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高考立体几何中的轨迹问题


高考立体几何中的轨迹问题
高考数学命题重视知识的交叉渗透,在知识网络的交汇点设计试题。近几年来各省市高考试题以立体图 形为载体的轨迹问题,将立体几何和解析几何巧妙地整合在一起,立意新颖,综合性强。解答这类问题的关 键是把空间问题转化为平面问题,试举数例,探索这类问题的解法。 例一(2004 北京理 4)如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P 是侧面

BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1 D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是

D1 A1 B1 P D A
A. 直线

C1

C B
B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线

分析:点 P 到直线 C1 D1 的距离即为点 P 到点 C1 的距离,所以在平面 BB1C1C 中,点 P 到定点 C1 的距 离与到定直线 BC 的距离相等,从而立体几何的轨迹问题就转化成平面解析几何中的抛物线的定义的问题,故 选(D)。 例二(2004 天津文 8). 如图,定点 A 和 B 都在平面 ? 内,定点 P ? ? , PB ? ? ,C 于 A 和 B 的动点,且 PC ? AC 。那么,动点 C 在平面 ? 内的轨迹是 A. 一条线段,但要去掉两个点 C. 一个椭圆,但要去掉两个点 B. 一个圆,但要去掉两个点 D. 半圆,但要去掉两个点
? A P

是 ? 内异

B C 分析:由 PB ? ? ,可得 PB ? AC ,又 PC ? AC ,所以 AC⊥平面 PBC,则可得 AC⊥BC,由于定点

A 和 B 都在平面 ? 内,动点 C 满足 AC⊥BC 的轨迹是在平面 ? 内以 AB 为直径的圆,而 C 是 ? 内异于 A 和 B 的动点,所以动点 C 在平面 ? 内的轨迹是在平面 ? 内以 AB 为直径的圆(去掉两个点 A、B)。 以上二例把立体几何中的轨迹问题转化成解析几何中曲线的定义加以求解,将立几问题先转化为平面问 题,再紧紧抓住解析几何中曲线的定义,通过解析几何中曲线的定义达到解答立体几何中点的轨迹问题。 例三(2008 浙江理 10)如图,AB 是平面 a 的斜线段,A 为斜足,若点 P 在平面 a 内运动,使得△ABP 的 面积为定值,则动点 P 的轨迹是( )

(A)圆 (C)一条直线

(B)椭圆 (D)两条平行直线

分析:由于线段 AB 是定长线段,而△ABP 的面积为定值,所以动点 P 到线段 AB 的距离也是定值.由此可知 空间点 P 在以 AB 为轴的圆柱侧面上.又 P 在平面内运动,所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是 平面的斜线段),得到的切痕是椭圆。P 的轨迹就是圆柱侧面与平面 a 的交线 。这个知识点在苏教版教材选修 2-1 第 34 页的习题 9 有所体现。 例四(2006 北京卷 4)平面 C,则动 点 C 的轨迹是( ) (A)一条直线 (B)一个圆 (C)一个椭圆 (D)双曲线的一支 分析:先探索直线 l 的运动轨迹,由于直线始 l 终与 AB 垂直,可知 l 的运动轨迹应是直线 AB 的垂面 ? 。 又 C 一定在平面 ? 内,所以点 C 的轨迹应该是两个平面的交线,所以点 C 的轨迹是一条直线。 以上二例是通过探索动点在空间中的轨迹,与已知平面相交所成的交线问题,还是将立体平面化。 对例四我们作进一步的探索:若直线 PA 与平面 M 成 α 角,直线 PB 始终与直线 PA 成 β 角,再来求点 B 的轨迹。当 α ≠90°,β =90°,由例四知动点 B 的轨迹是一条直线;当若 α =90°,β ≠90°,则动点 B 的 轨迹是一个圆;当若 α ≠90°,β ≠90°时直线 PB 的轨迹是一个圆锥面,再用一个平面截圆锥面,即所得 交线可能是椭圆、抛物线、双曲线。这一知识在苏教版教材选修 2-1 第 25 页圆锥曲线的引入及 27 页习题 4 都体现出来了。由此可知(1)90°>α >β ,则轨迹是椭圆; (2)α =β ,则轨迹是抛物线; (3)若 α <β , 则轨迹是双曲线。 例五:已知正方体 ABCD? A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 是平面 AC 内的动点,若点 P 到直线 A1 D1 的距 离等于点 P 到直线 CD 的距离,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 ) D. 直线

? 的斜线 AB 交 ? 于点 B,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 ? 于点

分析:如图,以 A 为原点,AB 为 x 轴、AD 为 y 轴,建立平面直角坐标系。设 P(x,y) ,作 PE ? AD 于 E、

PF ? A1D1 于 F,连结 EF,易知

| PF |2 ?| PE |2 ? | EF |2 ? x 2 ? 1
又作 PN ? CD 于 N,则 | PN |?| y ? 1 | 。 依题意 | PF |?| PN | , 即 x 2 ? 1 ?| y ? 1 | , 化简得 x 2 ? y 2 ? 2y ? 0

故动点 P 的轨迹为双曲线,选 B。

P 作垂直于平 例六(2007 北京卷 8)如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的对角线 BD 1 上.过点

P ? x ,MN ? y , 面 BB1D1D 的直线, 与正方体表面相交于 M ,N . 设B 则函数 y ? f ( x) 的图象大致是 ( )
D1 A1 D A M B1 P N B C1 y y y y

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

分析:将线段 MN 投影到平面 ABCD 内,易得 y 为 x 一次函数。 以上二例是通过立几平面化,用代数法来研究点的轨迹(建系或找函数关系) 。 综上,研究立体几何中点的轨迹问题一般先将问题平面化,将问题转化为两平面或曲面的交线,或者直 接用平面解析几何知识如圆锥曲线的定义或建系去处理。这类问题体现了《普通高中数学课程标准》提出的 “在高中数学的教学中,要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系”,因此我们必须引起重视,积极探 索它们的解法。


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