + zw). 2 ( ?“f ?K)

?: é a, b, c, d

y ? ào>/ ABCD

>? a, b, c, d

ü

k 4! = 24 ?, ???d>?

x, y ??? , ·??L??Xeü???: (1) e x, y ? à o > / ABCD S≤1 (ab + cd). 5? 2 S
ABC

?

ü > ?, ? ” ? ? 5, ? L y ?

1 1 = AB · BC sin ∠ABC ≤ ab, 2 2
ABC

S

CDA

1 1 = CD · DA sin ∠CDA ≤ cd, 2 2

S=S

+S

CDA

(ab + cd). ≤1 2 ü?é> ?, ?Ly? S ≤ 1 (ac + bd). 2 ?R? é?:? A . K

(2) e x, y ?ào>/ ABCD : A 'u BD

SABCD = SA BCD = SA BC + SCDA 1 1 ≤ A B · BC + CD · DA 2 2 1 1 = AD · BC + CD · AB 2 2 1 = (ac + bd). 2 d (1),(2) ?? ?K¤á. 5

5

x, y ?ào>/ ABCD

ü?é>

??, ?±^ Ptolmey ?

?

y?(?¤á, ??? 1 1 1 1 S = SABCD = AC · BD sin θ ≤ AC · BD ≤ (AB · CD + BC · DA) = (ac + bd). 2 2 2 2 6. é ê a1 , a2 , · · · , am , ? ? 8 ? A = {ai | 1 ≤ i ≤ m}, B = {ai + 2aj | n ?‰? ?u 2 ê, é ¤ kd ??ê ? ê|¤ ?. ? ? ê a1 , a2 , · · · , an , ? 8 ? A B

1 ≤ i, j ≤ m, i = j }. ??4O

A B = (A ∪ B ) \ (A ∩ B ). ( ) ?n n = 3 ?, ¤?? n ≥ 4 ?, éú ?? 5; ?d n ≥ 4 ?, ¤?? ?? 2n. ê a1 , a2 , · · · , an , k B = {3a1 + kd | 2? ?K)

1 ≤ k ≤ 3n ? 4, k ∈ Z}. ???, é?? 1 ≤ i, j ≤ n, i = j , k ai + 2aj = 3a1 + (i ? 1)d + 2(j ? 1)d = 3a1 + (i + 2j ? 3)d, 1 ≤ i + 2j ? 3 ≤ 3n ? 4, ?dk B ? {3a1 + kd | 1 ≤ k ≤ 3n ? 4, k ∈ Z}. , ? ? ?, é 1 ≤ k ≤ 3n ? 4, ? ± y ? ? 3 1 ≤ i, j ≤ n, i = j , ? i + 2j ? 3 = k . (1) k ≥ 2n ? 2 ?, i = k + 3 ? 2n, j = n, k 1 ≤ i ≤ n ? 1 < j = n, …

i + 2j ? 3 = k ; (2) k ≤ 2n ? 3 ?, … k ?óê?, i = 1, j =
k+2 , 2

k 1 = i < j < n, …

i + 2j ? 3 = k ; (3) 5 ≤ k ≤ 2n ? 3, … k ??ê?, i = 2, j =
k+1 , 2

k 1 < i < j < n, …

i + 2j ? 3 = k ; (4) k = 1 ?, i = 2, j = 1; k = 3 ?, i = 4, j = 1. i + 2j ? 3 = k . u ? k

d??

? ?, ? ? o ? 3 1 ≤ i, j ≤ n, i = j ?

{3a1 + kd | 1 ≤ k ≤ 3n ? 4, k ∈ Z} ? B . ?n ? d y. K, k?? n ≥ 4 ê|¤ ê ?/. a1 , a2 , · · · , an ??4O, =ú d > 0. w,k

|A| = n. d?n?? B = {3a1 + kd|1 ≤ k ≤ 3n ? 4, k ∈ Z}, u? |B | = 3n ? 4. qd a2 = a1 + d < 3a1 + d ?? a1 , a2 ?áu B , u? |A ∩ B | ≤ n ? 2. ?dk 6

|A B | = |A| + |B | ? 2|A ∩ B | ≥ n + (3n ? 4) ? 2(n ? 2) = 2n. , ? ? ?, d?n? ê ? 1, 3, 5 · · · , 2n ? 1 ?, k A = {1, 3, 5, · · · , 2n ? 1},

B = {5, 7, · · · , 6n ? 5}, d?k |A B | = 2n. a1 , a2 , a3 ? ê|¤ ??4O ê , K |A| = 3.

n = 3 ?,

d 2a1 + a2 < 2a1 + a3 < 2a3 + a1 < 2a3 + a2 ? ? |B | ≥ 4, qd a1 , a2 ? á u B ? ? |A ∩ B | ≤ 1, ? d |A B | ≥ 5. , ? ? ?, A = {1, 3, 5}, B = {5, 7, 11, 13}, |A B | = 5. dd= n?¤?, n = 3 ?, ¤?? ?? 5; a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5 ?, |A B | ? ?? 5.

n ≥ 4 ?, ¤?? ?? 2n. Eê

7.

a ∈ (0, 1), f (z ) = z 2 ? z + a, z ∈ C. y?: é??÷v |z | ≥ 1 Eê z0 , ? |f (z0 )| ≤ f (z ).

z , ?3÷v |z0 | = 1

( ?#L ?K) y ? k·?y?Xe?n: ? n eEê z 3ü ω k |z0 ? ω | < |z ? ω |. ???, - z0 = ±O? ?
z , |z |

, K?3 ? 1

Eê z0 , éü ????

S ??Eê

K Z0 ? Z ?

%O

:. 5 ?

ω3

S?, K |ω | < 1 = |z0 |, K, ·?ky? f (z )

∠OZ0 W < 90? , ∠W Z0 Z > 90? . ùp Z0 , W, Z ? ü?3ü S.

: E???Eê z0 , w, z éA :. ?d, |z0 ? ω | < |z ? ω |.

e??ü???: (1) 0<a≤
1 4

?, ??

O?

= 1 ? 4a ≥ 0, ¤± z1 , z2 ???ê, u? ?Eê, u?d

d‰??n? z1 , z2 ∈ (0, 1). (2)
1 4

< a < 1 ?, ??

= 1 ? 4a < 0, ¤± z1 , z2 p? S.

‰??n |z1 |2 = |z2 |2 = z1 z2 = a ∈ (0, 1). d (1),(2) ?? f (z ) ü? z1 , z2 ?3ü q |f (z )| = |z 2 ? z + a| = |(z ? z1 )(z ? z2 | = |z ? z1 ||z ? z2 |. |z | = 1 ?, z0 = z , K |f (z )| = |f (z0 )|;
z |z |

|z | > 1 ?, d?n??3 z0 = u? |f (z0 )| < |f (z )|. n??? 8. σ (n) ? n k? ¤k K¤á.

k |z0 ? z1 | < |z ? z1 |, z0 ? z2 | < |z ? z2 |,

ê, n = (2k )!, y?: σ (n) – ê??. 7

k???u 2k

? ? f. ? ?

( +?) ?K) y ? ?? 2k 2k 2k ν2 (n) = + + ··· + k 2 4 2 = 2k?1 + 2k?2 + · · · + 1 = 2k ? 1, ¤±, 22
k ?1

"

#

"

#

"

#

n.
k ?1

n = 22

αt ? 1 α2 pα 1 p2 · · · pt , ? ? t ∈ N , p1 , p2 , · · · , pt ? p ? ? ?

? ? ê,

α1 , α2 , · · · , αt ?

ê. l σ (n) = σ (22
k k ?1

αt 1 )σ (pα 1 ) · · · σ ( pt )

= (22 ? 1) · M = (22 ?? M ? ?? 22
k?1 k?1

+ 1)(22

k?1

? 1) · M,

ê. u? 22 +1
k?1

?

k?1

+ 1 | σ (n). ?n, 2p?1 ≡ ≡ 1(mod p). 22
k?1 k k ,p?1)

?

?????f p, K p ???ê. d Fermat ≡ ?1(mod p) ? 22 ≡ 1(mod p), 22
k ?1

1(mod p), d 22

2gcd(2

e 2k (p ? 1), K gcd(2k , p ? 1) | 2k?1 , l ?1(mod p), l p = 2. ù? p ???êg?.

≡ 1(mod p),

≡1≡

2k | (p ? 1), ?dp ≥ 2k + 1. = σ (n) k???u 2k

??f.

8


相关文章:
更多相关标签: