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【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第九章 第五节 直接证明与间接证明演练知能检测 文


第五节 直接证明与间接证明

[全盘巩固] 2 1.用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、 b、c 中至 少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是( ) A.假设 a、b、c 都是偶数 B.假设 a、b、c 都不是偶数 C.假设 a、b、c 至多有一个偶数 D.假设 a、b、c 至多有两个偶数 解析:选

B “至少有一个”的否定为“都不是”. 2. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时, f(x)单调递减, 若 x1 +x2 >0, 则 f(x1 ) +f(x2 )的值( ) A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 解析:选 A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,可知 f(x) 是 R 上的单调递减函数,由 x1 +x2 >0,可知 x1 >-x2 ,f(x1 )<f(-x2 )=-f(x2 ),则 f(x1 )+ f(x2 )<0. 1 a+b? 3.(2014·嘉兴模拟)已知函数 f(x)=? ?x ,a,b 为正实数,A=f? ,B=f( ab), ?2? ? 2 ? 2ab ? C=f? ,则 A,B,C 的大小关系为( ) ?a+b? A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A a+b 2ab 1 a+b? 解析:选 A ≥ ab ≥ ,又 f(x) = ? ? x 在 R 上是单调减函数,故 f ? 2 a+b ?2? ? 2 ? 2ab ? ≤f( ab)≤f? . ?a+b? 4.若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4(a≥0),则 P、Q 的大小关系是( ) A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.由 a 的取值确定 2 2 解析:选 C 假设 P<Q,要证 P<Q,只要证 P <Q ,只要证:2a+7+2 a a+ <2a+7 2 2 +2 a+ a+ ,只要证 a +7a<a +7a+12,只要证 0<12,∵0<12 成立,∴P<Q 成 立. 5.不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,并且 x 是 a,b 的等比中项,y 是 b,c 的 2 2 2 等比中项,则 x ,b ,y 三数( ) A.成等比数列而非等差数列 B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列

a+c=2b, ? ? 2 解析:选 B 由已知条件,可得?x =ab, 2 ? ?y =bc.

① ② ③

1

x ? a= , ? b 由②③,得? y c= , ? ? b
2 2

代入①,得 + =2b,即 x2 +y2 =2b2 .故 x2 ,b2,y2 成等差

x2 y2 b b

数列. 6.如果△A1 B1 C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,则( ) A.△A1 B1 C1 和△A2 B2 C2 都是锐角三角形 B.△A1 B1 C1 和△A2 B2 C2 都是钝角三角形 C.△A1 B1 C1 是钝角三角形,△A2 B2 C2 是锐角三角形 D.△A1 B1 C1 是锐角三角形,△A2 B2 C2 是钝角三角形 解析:选 D 由条件知,△A1 B1 C1 的三个内角的余弦值均大于 0, 则 A1 B1 C1 是锐角三角形, 假设△A2 B2 C2 是锐角三角形. sin A =cos A =sin? -A ?, ? ?2 ? ? π 由?sin B =cos B =sin? -B ?, ?2 ? ? π -C ?, ? sin C = cos C = sin ? ?2 ? π
2 1 1 2 1 1 2 1 1

A = -A . ? 2 ? π 得?B = -B . 2 π ? C = ? 2 -C .
π
2 1 2 1 2 1

π 那么 A2 +B2 +C2 = , 这与三角形内角和为 180°相矛盾. 2 所以假设不成立,又由已知可得△A2 B2 C2 不是直角三角形,所以△A2 B2 C2 是钝角三角形. 7.用反证法证明命题“a,b∈R ,ab 可以被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整 除”, 那么假设的内容是_________________________________________________________ . 解析:“至少有 n 个”的否定是“最多有 n-1 个”,故应假设 a,b 中没有一个能被 5 整除. 答案:a,b 中没有一个能被 5 整除 8.设 a、b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2 +b2 >2;⑤ab>1. 其中能推出:“a、b 中至少有一个大于 1”的条件是________(填序号). 1 2 解析:若 a= ,b= ,则 a+b>1.但 a<1,b<1,故①推不出; 2 3 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出;若 a=-2,b=-3,则 a2 +b2 >2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即 a+b>2,则 a、b 中至少有一个大于 1. 反证法:假设 a≤1 且 b≤1,则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,故 a、b 中至少有一个大于 1. 答案:③ 9.若二次函数 f(x)=4x2 -2(p-2)x-2p2 -p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点 c, 使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是________. 解析:法一:(补集法)令?
?f ? ?f ?



=-2p +p+1≤0, =-2p -3p+9≤0,
2

2

3 解得 p≤-3 或 p≥ , 2

3 故满足条件的 p 的范围为?-3, ?. ? 2? 法二:(直接法) 1 3 依题意有 f(-1)>0 或 f(1)>0, 即 2p2 -p-1<0 或 2p2 +3p-9<0, 得- <p<1 或-3<p< , 2 2

2

3 故满足条件的 p 的取值范围是?-3, ?. ? 2? 3 答案:?-3, ? ? 2? 1 1 1 10.已知 a>0, - >1.求证: 1+a> . b a 1-b 1 1 证明:∵ - >1,a>0,∴0<b<1,要证 1+a>

, 1-b 只需证 1+a· 1-b>1,只需证 1+a-b-ab>1, a- b 1 1 只需证 a-b-ab>0,即 >1,即 - >1.这是已知条件,所以原不等式成立 .

1

b a

ab

b a

11.设 Sn 表示数列{an }的前 n 项和. (1)若{an }为等差数列,推导 Sn 的计算公式; 1-q (2)若 a1 =1,q≠0,且对所有正整数 n,有 Sn = .判断{an }是否为等比数列,并证 1-q 明你的结论. 解:(1)法一:设{an }的公差为 d,则 Sn =a1 +a2 +?+an =a1 +(a1 +d)+?+[a1 +(n-1)d], 又 Sn =an +(an -d)+?+[an -(n-1)d], n a1 +an ∴2Sn =n(a1 +an ),∴Sn = . 2 法二:设{an }的公差为 d,则 Sn =a1 +a2 +?+an =a1 +(a1 +d)+?+[a1 +(n-1)d], 又 Sn =an +an -1 +?+a1 =[a1 +(n-1)d]+[a1 +(n-2)d]+?+a1 , ∴2Sn =[2 a1 +(n-1)d]+[2a1 +(n-1)d]+?+[2a1 +(n-1)d]=2na1 +n(n-1)d, n n- ∴Sn =na1 + d. 2 (2){an }是等比数列.证明如下: 1-qn 1-qn +1 1-qn qn -q ∵Sn = ,∴an +1 =Sn +1 -Sn = - = =qn . 1-q 1-q 1-q 1-q ∵a1 =1,q≠0,∴当 n≥1 时,有
n

an +1 qn = =q, an qn -1

因此,{an }是首项为 1 且公比为 q 的等比数列. 12.(2013·北京高考)给定数列 a1 ,a2 ,?,an ,对 i=1,2,3,?,n-1,该数列前 i 项的最大值记为 Ai ,后 n-i 项 ai +1 ,ai +2 ,?,an 的最小值记为 Bi ,di =Ai -Bi . (1)设数列{an }为 3,4,7,1,写出 d1 ,d2 ,d3 的值; (2)设 a1 ,a2 ,?,an (n≥4)是公比大于 1 的等比数列,且 a1 >0,证明:d1 ,d2 ,?,dn -1 是等比数列; (3)设 d1 ,d2 ,?,dn -1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1 >0,证明:a1 ,a2 ,?,an -1 是 等差数列. 解:(1)d1 =2,d2 =3,d3 =6.(2)证明:因为 a1 >0,公比 q>1, 所以 a1 ,a2 ,?,an 是递增数列.因此,对 i=1,2,?,n-1,Ai =ai ,Bi =ai +1 . 于是对 i=1,2,?,n-1,di =Ai -Bi =ai -ai +1 =a1 (1-q)qi -1 .

di +1 =q(i=1,2,?,n-2),即 d1 ,d2 ,?,dn -1 是等比数列. di (3)证明:设 d 为 d1 ,d2 ,?,dn -1 的公差.对 1≤i≤n-2,因为 Bi ≤Bi +1 ,d>0, 所以 Ai +1 =Bi +1 +di +1 ≥Bi +di +d>Bi +di =Ai . 又因为 Ai +1 =max{Ai ,ai +1 },所以 ai +1 =Ai +1 >Ai ≥ai . 从而 a1 ,a2 ,?,an -1 是递增数列.因此 Ai =ai (i=1,2,?,n-1). 又因为 B1 =A1 -d1 =a1 -d1 <a1 ,所以 B1 <a1 <a2 <?<an -1 .因此 an =B1 .
因此 di ≠0 且
3

所以 B1 =B2 =?=Bn -1 =an .所以 ai =Ai =Bi +di = an +di . 因此对 i=1,2,?,n-2 都有 ai +1 -ai =di +1 -di =d,即 a1 ,a2 ,?,an -1 是等差数列. [冲击名校] an +an +2 设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列{an }的集合:① ≤an +1 ;②an ≤M,其中 2 n∈N * ,M 是与 n 无关的常数. (1)若{an }是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,a3 =4,S3 =18,试探究{Sn }与集合 W 之间的 关系; n (2)设数列{bn }的通项为 bn =5n-2 ,且{bn }∈W,M 的最小值为 m,求 m 的值; 1 n (3)在(2)的条件下,设 Cn = [bn +(m-5) ]+ 2,求证:数列{Cn }中任意不同的三项都 5 不能成为等比数列. Sn +Sn +2 解:(1)∵a3 =4,S3 =18,∴a1 =8,d=-2.∴Sn =-n2 +9n. <Sn +1 满足条件①, 2 9 81 Sn =-?n- ?2 + ,当 n=4 或 5 时,Sn 取最大值 20.∴Sn ≤20 满足条件②,∴{Sn }∈W. ? 2? 4 (2)bn =5n-2n 可知{bn }中最大项是 b3 =7,∴M≥7,M 的最小值为 7. (3)证明:由(2)知 Cn =n+ 2,假设{Cn }中存在三项 cp ,cq ,cr (p,q,r 互不相等)成等 比数列,则 c2q=cp ·cr ,∴(q+ 2)2 =(p+ 2)(r+ 2),
? ?q =pr, ∴(q -pr)+(2q-p-r) 2=0.∵p,q,r∈N ,∴? ?2q-p-r=0. ?
2 2 *

消去 q 得(p-r)2

=0,∴p=r,与 p≠r 矛盾.∴{Cn }中任意不同的三项都不能成为等比数列.

4


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