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高二数学竞赛辅导(四)


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学而不思则罔,思而不学则殆。

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——《论语》
学问是心灵的眼睛。

Learning is the eye of the mind.
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高二数学竞赛辅导(四)
一、选题题 本题共有 6 个小题,每小题给出了(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个结论,其中只有一个是 正确的,请把正确结论的代表字母写在题后圆括号内。 1.设 a、b、c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 a sinx+b cosx+c>0 都成立的充分必 要条件是 (A)a、b 同时为 0,且 c>0; (C) a 2 ? b 2 <c ; (B) a 2 ? b 2 ? c ; (D) a 2 ? b 2 >c. 答 ( 2.给出下列两个命题: (1) 设 a、b、c 都是复数,如果 a2+b2 >c2 ,则 a2+b2 -c2>0。 (2) 设 a、b、c 都是复数,如果 a2+b2 -c2 >0,则 a2+b2 > c2。 那么下属说法正确的是 (A) 命题(1)正确,命题(2)也正确; (B) 命题(1)正确,命题(2)错误; (C) 命题(1)错误,命题(2)也错误; (D) 命题(1)错误,命题(2)正确。 答( ) 3.已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1), 且 a1=9, 其前 n 项之和为 Sn , 则满足不等式 )

Sn ? n ? 6<
(A)5;

1 的最小整数 n 是 125
(C)7; (D)8. 答( )

(B)6;

4.已知 0<b<1,0<a< a)logbcosa 大小关系是 (A)x<z<y ;

? , 则下列三数:x-(sin a)logbsina, y=(cosa)logbcosa , z=(sin 4
(C) z<x<y; (D) x<y<z. . 答( )

(B) y<z<x;

5.在正 n 棱锥中, 相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A) (

n?2 ? ,? ) n

(B) (

n ?1 ? , ? ); n
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( C) (0,

? ); 2
x? y 2a x? y 2b

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(D) (

n?2 n ?1 ?, ?). n n
答( )

6.在平面直角坐标系中,方程 所代表的曲线是 (A)三角形 (C)非正方形的长方形

?

=1 ( a、b 为不相等的两个正数)

(B)正方形 (D)非正方形的菱形 答( )

二,填空题 1. 已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(-1,1)和(2,2) 。若直线

l : x ? m y ? m ? 0 与 PQ 在延长线相交,则 m 的取值范围是_____________
2. 已 知

? ? ?? x, y ? ?? , ?, a ? R, ? 4 4?



3 ? ? x ? sin x ? 2a ? 0, ? 3 ? ?4 y ? sin y ? cos y ? a ? 0



。 cos?x ? 2 y ? ? ________ 3.已知点集
2 2 ? ? ? ? ? ? ?5? ? ?5? ? 2 2 2 2 A ? ??x, y ? | ?x ? 3? ? ? y ? 4? ? ? ? ?, B ? ??x, y ? | ?x ? 4? ? ? y ? 5? ? ? ? ?, ? ? ?2? ? ?2? ? ? ? ? ? 则点集 A ? B 中的整点(即横,纵坐标均为整数的点)的个数______________。 ? 4.设 0 ? ? ? ? ,则 sin ?1 ? cos ? ? 的最大值是_______________________。 2

5.已知一平面与一个正方体的 12 条棱的夹角都等于 a,则 sina=______________。 6.已知 95 个数 a1 , a2 ,?, a95 , ,每个都只能取+1 或-1 两个值之一,那么它们的两两之 积的和 a1a2 ? a1a3 ? ? ? a94 a95 的最小正值是______________。

高二数学竞赛辅导(五)
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.若 M ? ?x, y ? | tg?y ? sin 个数是( ) (A)4

?

2

?x, y? | x 2 ? y 2 ? 2?,则 M ? N 的元素 ?x ? 0? ,N ??
(C)8 (D)9

(B)5

2.已知 f ?x ? ? a sin x ? b ? 4 (a,b 为实数) ,且 f ?lg log3 10? ? 5 ,则 f ?lg lg 3?的值
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是( ) (A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随 a 、b 取不同值而取不 同值 3.集合 A,B 的并集 A ? B={a1a2a3} ,当 A≠B 时, (A,B)与(B,A)视为不同 的对,则这样的(A,B)对的个数是( ) (A)8 (B)9 (C)26 (D)27 4 . 若 直 线

x?

?
4





线

C : ?x ? a

a ?? rx ? a

c a? r? ? y s ? ac

i a ?? ry c ?n a co a? r? 0 ss c i
) (D) ?

c n

o

s

所截的弦长为 d,当 a 变化时 d 的最小值是( (A)

? 4

(B)

? 3

(C)

? 2

5.在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 c-a 等于 AC 边上的高 h,则

sin

C?A C?A ? cos 的值是( 2 2 1 (A)1 (B) 2

) (C)

1 3

(D)-1

6 . 设 m,n 为 非 零复 数, i 为 虚 数 单位 , z □ C ,则 方 程 z ? ni ? z ? mi ? n 与

z ? ni ? z ? mi ? ?m 同一复平面内的图形(F1,F2 为焦点)是(



二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.二次方程 ?1 ? i ?x ? ?1 ? i ?x ? ?1 ? il ? ? 0 (i 为虚数单位, l ? R )有两个虚根的充
2

分必要条件是 l 的取值范围为______________。 2.实数 x,y 满足 4x ? 5xy ? 4 y ? 5 ,设 S=x2+y2,则
2 2

1 S max

?

1 S min

? ______。

3.若 z ? C , arg z ? 4 ?
2

?

?

5? ? , arg z 2 ? 4 ? ,则 z 的值是____________。 6 3

?

?

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4.整数 ? 5 .
x0 x1

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? 10 93 ? ? 的末两位数是______________________。 31 ?10 ? 3 ?
设 任
x1 x2




x2 x3


x3

x0>x1>x2>x3>0





使

l

o 1

? g 9l

9o 1

3? g 9l

9o 1

3? g 9 k l 9x0 o 1 3 g 9 3 的 最 大 值 是 立 ,9则 k

____________________ 6.三位数(100,101,L,999)共 900 个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打 印一个三位数,有的卡片所印的,倒过来看仍为三位数,如 198 倒过来看是 861;有的 卡片则不然,如 531 倒过来看是 因此,有些卡片可以一卡二用,于是至多可以

少打印________张卡片。 三、 (本题满分 20 分) 三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA,SB,SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心, D 为 AB 的中点,作与 SC 平行的直线 DP。证明: (1)DP 与 SM 相交; (2)设 DP 与 ’ ’ SM 的交点为 D ,则 D 为三角棱锥 S-ABC 的外接球球心。 四、 (本题满分 20 分) 设 0<a<b,过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l 和 m,使与抛物线 y2=x 有四个不同的交点,当这四点共圆时,求这种直线 l 与 m 的交点 P 的轨迹。 五、 (本题满分 20 分) 设正数列 a0,a1,a2,L,an,,L 满足 an an?2 ? an?1an?2 ? 2an?1 ?n ? 2? 且 a0=a1=1. 求 {an} 的通项公式。

高二数学竞赛辅导(六)
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 设等差数列{an}满足 3a8=5a13 且 a1>0,Sn 为其前项之和,则 Sn 中最大的是 ( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 2. 设 复 平 面 上 单 位 圆 内 接 正 20 边 形 的 20 个 顶 点 所 对 应 的 复 数 依 次 为
1995 1995 1995 所对应的不同的点的个数是( Z1 , Z 2 ?Z 20 ,则复数 Z1 , Z2 , ?, Z 20



(A)4 (B)5 (C)10 (D)20 3. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在 100 个小 伙子中,如果某人不亚于其他 99 人,就称他为棒小伙子,那么,100 个小伙 子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个
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) (B) 0 ? k ?

4. 已知方程 x ? 2n ? k x ?n ? N ? 在区间 ?2n ? 1,2n ? 1? 上有两个不相等的实 根,则 k 的取值范围是( (A)k>0

1 2n ? 1

(C)

1 2n ? 1

?k?

1 2n ? 1

(D)以上都不是

5. logsin 1 cos1, logsin 1 tg1, logcos1 sin 1, logcos1 tg1 的大小关系是( (A) logsin 1 cos1 ? logcos1 sin 1 ? logsin 1 tg1 ? logcos1 tg1 (B) logcos1 sin 1 ? logcos1 tg1 ? logsin 1 cos1 ? logsin 1 tg1 (C) logsin 1 tg1 ? logcos1 tg1 ? logcos1 sin 1 ? logsin 1 cos1 (D) logcos1 tg1 ? logsin 1 tg1 ? logsin 1 cos1 ? logcos1 sin 1



6. 设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心, 过 O 的动平面与 PC 交于 S, 与 PA,PB 的延长线分别交于 Q,R,则和式

1 1 1 ? ? ( PQ PR PS



(A)有最大值而无最小值 (B)有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值,两者不等(D)是一个与面 QPS 无关的常数 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1. 设 ? , ? 为一对共轭复数,若 ? ? ? ? 2 3 ,且

? 为实数,则 ? ? _______ . ?2
.

2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为
2

3. 用[x]表示不大于实数 x 的最大整数,方程 lg x ? ?lg x? ? 2 ? 0 的实根个数是 __________.

? y ? 3x ? x ? 4. 直角坐标平面上,满足不等式组 ? y ? 的整点个数是_______________. 3 ? ? ? x ? y ? 100
5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只
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有 5 种颜色可使用,那么不同的染色方法的总数是________________. 6. 设 M= ? ?,A 是 M 的子集且满足条件:当 x ? A 时,15x ? A, 则 A 1,2,3,?,1995 中元素的个数最多是_______________.

高二数学竞赛辅导(七)
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 对于每个自然数 n, 抛物线 y ? n 2 ? n x 2 ? ?2n ? 1?x ? 1与轴 x 交于 An,Bn 两点, 以 An Bn 表示该两点的距离,则 A1 B1 ? A2 B2 ? L ? A1992 B1992 的值是( (A) )

?

?

1991 1992

(B)

1992 1993

(C)

1991 1993

(D)

1993 1992

2. 已知如图的曲线是以原点为圆心,l 为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是 ( )

? (B) ?x ? (C) ?x ?

2 2 (A) x ? 1 ? y y ? 1 ? x ? 0

1? y2 1? y2

?? ??y ? ??y ?

1? x2 1? x2

? ?? 0 ?? 0

2 2 (D) x ? 1 ? y y ? 1 ? x ? 0

?

??

?

3. 设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S, 记? ? ? 则 ? 一定满足( ) (A) 2 ? ? ? 4 (B) 3 ? ? ? 4

?

?S ?
i ?1

4

i

? /S?, ?

(C) 2.5 ? ? ? 4.5

(D 3.5 ? ? ? 5.5 )

4.在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别记为 a,b,c(b≠1) ,且

C sin B ? 都是方程 A sin A

log

b

x ? logb ?4x ? 4? 的根,则 ? ABC(



(A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角 形 5. 设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A, B, 且 z1 ? 4,4z1 ? 2z1 z 2 ? z 2 ? 0 ,
2 2

O 为坐标原点,则 ? OAB 的面积为( (A) 8 3 (B) 4 3

) (C) 6 3 (D) 12 3

6.设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,且满足下列关系 f (10+x)=f (10-x),f (20-x)=
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-f (20+x),则 f(x)是( ) (A)偶函数,又是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 二、填空题(每小题 5 分共 30 分)

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(B)偶函数,但不是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数

1.设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且

x z 1 1 1 , , 成等差数列,则 ? 的值 z x x y z

是_____。 2.在区间[o,p]中,三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是______________。 3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线段所在的 直线都是异面直线,则 k 的最大值是 。

? z2 ? 4 . 设 z1,z2 都 是 复 数 , 且 z1 ? 3, z 2 ? 5, z1 ? z 2 ? 7 , 则 a r g ?z ? 1

? ? ? 的值是 ?

3

____________。 5.设数列 a1,a2,L,an,L 满足 a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数 n,都有 anan+1an+2≠1, 又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+L+a100 的值是_________________。 6.函数 f ?x ? ?

x 4 ? 3x 2 ? 6 x ? 13 ? x 4 ? x 2 ? 1 的最大值是____________。

三、 (20 分)求证: 16 ?

?
k ?1

80

1 k

? 17

四、 (20 分)设 l,m 是两条异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分 别作 m 的垂线 AD,BE,CF,,垂足依次是 D,E,F,,已知 AD ? 15 , BE ? 求 l 与 m 的距离。 五、 (20 分)设 n 是自然数, f n ?x ? ?

7 , CF ? 10 , 2

x n?1 ? x ? n ?1 ?x0,?1? 令 y ? x ? 1 ?1 x x?x

1. 求证: f n?1 ?x ? ? yf n ?x ? ? f n?1 ?x ?, ?n ? 1? 2. 用数学归纳法证明:
n ? n n ? ? i n ? 2i 1 n?2 i ? ?? 1? 2 .? i ? 1,2, ?, , n为 偶 数 ? ? y ? C n ?i y ? ?(?1) C n y 2 ? ? ? f n ?x ? ? ? n ? 1 n ?1 n ?1 ? ? y n ? C 1 y n ? 2 ? ? ? ?? 1? 2 C 2 , ? , n为 奇 数 ? n ?1 n ?1 ? i ? 1,2, ?, ? 2 ? ? 2 ?

f n ?x ?=
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