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2012年全国高中数学联赛试题


2012年全国高中数学联赛试题(A卷) 参考答案及评分标准 说明: 1、评阅试卷时,请严格按照本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题 第9题4分为一个档次,第10、11 题5分为一个档次。不要再增加其他中间档次。 2、 对于解答题, 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评阅时可参考本评分标准适 当划分档次评分。 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线 上. 1.设P是函数y=x+2 x(x>0)的图像上任意一点,过点P分别向直线y=x和y轴作垂线, 垂足分别为 A、B,则 P→A· P→B的值是 . 解: -1. 【方法1】设P(x0,x0+2 x0 ),则直线PA的方程为 y-(x0+2 x0 )=-(x-x0),即y=-x+2x0+2 x0 . 由 y=x, y=-x+2x0+2 x0 { , 得A(x0+1 x0 ,x0+1 x0 ). 又B(0,x0+2 x0 ),所以→ PA=(1 x0 ,-1 x0 ), P→B=(-x0,0). 故→ PA· P→B=1 x0 ·(-x0)=-1. 【方法2】如图1,设P(x0,x0+2 x0

)(x0>0),则点P到直线x-y=0和y轴的距离分别为 │PA│ = │x0-(x0+2 x0 )│ 槡2 =槡2 x0 ,│PB│ =x0. 因为O、A、P、B四点共圆(O为坐标原点),所以∠APB=π -∠AOB =3π 4. 故→ PA· P→B=│ P→A│·│ P→B│cos3π 4 =-1. 2.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足acosB -bcosA=35 c,则tanA tanB的值是 . 解: 4. 2012年全国高中数学联赛试题(A卷)参考答案及评分标准 第2页(共 6页) 【方法1】由题设及余弦定理,得 a·c2+_______a2-b2 2ca -b·b2+c2-a2 2bc =35 c,即a2-b2=35 c2. 故tanA tanB=sinAcosB sinBcosA= a·c2+a2-b2 2ca b·b2+c2-a2 2bc =c2+a2-b2 b2+c2-a2= 85 c2 25 c2=4. 【方法2】如图2,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则 acosB=DB,bcosA=AD. 由题设得DB-AD=35 c.

又DB+DA=c. 联立解得AD=15 c,DB=45 c. 故tanA tanB= CD AD CD DB =DB AD=4. 【方法3】由射影定理,得acosB+bcosA=c. 又acosB-bcosA=35 c. 联立解得acosB=45 c,bcosA=15 c. 故tanA tanB=sinAcosB sinBcosA=acosB bcosA= 45 c 15 c =4. 3.设x、y、z∈[0,1],则M= │x-y 槡│ + │y-z 槡│ + │z-x 槡│的最大值是. 解: 槡 2+1. 不妨设0≤x≤y≤z≤1,则M= y- 槡x+ z- 槡y+ z- 槡x. 因为y- 槡x+ z- 槡y≤ 2[(y-x)+(z-y 槡)]= 2(z- x 槡), 所以 M≤ 2(z-x 槡)+ z- 槡x=(槡2+1)z- 槡x≤槡2+ 1. 当且仅当y-x=z-y,x=0,z=1,即x=0,y=1 2,z=1时,上式等号同时成立. 故Mmax 槡= 2+1. 4.抛物线y2 =2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A、B是抛物线 上的两个动点,且满足 ∠AFB=π 3.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则│MN│ │AB│ 的最大值是. 解: 1.

【方法1】设∠ABF=θ (0<θ <2π 3),则由正弦定理,得 2012年全国高中数学联赛试题(A卷)参考答案及评分标准 第3页(共 6页) │AF│ sinθ = │BF│ sin(2π 3 -θ ) =│AB│ sinπ 3 . 所以│AF│ +│BF│ sinθ +sin(2π 3 -θ ) =│AB│ sinπ 3 , 即│AF│ +│BF│ │AB│ = sinθ +sin(2π 3 -θ ) sinπ 3 =2cos(θ -π 3). 如图3, 由抛物线的定义及梯形的中位线定理,得│MN│ =│AF│ +│B F│ 2 . 所以│MN│ │AB│ =cos(θ -π 3). 故当θ =π 3时,│MN│ │AB│ 取得最大值为1. 【方法2】 由抛物线的定义及梯形的中位线定理,得│MN│ =│AF│ +│ BF│ 2 . 在△AFB中,由余弦定理,得 │AB│2 =│AF│2+│BF│2-2│AF│·│BF│cosπ 3 =(│AF│ +│BF│)2-3│AF│·│BF│ ≥(│AF│ +│BF│)2-3(│AF│ +│BF│

2 )2 =(│AF│ +│BF│ 2 )2=│MN│2. 当且仅当│AF│ =│BF│时,等号成立. 故│MN│ │AB│ 的最大值为1. 5. 设同底的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC内接于同一个球.若正三棱 锥P-ABC的侧面 与底面所成的角为45°, 则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值 是. 解: 4. 如图4,连结PQ,则PQ⊥平面ABC,垂足H为正△ABC的中心,且PQ 过球心O.连结CH并延长交AB于点M,则M为AB的中点,且CM⊥AB. 易知∠PMH、 ∠QMH分别为正三棱锥P-ABC、 Q-ABC的侧面与底面 所 成二面角的平面角,则∠PMH=45°,从而PH=MH=12 AH. 因为∠PAQ=90°,AH⊥PQ,所以 AH2=PH·QH,即AH2=12 AH·QH. 所以QH=2AH=4MH. 故tan∠QMH=QH MH=4.r_e_d_R_e_ 2012年全国高中数学联赛试题(A卷)参考答案及评分标准 第4页(共 6页) 6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2.若 对任意的x∈[a,a+2],不等式 f(x+a)≥2f(x)恒成立,则实数a的取值范围是. 解: [槡2,+∞). 由题设知,f(x)= x2(x≥0), { -x2(x<0), 则2f(x)=f(槡2x). 因此,原不等式等价于f(x+a)≥f(槡2x). 因为f(x)在R上是增函数,所以x+a≥槡2x,即a≥(槡2-1)x. 又x∈[a,a+2],所以当x=a+2时,(槡2-1)x取得最大值 为(槡2-1)(a+2). 因此,a≥(槡2-1)(a+2),解得a≥槡2. 故a的取值范围是[槡2,+∞). 7.满足14 <sinπ n<1 3的所有正整数n的和是. 解: 33. 由正弦函数的凸性,有

当x∈(0,π 6)时,3 π x<sinx<x. 由此得 sinπ 13<π 13<1 4,sinπ 12>3 π ×π 12=1 4, sinπ 10<π 10<1 3,sinπ 9>3 π ×π 9=13 . 所以sinπ 13<14 <sinπ 12<sinπ 11<sinπ 10<13 <sinπ 9. 故满足14 <sinπ n<1 3的正整数n的所有值分别为10,11,12,它们的和为33. 8.某情报站有A、B、C、D四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码, 且每周都是从上周 未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7 周也使用A种密码 的概率是.(用最简分数表示) 解: 61 243. 用Pk表示第k周用A种密码本的概率, 则第k周未用A种密码的概率为1-P k.于是,有 Pk+1=1 3(1-Pk),k∈N ,即Pk+1-14 =-1 3(Pk-1 4).

由 P1=1知,Pk- { } 14 是首项为3 4,公比为-1 3的等比数列. 所以Pk-14=3 4(-1 3)k-1,即Pk=3 4(-1 3)k-1+14 . 故P7=61 243. 2012年全国高中数学联赛试题(A卷)参考答案及评分标准 第5页(共 6页) 二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程 或演算步骤. 9.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=asinx-12 cos2x+a-3 a+1 2,a∈R且a≠0. (1)若对任意x∈R,都有f(x)≤0,求a的取值范围; (2)若a≥2,且存在x∈R,使得f(x)≤0,求a的取值范围. 解:(1)f(x)=sin2x+asinx+a-3 a. 令t=sinx(-1≤t≤1),则g(t)=t2+at+a-3 a 4分!!!!!!!!!!!!!!!!! 对任意x∈R,f(x)≤0恒成立的充要条件是 g(-1)=1-3 a≤0, g(1)=1+2a-3 a≤0 { . 解得a的取值范围为(0,1] 8分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (2)因为a≥2,所以-a 2≤ -1. 所以g(t)min=g(-1)=1-3 a 12分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 因此,f(x)min=1-3 a. 于是,存在x∈R,使得f(x)≤0的充要条件是 1-3 a≤0,解得0<a≤3. 故a的取值范围是[2,3] 16分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10.(本小题满分20分) 已知数列{an}的各项均为非零实数,且对于任意的正整数n,都有

(a1+a2+… +an)2=a31 +a32+… +a3 n . (1)当n=3时,求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3; (2)是否存在满足条件的无穷数列{an},使得a2013=-2012? 若存在,求出这样的无穷数列的 一个通项公式;若不存在,说明理由. 解:(1)当n=1时,a21=a31 ,由a1≠0,得a1=1. 当n=2时,(1+_______a2)2=1+a32 ,由a2≠0,得a2=2或a2=-1 5分!!!!!!!!!!! 当n=3时,(1+a2+a3)2=1+a32 +a33 . 若a2=2,得a3=3或a3=-2;若a2=-1,得a3=1. 综上,满足条件的三项数列有3个:1,2,3,或1,2,-2,或1,-1, 1 10分!!!!!!!!! 2012年全国高中数学联赛试题(A卷)参考答案及评分标准 第6页(共 6页) (2)令Sn=a1+a2+… +an,则S2 n=a31 +a32 +… +a3 n(n∈N ) 从而(Sn+an+1)2=a31 +a32 +… +a3 n+a3 n+1. 两式相减,结合an+1≠0,得2Sn=a2 n+1-an+1 当n=1时,由(1)知a1=1; 当n≥2时,2an=2(Sn-Sn-1)=(a2 n+1-an+1)-(a2 n-an), 即(an+1+an)(an+1-an-1)=0,所以an+1=-an或 an+1=an+1 15分!!!!!!!! 又a1=1,a2013=-2012, 所以an= n(1≤n≤2012), {2012(-1)n(n≥2013) 20分!!!!!!!!! 11.(本小题满分20分) 如图5,在平面直角坐标系XOY中,菱形ABCD的边长为4, 且│OB│ =│OD│ =6.

(1)求证:│OA│·│OC│为定值; (2)当点A在半圆M:(x-2)2+y2=4(2≤x≤4)上运动时,求 点C的轨迹. 解: (1)因为│OB│ =│OD│,│AB│ =│AD│ =│CB│ =│ CD│,所以O、A、C三点共线 5分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 如图5,连结BD,则BD垂直平分线段AC,设垂足为K.于是,有 │OA│·│OC│ =(│OK│ -│AK│)(│OK│ +│AK│) =│OK│2-│AK│2 =(│OB│2-│BK│2)-(│AB│2-│BK│2) =│OB│2-│AB│2 =62-42=20(定值) 10分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (2)设C(x,y)、A(2+2cosα ,2sinα ),其中α =∠XM A(-π 2≤α ≤ π 2),则∠XOC=α 2. 因为│OA│2=(2+2cosα )2+(2sinα )2=8(1+cos α )=16cos2 α 2, 所以│OA│ =4cosα 2 15分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由(1)的结论,得│OC│cosα 2=5. 所以x=│OC│cosα 2=5. 从而y=│OC│sinα 2=5tanα 2∈[-5,5]. 故点C的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为(5,5)、(5,-5) 20分!!!!!!!__


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