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高二年级上(理)数学期末试卷及答案(必修3+选修2-1)


高二年级(理)数学期末试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题,满分 50 分)
1. 已知 a,b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的( ) A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 (D)26 S=1; i=1; DO S=S+i; i=i+

2; Loop While i<=9 Print S end S

10.考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选 两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等( )

1 2 3 4 (B) (C) (D) 75 75 75 75 二、填空题(每小题 5 分,共 5 小题,满分 25 分) 11、某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 a1 , a2 ,?, an ,其中
(A) 收入记为正数, 支出记为负数.该店用如图所示的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V, 那么在右图图中空白的判断框和处理框中, 应分别填入, 12.已知 A(1,-2,11) 、B(4,2,3) 、C(x,y,15)三点共线,则 x y =___________。 13、 给出一组数据: -2, -1,4, x,10,12;其中位数是 7, 且这组数据存 在 众数,则 x 的取值可能最多有 14、已知命题 p:方程
2 2

2、计算机执行如图语句所示程序后,输出的结果是 (A)22 (B)23 (C)25

3、抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字 1、2、3、4、5、6) ,事件 A 表

示“朝上一面的数是奇数”,事件 B 表示“朝上一面的数不超过 2”,则 P(A+B)= (A)0.5 (B)0.6 (C)

2 3

(D)

5 6

种。

a x +ax-2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只
2

4. 已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0,5,1) ,则 BC 边上的中线长为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 有一个实数 x 满足不等式 x +2ax+2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题, 实数 a 的取值集合是 15. 已知 P(x,y)在曲线 x 2 + y 2 — x — y = 0 上,O 为坐标原点,则 OP 的最大值与最小值的和 为

5.有以下命题:①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a, b 的关系是不共 线;② O, A, B, C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,则点 O, A, B, C 一定共 面;③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,则向量 a ? b, a ? b, c 也是空间的一个基底。 其中正确的命题的个数是 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3 6. 有下列四个命题: ①“若 xy=1, 则 x、 y 互为倒数”的逆命题; ②不存在实数 x, 使 x +x+1=0 2 2 ③“若 b≤-1,则方程 x -2bx+b +b=0 有实根”的逆否命题; ④“存在实数 x,使|x+1|≤1 且 2 x >0”的否定命题.其中真命题是 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 7. 在区间[-1,1]上随机取一个数 x, cos (A)

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分)
16、 (本题满分 13 分)为了了解九年级学生中女生的身高(单位:cm)情况,某中学对九年级女 生进行了一次身高测量,所得数据整理后,列出了频率分布表如下: (1)求出表中 m,n 所表示的数分别是多少; (2)估计该校女生的平均身高(保留 3 个有效数字) 。 (3)按比例分别在 153.5-157.5 及 161.5-165.5 两组中共抽取 7 人,在这 7 名女生中任取 2 人,求 抽到的 2 人身高差超过 4 cm 的概率.

1 3

(B)

2 π

πx 的值介于 0 到 0.5 之间的概率为 2 2 (C)0.5 (D) 3

8. 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1)B(x2, y2)两点,如果 x1 ? x2 =6, 那么直线 AB 的斜率为 (A)±2 (B)±1 (C)± 3 (D)不存在

分组 145.5-149.5 149.5-153.5 153.5-157.5 157.5-161.5 161.5-165.5

频数 1 4 20 15 8 m M

频率 0.02 0.08 n 0.30 0.16 a N

x2 y2 9. 如果过椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0)左焦点 F 且斜率为 1 的直线与椭圆交于 A、B 两点,若 a b

AF 9 + 4 2 ,则椭圆的离心率为 = FB 7
1 (A) 2 1 (B) 3 2 (C) 3

2 (D) 3

165.5-169.5 合计

17.(本题满分 12 分) 如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直, 且 OA ? 1 , OB ? OC ? 2 , E 是 OC 的中点。 (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求点 E 和平面 ABC 的所成角的正弦值。

19、 (本题满分 12 分)过点 P(0,-2)的直线 l 交抛物线 y =4x 于 A、B 两点,求以 OA、OB 为邻边的 平行四边形 OAMB 的顶点 M 的轨迹方程.

2

20、 (本题满分 12 分)箱中装有 15 张大小、重量一样的卡片,每张卡片正面分别标有 1 到 15 中 的一个号码,正面号码为 n 的卡片反面标的数字是 n -12n+40(卡片正反两面用颜色区分). 18、 (本题满分 12 分)在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小 布袋,小布袋只有 3 只黄色、3 只白色的球(其体积、质地完全相同) ,旁边立着一块小黑板,写道: 摸球方法:从小布袋中随机摸出 3 个球,若摸得同一颜色的 3 个球,摊主送给摸球者 5 元钱;若摸 得非同一颜色的 3 个球,摸球者付给摊主 1 元钱. (1)摸出的 3 个球为白球的概率是多少? (2)摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球的概率是多少? (3)假定一天中有 100 人摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按 30 天计)能赚多 少钱? 21.(本题满分 14 分) 求经过点(0.5,2) 且与双曲线 4x2-y2=1 仅有一个公共点的直线方程. (1)如果任意取出 1 张卡片,试求正面数字大于反面数字的概率; (2)如果同时取出 2 张卡片,试求它们反面数字相同的概率.
2

? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? n1 ? AC知: n1 ? AC ? 2 y ? z ? 0.取 n1 ? (1,1,2) ,
设 BE 和平面 ABC 的所成角为 θ

???8 分

高二年级理(重)数学期末试卷 参考答案
一、选择题:
题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 B 5 C 6 C 7 A 8 B 9 A 10 D

则 sinθ = cos ? EB, n1 ??

2 ?1 ? 0 5 6

?

30 ,???????10 分 30
6 ????12 分新课 标第 一网 6

点 E 到平面 ABC 的距离 h= BE sinθ =

18、解: 把 3 只黄色球标记为 A、B、C,3 只白色的球标记为 1、2、3.从 6 个球中随机摸

二、填空题:

11、A>0? V=S+T 14、 (-1,0)∪(0,1)

12、2 15、 2

13、2

出 3 个的基本事件为:ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、 B12、B13、B23、C12、C13、C23、123,共 20 个. (1)事件 E={摸出的 3 个球为白球},事件 E 包含的基本事件有 1 个,即摸出 123 号 3 个球 P(E)=

三、解答题:
16、解: (1) M=1/0.2=50, m=50-(1+4+20+15+8)=2, n=0.4

1 =0.05. 20 9 =0.45. 20 2 =0.1,假定一天中有 100 人次摸奖,由摸出的 3 个球为同一颜色的概率可估计 20

(2)事件 F={摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球},事件 F 包含的基本事件有 9 个, P(F)=

1×147 .5 + 4 ×151 .5 + 155 .5 ×20 + 159 .5 ×15 + 163 .5 ×8 + 167 .5 ×2 = 158 (2) x = 50
所以,该校女生的平均身高约为 158cm.

10 (3) P = 21
17、解: (1)以 O 为原点, OB 、 OC 、 OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系. 则有 A(0,0,1) 、 B(2,0,0) 、 C (0, 2,0) 、 E (0,1,0). ???????????3 分

(3)事件 G={摸出的 3 个球为同一颜色}={摸出的 3 个球为白球或摸出的 3 个球为黄球}, P(G)=

事件 G 发生有 10 次,不发生有 90 次.则一天可赚 90×1-10×5=40(元),每月可赚 1200 元. 19、解: 正解 设 M(x,y),A(x1,y1),B( x2 ,y2 ),直线 l 的方程为 y+2=kx,即 y=kx-2. 由 , 消去 y,得 ,

??? ? ??? ? EB ? (2,0,0) ? (0,1,0) ? (2, ?1,0), AC ? (0,2, ?1)
?2 2 ??? ? ???? ? ?? , 5 5? 5 COS< EB, AC >
所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为

???????????5 分

(2)设平面 ABC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z), 则

? ? ?

2 5

∴ ???????????6 分

,

? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? n1 ? AB知: n1 ? AB ? 2x ? z ? 0;

又四边形 OAMB 为平行四边形,∴

,消去 k,



( y ? 2)

2

? 4( x ? 1)

(2)当 k=2 时,方程③变为一次方程,且有唯一解,因而直线①和双曲线仅有一个公共点,故得到直 线方程为 y=2x+1………………8′ (3)当 k=-2 时,同理可得直线方程为 y=-2x+3,…………………….11′ 当斜率不存在时,因为点(0.5,2) 在直线 x= 线方程为 x=

又∵l 与抛物线 ∴

y

2

? 4 x 交于不同两点 A、B,
2 2

? ? [?4(k ?1)] ?16 ? 16(2k ? 1) ? 0

1 1 上,且 x= 与双曲线只有一个公共点,故所求直 2 2

1 2

……………………………………...13′

解得 k ? ?

4 1 ,又 y ? k 2

,∴ y<-8 或 y>0.

综上所述,符合题意的直线有四条,直线方程分别为 y= x=

5 3 x+ 2 4

,

y=2x+1 ,

y=-2x+3, 以及

综上,点 M 的轨迹方程为

( y ? 2)

2

? 4( x ? 1) (y<-8 或 y>0).

1 2

?????????????????..????.14

20、解 (1)由不等式 n>n -12n+40,得 5<n<8.由题意得,n=6,7,即共有 2 张卡片正面数字大于反面 数字,故所求的概率为
2

2 15
2

.

(2)设取出的是第 m 号卡片和 n 号卡片(m≠n) , 则有 m -12m+40= n -12n+40,即 12(n-m)= n - m ,由 m≠n,得 m+n=12,故符合条件的取法为 1,11; 2,10; 3,9; 4,8; 5,7. 所求的概率为 P=
2 2 2

1 21

21、解 若直线的斜率存在,设为 k, 则所求直线方程为 y-2=kx 由 y-2=k(x-

1 2

,……………………………………..1′

1 ),① 2

4x2-y2=1,②……………………………………………………… 2′ 将①代入②整理,得 (4-k2)x2-2k(2-

1 1 k)x-( k2-2k+5)=0.③…………………...4′ 2 4

(1)当直线与双曲线相切时,仅有一个公共点, 所以有Δ =0,4-k2≠0,即

1 2 1 5 k)] -4(4-k2)-[-( k2-2k+5)]=0 且 k≠±2,解得 k= . 2 4 2 5 3 故所求的直线方程为 y= x+ …………………………………… 2 4
[-2k(2-

7′


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