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2015-2016学年福建省福州格致中学高二上学期半期考试数学理试题


2015-2016 学年福建省福州格致中学高二上学期半期考试数学理试题
注意事项:

1、答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写,字体工 整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答,超出范围的答案无效,在草纸、试卷上作答无效。
5.本卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟 第I卷 (选择题 共 60 分)

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合题目要求的) 1.已知 sin x ? 3 cos x ? A.- 3

8 ? ,则 cos( ? x ) ? ( 6 5
B. 4

) D. 3

5

5

C.- 4

5

5

2..已知命题 p :函数 f ( x) ? sin 2 x ?

1 的最小正周期为 ? ;命题 q :若函数 f ( x ? 1) 为偶函数,则 f ( x) 关于 2
) D. p ? ( ?q )

x ? 1 对称.则下列命题是真命题的是(
A. p ? q B. p ? q

C. (?p) ? (?q)

3.已知 e 是自然对数的底数,函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 的零点为 a ,函数 g ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点为 b , 则下列不等式成立的是( A. f (1) ? f (a) ? f (b) C. f (a) ? f (1) ? f (b) ) B. f (a) ? f (b) ? f (1) D. f (b) ? f (1) ? f (a)
11

4.已知数列 {an } 是等差数列,且 a6 ? a7 ? 10 ,则在 ( x ? a1 )(x ? a2 )?( x ? a12 ) 的展开式中, x 项的 系数是( A. 60 5.设 x ? 0, y ? 0 , A ? A. A ? B
2

) B. ?60 C. 30 D. ?30 )

x? y x y ? ,B ? ,则 A 与 B 的大小关系为( 1? x ? y 1? x 1? y
B. A ? B C. A ? B D. A ? B

6.若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,则实数 k 的取值范围 是( )

A. ( , ??)

3 2

B. ( ??, ? )

1 2

C. ( ?

1 3 , ) 2 2
)

D. ?1, ?

? 3? ? 2?

7.若 2a ? 3b ? 0 ,则 2a ?


1 的最小值为( 3b(2a ? 3b)
1第

A. 3

B. 6

C. 9

D. 27 ) D.

8.由直线 y ? 2 x 及曲线 y ? 3 ? x2 围成的封闭图形的面积为( A. 2 3 B. 9 ? 2 3 C.

35 3

32 3

9.现有 4 种不同品牌的小车各 2 辆(同一品牌的小车完全相同) ,计划将其放在 4 个车 库中且每个车库放 2 辆,则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( A. 144 种 B. 108 种 C. 72 种 D. 36 种 )

10.甲罐中有 5 个红球, 2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球, 3 个白球和 3 个黑球.先从甲罐中随机 取出一球放入乙罐,分别以 A 1 , A2 和 A 3 表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中 随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是( ① P( B) ? )

2 5 ; ② P ( B A1 ) ? ;③事件 B 与事件 A 1 相互独立;④ A 1 , A2 , A 3 是两两互斥的事件; 5 11
B.①③ C.②③ D.①④

A.②④

11.如右图所示是二次函数 f ? x ? ? x2 ? bx ? a 的部分图像, 则函数 g ? x ? ? e x ? f ? ? x ? 的零点所在的区间是( A. ? ?1,0? C. ?1, 2 ? B. ? 0,1? D. ? 2,3? )

y
1

O

1

x

x 12.已知函数 f ( x) ? e , a ? b ,记 A ? f (b) ? f (a) , B ?

1 (b ? a )[ f (b) ? f (a )] ,则, A, B 的大小关 2
D. A ? B

系为( A. A ? B

) B. A ? B 第 II 卷 C. A ? B

(非选择题 共 90 分)

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上.) 13.计算定积分

?

1

0

1 ? x 2 dx=


2 2 2

14.若 a, b, c 为直角三角形的三边,其中 c 为斜边,则 a ? b ? c ,称这个定理为勾股定理.现将这一定理 推广到立体几何中:在四面体 O ? ABC 中, ?AOB ? ?BOC ? ?COA ? 90? , S 为顶点 O 所对面的 面 积 , S1 , S 2, S 3分 别 为 侧 面 ?OAB, ?OAC, ?OBC 的 面 积 , 则 S , S 1 , S 2 , S 3满 足 的 关 系 式 为 ; ;

15.若存在实数 x, 使 3x ? 6 ? 14 ? x ? a 成立,则 a 的取值范围是

' x x 16. 已知函数 f ( x) 的定义域是 R ,f (0) ? 2 , 若对任意 x ? R, f ( x) ? f ( x) ? 1 , 则不等式 e f ( x) ? e ? 1

的解集为



2第

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? x ? 4 ? x ? a (a ? 1), 且 f ( x) 的最小值为 3 . (1)求 a 的值; (2)若 f ( x) ? 5, 求满足条件的 x 的集合.

18. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}满足 a1=2,且 anan+1+an+1-2an=0(n∈N*). (1)求 a2,a3,a4 的值; (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.

19. (本小题满分 12 分) 甲乙两人比赛投篮,每人连续投 3 次,投中次数多者为胜,若甲前 2 次每次投中的概率都是 投中的概率是

1 ,第 3 次 3

1 2 ;乙每次投中的概率都是 .甲、乙每次投中与否相互独立. 2 5

(1)求乙直到第 3 次才投中的概率; (2)在比赛前,从胜负的角度考虑,你支持谁?请说明理由.

20. (本小题满分 12 分) 甲、乙等五名大运会志愿者被随机分配到 A 、 B 、 C 、 D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一 名志愿者. (1)求甲、乙两人同时在 A 岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率; (3)设随机变量 X 为这五名志愿者中在 A 岗位服务的人数,求 X 的分布列.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ?1 . x

(1)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)当 a ?

1 5 2 时,设函数 g ( x) ? x ? 2bx ? ,若对于 ?x1 ??1,2? , ?x2 ??0,1? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成 3 12

立,求实数 b 的取值范围.
页 3第

22. (本小题满分 12 分) (1)已知 a , b 为实数,并且 e ? a ? b ,其中 e 是自然对数的底,证明 a ? b .
b a b a (2)如果正实数 a , b 满足 a ? b ,且 a ? 1 ,证明 a ? b .



4第

数学答案(理科) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合题目要求的)

题号 答案

1 B

2 B

3 C

4 B

5 C

6 D

7 A

8 D

9 C

10 A

11 B

12 C

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上.) 13.

? 4

14. S 2 ? S12 ? S22 ? S32

15. (??,8)

16. (0, ??)

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 解:(1) f ( x) ? x ? 4 ? x ? a ? ( x ? 4) ? ( x ? a) ? a ? 4 ??3 分 当且仅当 ( x ? 4)( x ? a) ? 0 时,等号成立??4 分 依题意 a ? 4 ? 3 ,? a ? 1? a ? 7 ??5 分

? ?2 x ? 11, x ? 4 ? (2) f ( x ) ? x ? 4 ? x ? 7 ? ? 3, 4 ? x ? 7 , ??7 分 ? 2 x ? 11, x ? 7 ?

? x?4 ?4 ? x ? 7 ? x ? 7 或? 或? ?? ??2 x ? 11 ? 5 ? 3 ? 5 ?2 x ? 11 ? 5
?3 ? x ? 4或4 ? x ? 7或7 ? x ? 8 ??9 分
所以不等式的解集为 ?3, 8? ??10 分 18. (本小题满分 12 分) 2an 解:(1)由题意得 an+1= ,又 a1=2, an+1 2a1 4 2a 2 8 2a3 16 ∴a2= = ,a3= = ,a4= = a1+1 3 a2+1 7 a3+1 15 2n (2)猜想 an= n . .?.?6 分 2 -1 21 证明:①当 n=1 时, 1 =2=a1,故命题成立. 2 -1 ②假设 n=k 时命题成立,即 ak= 2k , 2k-1 .??4 分

2k 2× k + + 2 -1 2k 1 2k 1 2ak ak+1= = k = k = k+1 , k 2 ak+1 2 +2 -1 2 -1 +1 2k-1 故命题成立.
页 5第

2n 综上,由①②知,对一切 n∈N*有 an= n 成立..??12 分 2 -1 19. (本小题满分 12 分) 解:(1)记事件 Ai :乙第 i 次投中(i=1,2,3),则 P( Ai ) ? 所以P(乙直到第3次才投中)

2 (i ? 1,2,3) ,事件 A1 , A2 , A3 相互独立, 5

2 18 ? . . . . . .4分 5 125 2 (2)设甲投中的次数为X,乙投中的次数为Y,则Y~B( 3, ), 5 2 6 所以,乙投中次数的数学期望E(Y)= 3 ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6分 5 5
= P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? (1 ? )(1 ? ) ? X的可能取值是0,1,2,3, 甲前2次投中次数服从二项分布B( 2 , ),且每次投中与否相互独立,

2 5

2 5

1 3

2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7分 9 1 1 1 1 1 4 1 2 P( X ? 1) ? C 2 ? (1 ? )(1 ? ) ? C 2 (1 ? ) 2 ? ? , . . . . . . . . . . . . . . . . .8分 3 3 2 3 2 9 1 1 1 1 5 2 1 2 1 P( X ? 2) ? C 2 ( ) (1 ? ) ? C 2 ? ? (1 ? ) ? ? , . . . . . . . . . . . . . . . .9分 3 2 3 3 2 18 1 1 1 2 P( X ? 3) ? C 2 ? ( )2 ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10分 3 2 18 2 4 5 1 7 ? 3 ? ? 11分 所以,甲投中次数的数学期望 E ( X ) ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? 9 9 18 18 6
所以 P( X ? 0) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 所以E(Y)>E(X) 所以在比赛前,从比赛的胜负角度考虑,应支持乙.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12分 20. (本小题满分 12 分) 解: (1)记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件 EA ,那么

1 3

1 3

1 2

.?.?4 分 即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是

1 。 40

(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么

.??8 分 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 (3)随机变量可能取的值为 1,2


9 。 10

.??9 分
6第

事件“

”是指有两人同时参加岗位服务



.?.?10 分

所以

.??11 分

的分布列。. 21.(本小题满分 12 分)

??12 分

解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , f′(x)= ﹣a﹣

(1)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x﹣1,∴f(1)=﹣2, f′(x)= ﹣1,∴f′(1)=0 ∴f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=﹣2.??4 分 (2)当 a= 时,f′(x)=﹣ =﹣ .

∴当 0<x<1,或 x>2 时,f′(x)<0; 当 1<x<2 时,f′(x)>0. 所以,函数 f(x)的单调增区间为(1,2) ;单调减区间为(0,1) , (2,+∞) . 当 a= 时,函数 f(x)在(1,2)上为增函数, ∴函数 f(x)在[1,2]上的最小值为 f(1)=﹣ ??7 分 若对于 ? x1∈[1,2], ? x2∈[0,1],使 f(x1)≥g(x2)成立, 则 g(x)在[0,1]上的最小值不大于 f(x)在[1,2]上的最小值(*)??8 分 又 g(x)=x ﹣2bx﹣
2

=(x﹣b) ﹣b ﹣

2

2

,x∈[0,1],

①当 b<0 时,g(x)在[0,1]上为增函数, g(x)min=g(0)=﹣ >﹣ 与(*)矛盾??9 分
2

②当 0≤b≤1 时,g(x)min=g(b)=﹣b ﹣





7第

由﹣b ﹣

2

及 0≤b≤1,得, ≤b≤1;??10 分

③当 b>1 时,g(x)在[0,1]上为减函数, g(x)min=g(1)= ﹣2b 及 b>1 得 b>1.??11 分

综上,b 的取值范围是[ ,+∞) .??12 分 22. (本小题满分 12 分) 证明:

(2)由(1)因为在(0,1)内f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)内是增函数. (反证法)假设 a ? b
b a b 由 0 ? a ? 1, b ? 0 ,所以 a ? 1 ,从而 b ? a ? 1 , a 由 b ? 1 及 a ? 0 ,可推出 b ? 1 ,所以 a, b ? (0,1)

由 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1,假如 a ? b , 则根据f(x)在(0,1)内是增函数,

ln a ln b b a ? 从而 a ? b ; a b ln a ln b b a ? 若 a ? b ,则 ,从而 a ? b . a b
若 a ? b .则
b a 即 a ? b 时 a ? b .与已知矛盾.因此a=b



8第


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