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2013年广州市二模理科数学试题


试卷类型:B

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(理科)
2013.4 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8

小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.对于任意向量 a 、 b 、 c ,下列命题中正确的是

b A. a ? ? a b
2

B. a ? b ? a ? b
2

b c C. ? a ? ? c ? a ? b? ?

a D. a ? ? a

2

2.直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 y ? 0 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.取决于 k 的值

文3 (理 1) 若 1 ? i( i 是虚数单位) . 是关于 x 的方程 x ? 2 px ? q ? 0( p、q ?R ) 的一个解, p ? q ? 则
2

A. ?3

B. ?1

C. 1

D. 3

4.已知函数 y ? f ? x ? 的图象如图 1 所示,则其导函数 y ? f ? ? x ? 的图象可能是 y y y y y

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

O 图1

x

5.若函数 y ? cos ? ? x ? A.1

? ?

??

?? ? * ? ?? ? N ? 的一个对称中心是 ? ,0 ? ,则 ? 的最小值为 6? ?6 ?
B.2 C.4 D.8

6.一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图 2 所示.若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 1﹕7 的上、下两 部分,则截面的面积为 A.

4

1 ? 4
数学(理科)试题 A

B. ? 6 图2

第 1 页 共 15 页

C.

9 ? 4

D. 4?

7.某辆汽车购买时的费用是 15 万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5 万元.年维修保养 费用第一年 3000 元,以后逐年递增 3000 元,则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费 用最少)是 A.8 年 B.10 年 C.12 年 D.15 年 8.记实数 x1 , x2 ,…, xn 中的最大数为 max ? x1 , x2 , …,xn ? ,最小数为 min ? x1 , x2 , …,xn ? ,则

max min ? x ? 1,x 2 ? x ? 1, ? x ? 6? ?
A.

?

?

3 4

B.1

C.3

D.

7 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔,甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为 2﹕3﹕4.现 用分层抽样的方法抽出一个容量为 n 的样本,其中甲型钢笔有 12 支,则此样本容量 n ? . 10.已知

? 为锐角,且cos ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? 4 5
?

? ?

??

3

. 个没有重复数字且能被 5 整除的五位数(结果用数

11.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成 值表示) . 12. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x , 点集 M ?
2

?? x,y ? f ? x ? ? f ? y ?≤2? ,N ? ?? x,y ? f ? x ? ? f ? y ?≥0? ,


则 M ? N 所构成平面区域的面积为

13. 数列 {a n } 的项是由 1 或 2 构成, 且首项为 1, 在第 k 个 1 和第 k ? 1 个 1 之间有 2k ? 1 个 2, 即数列 {a n } 为: 2, 2, 2, 2, 2, 2, …, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 记数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , S 20 ? 则 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 在△ ABC 中,D 是边 AC 的中点, E 在线段 BD 上, 点 且满足 BE ? 则 ;S 2013 ? .

1 BD , 延长 AE 交 BC 于点 F , 3

BF 的值为 FC



15.(坐标系与参数方程选做题)

数学(理科)试题 A

第 2 页 共 15 页

在极坐标系中,已知点 A ? 1,

? ?? 2 ? ,点 P 是曲线 ? sin ? ? 4 cos ? 上任意一点,设点 P 到直线 ? 2?


? cos ? ? 1 ? 0 的距离为 d ,则 PA ? d 的最小值为

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 某单位有 A 、 B 、 C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 O ,使得发射点到三个工作点 的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为 AB ? 80 m ,BC ? 70 m ,CA ? 50 m .假定 A 、 B 、 C 、 O 四点在同一平面内. (1)求 ?BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离.

17. (本小题满分12分) 已知正方形 ABCD 的边长为 2, E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点. (1)在正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,求满足 | PH | ?

2 的概率;

(2)从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的 距离为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

18. (本小题满分 14 分) 等边三角形 ABC 的边长为 3,点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点,且满足

AD CE 1 ? ? (如图 DB EA 2

3) .将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B 成直二面角,连结 A1 B 、 A1C (如图 4) . A

A1
数学(理科)试题 A 第 3 D 共 15 页 页 E B 图3 C B 图4 D E C

(1)求证: A1 D ? 平面 BCED ; (2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ?若存在,求出 PB 的 长,若不存在,请说明理由.
?

19. (本小题满分14分) 已知 a ? 0 ,设命题 p :函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1 ? 2a 在区间 ? 0,1? 上与 x 轴有两个不同的交点;命题
2

q : g ? x ? ? x ? a ? ax 在区间 ? 0, ?? ? 上有最小值.若 ? ?p ? ? q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分14分) 经过点 F ? 0,1? 且与直线 y ? ?1 相切的动圆的圆心轨迹为 M .点 A 、 D 在轨迹 M 上,且关于 y 轴对 称,过线段 AD (两端点除外)上的任意一点作直线 l ,使直线 l 与轨迹 M 在点 D 处的切线平行,设 直线 l 与轨迹 M 交于点 B 、 C . (1)求轨迹 M 的方程; (2)证明: ?BAD ? ?CAD ; (3)若点 D 到直线 AB 的距离等于

2 AD ,且△ ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方程. 2

21. (本小题满分14分)
* 设 an 是函数 f ? x ? ? x ? n x ? 1 n ? N 的零点.

3

2

?

?

(1)证明: 0 ? an ? 1 ; (2)证明:

n 3 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? . n ?1 2

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应 的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 数学(理科)试题 A 第 4 页 共 15 页

内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 A 5 B 6 C 7 B 8 D

二、 填空题: 本大题查基本知识和基本运算, 体现选择性. 7 小题, 共 每小题 5 分, 满分 30 分. 其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.第 13 题第一个空 2 分,第二个空 3 分. 9.54 10.

2 10

11. 216

12. 2?

13. 36 ; 3981

14.

1 4

15. 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题主要考查解三角形等基础知识,考查正弦定理与余弦定理的应用,本小题满分12分) 解:(1)在△ ABC 中,因为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m , 由余弦定理得 cos ?BAC ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ………………………………………………………2 分 2 ? AB ? AC

802 ? 502 ? 702 1 ? ? . ……………………………………………………3 分 2 ? 80 ? 50 2
因为 ?BAC 为△ ABC 的内角,所以 ?BAC ?

? .……………………………………………………4 分 3

(2)方法 1:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心.……………………………………………………………………5 分 设外接圆的半径为 R , 在△ ABC 中,由正弦定理得

BC ? 2 R , ……………………………………………………………7 分 sin A
3 ? ,所以 sin A ? . 2 3
A

因为 BC ? 70 ,由(1)知 A ?

所以 2 R ?

70 3 70 140 3 ? ,即 R ? .…………………8 分 3 3 3 2
O B

过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D ,…………………………9 分 在△ OBD 中, OB ? R ?

70 3 BC 70 ? ? 35 , , BD ? 3 2 2

D

C

数学(理科)试题 A

第 5 页 共 15 页

? 70 3 ? 2 所以 OD ? OB ? BD ? ? ………………………………………………………11 分 ? 3 ? ? 35 ? ? ?
2 2

2

?

35 3 . 3 35 3 m .……………………………………………………………12 分 3

所以点 O 到直线 BC 的距离为

方法 2:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心.……………………5 分 连结 OB , OC , 过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , …………………6 分 由(1)知 ?BAC ? 所以 ?BOC ?

A

?? . 3 ? 所以 ?BOD ? .………………………………………9 分 3 BC 70 在 Rt △ BOD 中, BD ? ? ? 35 , 2 2
所以 OD ?

? , 3

O C

B

D

BD 35 35 3 ? ? .…………………………………………………………11 分 ? tan ?BOD tan 60 3
35 3 m .……………………………………………………………12 分 3

所以点 O 到直线 BC 的距离为

17. (本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识,考查运算求解能力与数据处 理能力等,本小题满分12分) 解: (1)这是一个几何概型.所有点 P 构成的平面区域是正方形 ABCD 的内部,其面积是 2 ? 2 ? 4 . ………………………………………………1 分 满足 | PH | ?

2 的点 P 构成的平面区域是以 H 为圆心, 2 为半径的圆的内部与正方形 ABCD 内部
D G C

的公共部分,它可以看作是由一个以 H 为圆心、 2 为半径、 圆心角为

? 的扇形 HEG 的内部(即四分之一个圆)与两个 2
数学(理科)试题 A 第 6 页 共 15 页 H F

A

E

B

直角边为 1 的等腰直角三角形(△ AEH 和△ DGH )内部 构成. ……………………………………………………………2 分

1 ? 2 ? ?1?1 ? 2 ? ?1 2 所以满足 | PH | ? 2 的概率为 ? 4
其面积是
2

1 ? ?? 4

? 2?

? ? 1 .………………3 分 2

? 1 ? .………………………………………………………4 分 8 4
2

(2)从 A、B、C、 、 、 、 、 这八个点中,任意选取两个点,共可构成 C8 ? 28 条不同的线段. D E F G H ………………………………………………………5 分 其中长度为 1 的线段有 8 条,长度为 2 的线段有 4 条,长度为 2 的线段有 6 条,长度为 5 的线段 有 8 条,长度为 2 2 的线段有 2 条.

, 2,2, 5,2 2 .……………………………………………………7 分 所以 ? 所有可能的取值为 1
且 P ?? ? 1? ?

8 2 ? , 28 7 8 2 P ?? 5 ? ? , 28 7

?

?

4 6 3 P ?? ? 2 ? ? ? , ? ? 28 ? 1 , 7 28 14 2 1 P ?? ? 2 2 ? ? ? . ………………………………………9 分 28 14 P ?? 2 ?

所以随机变量 ? 的分布列为:

?
P
随机变量 ? 的数学期望为

1
2 7

2

2

5

2 2
……10 分

1 7

3 14

2 7

1 14

2 1 3 2 1 5? 2 2 ? 2 5 E? ? 1? ? 2 ? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 2 ? ? . …………………………12 分 7 7 7 14 7 14
18. (本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求 解能力等,本小题满分 14 分) 证明: (1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且 所以 AD ? 1 , AE ? 2 . 在△ ADE 中, ?DAE ? 60 ,
?

AD CE 1 ? ? , DB EA 2
D

A

E 由余弦定理得 DE ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos 60 ? 3 .
2 2 ?

B

C

因为 AD ? DE ? AE ,
2 2 2

数学(理科)试题 A

第 7 页 共 15 页

所以 AD ? DE . 折叠后有 A1 D ? DE .……………………………………………………………………………………2 分 因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角,所以平面 A1 DE ? 平面 BCED . …………………………3 分 又平面 A1 DE ? 平面 BCED ? DE , A1 D ? 平面 A1 DE , A1 D ? DE , 所以 A1 D ? 平面 BCED . ………………………………………………………………………………4 分 (2)解法 1:假设在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 . 如图,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1 H 、 A1 P .………………5 分 由(1)有 A1 D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED , 所以 A1 D ? PH .…………………………………………………6 分 又 A1 D ? BD ? D , H B P C D E
?

A1

所以 PH ? 平面 A1 BD .…………………………………………………………………………………7 分 所以 ?PA1 H 是直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角. ……………………………………………………8 分 设 PB ? x ? 0 ? x ? 3? ,则 BH ?
?

3 x x .…………………………………………………9 分 , PH ? 2 2

在 Rt △ PA1 H 中, ?PA1 H ? 60 ,所以 A1H ? 在 Rt △ A1 DH 中, A1 D ? 1 , DH ? 2 ? 由 A1 D ? DH ? A1 H ,
2 2 2

1 x .………………………………………………10 分 2

1 x .………………………………………………………11 分 2

得1 ? ? 2 ?
2

? ?

1 ? ?1 ? x ? ? ? x ? .…………………………………………………………………………12 分 2 ? ?2 ?

2

2

5 ,满足 0 ? x ? 3 ,符合题意.……………………………………………………………13 分 2 5 ? 所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ,此时 PB ? .………14 分 2
解得 x ? 解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1 D ? 平面 BCED . 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 数学(理科)试题 A 第 8 页 共 15 页 z

A1

D E H y

D ? xyz 如图. …………………………………………………………5 分
设 PB ? 2a ? 0 ? 2a ? 3? , 则 BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a . ……………………6 分 所以 A1 ? 0, 0,1? , P 2 ? a, 3a,0 , E 0, 3, 0 .…………7 分 所以 PA ? a ? 2, ? 3a,1 .……………………………………………………………………………8 分 1 因为 ED ? 平面 A1 BD , 所以平面 A1 BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0 .……………………………………………………9 分 因为直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ,
?

?

?

?

?

????

?

?

????

?

?

???? ???? PA1 ?DE 所以 sin 60? ? ???? ???? ………………………………………………………………………………10 分 PA1 DE
?
解得 a ?

3a 4a ? 4a ? 5 ? 3
2

?

3 ,……………………………………………………………11 分 2

5 . ……………………………………………………………………………………………12 分 4 5 即 PB ? 2a ? ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意. ……………………………………………………13 分 2 5 ? 所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ,此时 PB ? .………14 分 2

19. (本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识,考查数形结合思想、 分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等,本小题满分14分) 解:要使函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1 ? 2a 在 ? 0,1? 上与 x 轴有两个不同的交点,
2

? f ? 0 ?≥0, ? ? f ?1?≥0, 必须 ? ……………………………………………………………………………………………2分 ?0 ? a ? 1, ? ? ? 0. ?

数学(理科)试题 A

第 9 页 共 15 页

?1 ? 2a≥0, ?2 ? 4a≥0, ? 即? ………………………………………………………………………………4分 0 ? a ? 1, ? ?? ?2a ?2 ? 4 ?1 ? 2a ? ? 0. ?
解得 2 ? 1 ? a≤ . 所以当 2 ? 1 ? a≤ 时,函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1 ? 2a 在 ? 0,1? 上与 x 轴有两个不同的交点.…5分
2

1 2

1 2

下面求 g ? x ? ? x ? a ? ax 在 ? 0, ?? ? 上有最小值时 a 的取值范围: 方法1:因为 g ? x ? ? ?

??1 ? a ? x ? a, ? ?? ?1 ? a ? x ? a, ?

x≥a, x ? a.

…………………………………………………………6分

①当 a ? 1 时, g ? x ? 在 ? 0, a ? 和 ? a , ?? ? 上单调递减, g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上无最小值;……………7分 ②当 a ? 1 时, g ? x ? ? ?

??1, ??2 x ? 1,

x≥1, x ? 1.

g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值 ?1 ;………………………8分

③当 0 ? a ? 1时, g ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a , ?? ? 上单调递增,

g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值 g ? a ? ? ?a 2 .…………………………………………………………9分
所以当 0 ? a≤ 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值.……………………………………………10分 1 方法2:因为 g ? x ? ? ?

??1 ? a ? x ? a, ? ?? ?1 ? a ? x ? a, ?

x≥a, x ? a.

…………………………………………………………6分

因为 a ? 0 ,所以 ? ?1 ? a ? ? 0 . 所以函数 y1 ? ? ?1 ? a ? x ? a ? 0 ? x ? a ? 是单调递减的.………………………………………………7分 要使 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值,必须使 y2 ? ?1 ? a ? x ? a 在 ? a , ?? ? 上单调递增或为常数.……8分 即 1 ? a≥0 ,即 a≤1 .……………………………………………………………………………………9分 所以当 0 ? a≤ 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值. ……………………………………………10分 1 若 ? ?p ? ? q 是真命题,则 ?p 是真命题且 q 是真命题,即 p 是假命题且 q 是真命题.……………11分

1 ? ?0 ? a≤ 2 ? 1, 或a ? , 所以 ? 2 …………………………………………………………………………12分 ?0 ? a≤1. ?
数学(理科)试题 A 第 10 页 共 15 页

解得 0 ? a≤ 2 ? 1 或

1 ? a≤1 . ………………………………………………………………………13分 2

故实数 a 的取值范围为 0, 2 ? 1? ? ? ,1? .…………………………………………………………14分

?

?1 ? ? ?2 ?

20. (本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算 求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分) 解: (1)方法 1:设动圆圆心为 ? x, y ? ,依题意得, x2 ? ? y ? 1? ? y ? 1 .…………………………1 分
2

整理,得 x ? 4 y .所以轨迹 M 的方程为 x ? 4 y .…………………………………………………2 分
2 2

方法 2:设动圆圆心为 P ,依题意得点 P 到定点 F ? 0,1? 的距离和点 P 到定直线 y ? ?1 的距离相等, 根据抛物线的定义可知,动点 P 的轨迹是抛物线.……………………………………………………1 分 且其中定点 F ? 0,1? 为焦点,定直线 y ? ?1 为准线. 所以动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程为 x ? 4 y .………………………………………………………2 分
2

(2)由(1)得 x ? 4 y ,即 y ?
2

1 2 1 x ,则 y? ? x . 4 2

设点 D ? x0 ,

? ?

1 2? 1 x0 ? ,由导数的几何意义知,直线 l 的斜率为 kBC ? x0 .…………………………3 分 4 2 ? ? ? 1 2? ? 1 ? ? 1 ? x0 ? .设点 C ? x1 , x12 ? , B ? x2 , x2 2 ? , 4 ? ? 4 ? ? 4 ?
y C

由题意知点 A ? ? x0 ,

则 k BC

1 2 1 2 x1 ? x2 x ?x 1 4 x ?4 ? 1 2 ? x0 ,即 x1 ? x2 ? 2 0 .……4 分 x1 ? x2 4 2 1 2 1 2 x1 ? x0 x ?x 4 4 ? ? 1 0 x1 ? x0 4

E A BO l D x





k AC



k AB

1 2 1 2 x2 ? x0 x ?x 4 ?4 ? 2 0 .……………………………5 分 x2 ? x0 4
由于 k AC ? k AB ?

x1 ? x0 x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? 2 x0 ? ? ? 0 ,即 k AC ? ?k AB .………………………6 分 4 4 4

所以 ?BAD ? ?CAD .…………………………………………………………………………………7 分 数学(理科)试题 A 第 11 页 共 15 页

(3)方法 1:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ?BAD ? 45? .………………………………8 分 2

不妨设点 C 在 AD 上方(如图) ,即 x2 ? x1 ,直线 AB 的方程为: y ?

1 2 x0 ? ? ? x ? x0 ? . 4

1 2 ? ? y ? x0 ? ? ? x ? x0 ? , 由? 4 ? x 2 ? 4 y. ?
解得点 B 的坐标为 ? x0 ? 4, 所以 AB ?

? ?

1 2 ? x0 ? 4 ? ? .……………………………………………………………10 分 ? 4 ?

2 ? x0 ? 4 ? ? ? ? x0 ? ? 2 2 x0 ? 2 .

? 由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45 ,同理可得 AC ? 2 2 x0 ? 2 .………………………………11 分

所以△ ABC 的面积 S ?

1 ? 2 2 x0 ? 2 ? 2 2 x0 ? 2 ? 4 x0 2 ? 4 ? 20 , 2

解得 x0 ? ?3 .……………………………………………………………………………………………12 分 当 x0 ? 3 时,点 B 的坐标为 ? ?1, 直线 BC 的方程为 y ?

? ?

1? 3 ? , k BC ? , 4? 2

1 3 ? ? x ? 1? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 .…………………………………………13 分 4 2
? ? 49 ? 3 ? , kBC ? ? , 4 ? 2

当 x0 ? ?3 时,点 B 的坐标为 ? ?7, 直线 BC 的方程为 y ?

49 3 ? ? ? x ? 7 ? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 . ……………………………………14 分 4 2
2 AD ,可知 ?BAD ? 45? .…………………………………8 分 2
?

方法 2:由点 D 到 AB 的距离等于
?

由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45 ,所以 ?CAB ? 90 ,即 AC ? AB . 由(2)知 k AC ? 所以 k AC k AB

x1 ? x0 x ? x0 , k AB ? 2 . 4 4 x ?x x ?x ? 1 0 ? 2 0 ? ?1. 4 4
① ②

即 ? x1 ? x0 ?? x2 ? x0 ? ? ?16 . 由(2)知 x1 ? x2 ? 2 x0 .

数学(理科)试题 A

第 12 页 共 15 页

不妨设点 C 在 AD 上方(如图) ,即 x2 ? x1 ,由①、②解得 ?

? x1 ? x0 ? 4, …………………………10分 ? x2 ? x0 ? 4.

因为 AB ?

1 1 2 ? x2 ? x0 ? ? ? x2 2 ? x0 2 ? ? 2 2 x0 ? 2 , ? ? 4 ?4 ?

2

同理 AC ? 2 2 x0 ? 2 . ………………………………………………………………………………11分 以下同方法1. 21. (本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力和推理论 证能力等,本小题满分14分) 证明: (1)因为 f ? 0 ? ? ?1 ? 0 , f ?1? ? n ? 0 ,且 f ? x ? 在 R 上的图像是一条连续曲线,
2

1? 所以函数 f ? x ? 在 ? 0, 内有零点.………………………………………………………………………1分
因为 f ? ? x ? ? 3x ? n ? 0 ,
2 2

所以函数 f ? x ? 在 R 上单调递增.………………………………………………………………………2分

1? 所以函数 f ? x ? 在 R 上只有一个零点,且零点在区间 ? 0, 内.
而 an 是函数 f ? x ? 的零点, 所以 0 ? an ? 1 .……………………………………………………………………………………………3分 (2)先证明左边的不等式: 因为 an ? n an ? 1 ? 0 ,
3 2

由(1)知 0 ? an ? 1 , 所以 an ? an .……………………………………………………………………………………………4 分
3

即 1 ? n an ? an ? an .
2 3

1 .…………………………………………………………………………………………5 分 n ?1 1 1 1 所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 .…………………………………………………6 分 ? 2 ??? 2 1 ?1 2 ?1 n ?1 1 1 1 n 以下证明 2 . ① ? 2 ?? ? 2 ? 1 ?1 2 ?1 n ?1 n ?1
所以 an ?
2

方法 1(放缩法) :因为 an ?

1 1 1 1 ? ? ? ,…………………………………………7 分 n ? 1 n ? n ? 1? n n ? 1
2

数学(理科)试题 A

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所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? ?1 ?

? ?

1? ?1 1? ?1 1? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ? n n ?1 ?

1 n .………………………………………………………………9 分 ? n ?1 n ?1 1 1 方法 2(数学归纳法) :1)当 n ? 1 时, 2 ,不等式①成立. ? 1 ?1 1?1 ? 1?
2)假设当 n ? k ( k ? N )时不等式①成立,即
*

1 1 1 k . ? 2 ??? 2 ? 1 ?1 2 ?1 k ?1 k ?1
2

那么

1 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? 1 ?1 2 ?1 k ? 1 ? k ? 1?2 ? 1
2

?

k 1 ? . k ? 1 ? k ? 1?2 ? 1


以下证明

? k ? 1? k 1 ? ? . 2 k ? 1 ? k ? 1? ? 1 ? k ? 1? ? 1
1
2

即证

? k ? 1?
2

?1

?

? k ? 1? ? k . ? k ? 1? ? 1 k ? 1

即证

1 1 . ? 2 k ? 2k ? 2 k ? 3k ? 2

由于上式显然成立,所以不等式②成立. 即当 n ? k ? 1 时不等式①也成立. 根据 1)和 2) ,可知不等式①对任何 n ?N 都成立.
*

所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? 再证明右边的不等式:

n .…………………………………………………………………………9 分 n ?1

当 n ? 1 时, f ? x ? ? x ? x ? 1 .
3

3 ?1? ?1? 1 由于 f ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 0 , 8 ?2? ?2? 2
所以

3

11 ?3? ?3? 3 f ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 0, 64 ?4? ?4? 4

3

1 3 ? a1 ? .…………………………………………………………………………………………10分 2 4
3 2

3 1 ? an 1 ? 2 . ……………………………11分 由(1)知 0 ? an ? 1 ,且 an ? n an ? 1 ? 0 ,所以 an ? n2 n

数学(理科)试题 A

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因为当 n≥2 时,

1 1 1 1 ? ? ? ,…………………………………………………………12分 2 n ? n ? 1? n n ? 1 n

所以当 n≥2 时, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? an ?

3 1 ?1 1? ?1 1? 1? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 4 2 ? 2 3? ?3 4? ? n ?1 n ?

1 1 3 ? 1? ? ? . 2 n 2 3 * 所以当 n ?N 时,都有 a1 ? a2 ? ? ? an ? . 2 n 3 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? .……………………………………………………………14分 综上所述, n ?1 2

数学(理科)试题 A

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