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哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学2014届下学期高三年级第二次联合模拟考试数学试卷(文科)


哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学 2014 届下学期高三年级 第二次联合模拟考试数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符 合题目要求的。 ) 1. 若 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8}, A ? {1, 2,3}, B ? {5,6,7} ,则 (CU A) A. {4,8} 2. 已知复数 z ? ? A. ?

(CU B) =

B. {2,4,6,8} C. {1,3,5,7} D. {1,2,3,5,6,7}

1 3 ? i ,则 z ? | z | = 2 2
B. ?

1 3 ? i 2 2

1 3 ? i 2 2

C.

1 3 ? i 2 2

D.

1 3 ? i 2 2

3. 已知数列 {an } 满足 2an?1 ? an ? 0, a2 ? 1 ,则数列 {an } 的前 10 项和 S10 为 A.

4 10 (2 ? 1) 3

B.

4 10 (2 ? 1) 3

C.

4 ?10 (2 ? 1) 3

D.

4 ?10 (2 ? 1) 3

4. 已知 sin ? ? cos ? ?

1 2 ? ,则 sin ( ? ? ) ? 3 4 17 18
C.

A.

1 18

B.

8 9

D.

2 9

5. 已知: p : x ? k , q : A. [2, ??)

3 ? 1 ,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则 k 的取值范围是 x ?1
C. [1, ??) D. (??, ?1]

B. (2, ??)

6. 已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,若 cos A ? ,sin C ? 3sin B ,且

1 3

S?ABC ? 2 ,则 b ?
A. 1 B. 2 3 C. 3 2 D. 3

7. 已知△ABC 中, | BC |? 10, AB ? AC ? ?16, D 为边 BC 的中点,则 | AD | 等于 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

8. 在某次测量中得到的 A 样本数据如下:42,43,46,52,42,50,若 B 样本数据恰好 是 A 样本数据每个都减 5 后所得数据,则 A、B 两样本的下列数字特征对应相同的是
1

A. 平均数

B. 标准差

C. 众数

D. 中位数

9. 已知某算法的流程图如图所示,若输入 x ? 7, y ? 6 ,则输出的有序数对为

A. (13,14)

B. (12,13)

C. (14,13)

D. (13,12)

10. 将函数 h( x) ? 2sin(2 x ?

?
4

) 的图象向右平移

? 个单位,再向上平移 2 个单位,得到 4

函数 f ( x ) 的图象,则函数 f ( x ) 的图象与函数 h( x) 的图象 A. 关于直线 x ? 0 对称 C. 关于点(1,0)对称 11. 已知双曲线 B. 关于直线 x ? 1 对称 D. 关于点(0,1)对称

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) (c ? 0) ,过 F2 的直 a 2 b2

线 l 交双曲线于 A,D 两点,交渐近线于 B,C 两点。设 F ? m, F1 A ? F1D ? n ,则 1B ? FC 1 下列各式成立的是 A. | m |?| n | B. | m |?| n | C. | m ? n |? 0 D. | m ? n |? 0

12. 设函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,若对任意 x ? R 都有 f ?( x) ? f ( x) 成立,则 A. f (ln 2014) ? 2014 f (0) C. f (ln 2014) ? 2014 f (0) B. f (ln 2014) ? 2014 f (0) D. f (ln 2014) 与 2014 f (0) 的大小关系不确定

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ) 13. 观察下列等式 1 ? 1 ,1 ? 2 ? 3 ,1 ? 2 ? 3 ? 6 ,1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 ,?,根据
3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2

2

上述规律,第 n 个等式为__________。 14. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为____________。

?x ? 0 ?y ? 0 ? 15. 设 x, y 满足 ? ,则 z ? 3x ? 4 y 的最大值为___________。 ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0
16. P 为正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 对角线 BD 1 上的一点,且 BP ? ? BD 1 (? ? (0,1)) 。下 面结论: ①A 1 D ? C1P ; ②若 BD1 ? 平面 PAC,则 ? ?

1 ; 3

③若△PAC 为钝角三角形,则 ? ? ? 0,

? ?

1? ?; 2?

④若 ? ? ( ,1) ,则△PAC 为锐角三角形。 其中正确的结论为___________。 (写出所有正确结论的序号)

2 3

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n,都有 an ? 5Sn ? 1 成立。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log4 | an | ,求数列 { 18. (本小题满分 12 分)

1 } 前 n 项和 Tn 。 bn ? bn?1

3

某个团购网站为了更好地满足消费者,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查, 每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是 10 分。上个月该网站共卖 出了 100 份团购产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值,将这些产品按照得 分分成以下几组:第一组[0,2) ,第二组[2,4) ,第三组[4,6) ,第四组[6,8) ,第五组[8, 10],得到的频率分布直方图如图所示。

(Ⅰ)分别求第三,四,五组的频率; (Ⅱ)该网站在得分较高的第三,四,五组中用分层抽样的方法抽取了 6 个产品作为 下个月团购的特惠产品,某人决定在这 6 个产品中随机抽取 2 个购买,求他抽到的两个产 品均来自第三组的概率。 19. (本小题满分 12 分) 已 知 四 棱 柱 A B C? 的 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形 , D1 A 1 B 1 C 1 D

AA1 ? 2 3, BD ? A1 A ,∠BAD=∠ A1 AC =60°,点 M 是棱 AA1 的中点。

(Ⅰ)求证: AC 1 ∥平面 BMD; (Ⅱ)求点 C1 到平面 BDD1B1 的距离。 20. (本小题满分 12 分) 已知圆 M: x ? ( y ? 2) ? 1,直线 l : y ? ?1 ,动圆 P 与圆 M 相外切,且与直线 l 相
2 2

切,设动圆圆心 P 的轨迹为 E。 (Ⅰ)求 E 的方程;
4

(Ⅱ)若点 A,B 是 E 上的两个动点,O 为坐标原点,且 OA ? OB ? ?16 ,求证:直线 AB 恒过定点。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? b ln x, g ( x) ? ax 2 ? x(a ? R) 。 (Ⅰ)若曲线 f ( x ) 与 g ( x) 在公共点 A(1,0)处有相同的切线,求实数 a , b 的值; (Ⅱ)在第(Ⅰ)的条件下,证明: f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上恒成立; (Ⅲ)若 a ? 1, b ? 2e ,求方程 f ( x) ? g ( x) ? x 在区间 (1, eb ) 内实根的个数(e 为自然 对数的底数) 。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A,直线 PBC 交圆于 B,C 两点,D 是圆上一点,且 AB∥ CD,DC 的延长线交 PQ 于点 Q。 (Ⅰ)求证: AC 2 ? CQ ? AB ; (Ⅱ)若 AQ ? 2 AP, AB ? 3, BP ? 2 ,求 QD。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲 线 C1 的极坐标方程为 ? ?
2

2 4 ,直线 l 的极坐标方程为 ? ? 。 2 1 ? sin ? 2 sin ? ? cos ?

(Ⅰ)写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 Q 为曲线 C1 上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b, c ? R, a2 ? b2 ? c2 ? 1 。 (Ⅰ)求证: | a ? b ? c |? 3 ; (Ⅱ)若不等式 | x ?1| ? | x ? 1|? (a ? b ? c) 对一切实数 a, b, c 恒成立,求实数 x 的取
2

值范围。

5

参考答案

题 号 答 案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A

D

C

B

B

A

D

B

A

D

C

C

n2 (n ? 1)2 13. 1 ? 2 ? ??? ? n ? 4
3 3 3

14.

125 2 ? 3

15. 3

16.①②④

17.(Ⅰ)解:当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又

1 ?2 分 4

an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1
???4 分

?an?1 ? an ? 5an?1 ,


an ?1 1 1 1 ? ? ∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4 an 4
1 4
???6 分

n ∴ an ? (? )

(Ⅱ) bn ? log4 (? ) 所以

1 4

n

? ?n ,

???8 分

1 1 1 1 ? ? ? bnbn?1 n(n ? 1) n n ? 1 1 1 ? n ???12 分 ?( ? )? ? n n ?1 ? n ?1

???10 分

1 1 1 ? Tn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3 ?
18.

(Ⅰ)解:第三组的频率是 0.150× 2=0.3;第四组的频率是 0.100× 2=0.2;第五组的频率 是 0.050× 2=0.1 (Ⅱ)设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件 A , 由题意可知,分别抽取 3 个,2 个,1 个。 ???6 分 ???3 分

不妨设第三组抽到的是 A1 , A2 , A3 ;第四组抽到的是 B1 , B2 ;第五组抽到的是 C1 ,所含 基本事件总数为:

?A1, A2?,?A1, A3?,?A2 , A3?,?A1, B1?,?A1, B2?,?A1, C1?,?A2 , B1?, ?A2 , B2?,?A2 , C1?,?A3 , B1?,?A3 , B2?,?A3 , C1?, ?B1, B2?,?B1, C1?,?B2 , C1?
???10 分

6

所以 P ( A) ?

3 1 ? 15 5

???12 分

19.(Ⅰ)证明: 连结 MO

A1M ? MA? ? ? ? MO // A1C ? AO ? OC ? ? ? MO ? 平面BMD ? ? A1C // 平面BMD ? A1C ? 平面BMD ? ? ?

???4 分

(Ⅱ) 设过 C1 作 C1 H ? 平面 BDD1B1 于 H ,BD ? AA1,BD ? AC得BD ? 面A1AC 于是

BD ? A1O
? ABCD ? ? 1 ? ? ? ?BAD ? 60 ? ? AO ? AC ? 3 ? ? 2 ? ? ? AB ? 2 ? ? ? ? AA1 ? 2 3 ? ? A1O ? AC ? ? ? ? A1O ? 平面ABCD ???8 分 ? cos ?A1 AC ? 60 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A1O ? BD ? ?
又因为平面 ABCD // 平面 A1 B1C1 D1,所以点 B 到平面 A1 B1C1 D1的距离等于点 A 1 到平面

ABCD 的距离 AO ?3 1

???10 分

1 1 1 1 3 VB ? B1C1D1 ? VC1 ? BB1D1 ? ? A1O ? ? 2 ? 3 ? ? C1H ? ? 2 ? 2 3 ? C1H ? ???12 分 3 2 3 2 2
20.
2 2 2 (Ⅰ)设 P( x, y) ,则 x ? ( y ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 ? x ? 8 y

???4 分

(Ⅱ)设直线 AB : y ? kx ? b , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
2 将直线 AB 代入到 x ? 8 y 中得 x ? 8kx ? 8b ? 0 , 所以 x1 ? x2 ? 8k , x1 x2 ? ?8b ???6 分
2

又因为

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ?
所以恒过定点 (0, 4) 21.

2 x12 x2 ? ?8b ? b 2 ? ?16 ? b ? 4 64

???10 分

???12 分

7

(Ⅰ) f ( x) ?
'

b ' , g ( x) ? 2ax ? 1 x
???3 分

则?

? g (1) ? f (1) ? 0 ?a ? 1 ?? ' ' ? g (1) ? f (1) ?b ? 1

(Ⅱ) 设 u( x) ? g ( x) ? f ( x) ? x2 ? x ? ln x ? x ? 0?

u ' ( x) ?

? 2 x ? 1?? x ? 1?
x

???4 分

令 u ' ( x) ? 0 ? x ? 1

x
u ' ( x)
u ( x)

? 0,1?
?
?

1

?1, ???
?
?
???7 分

0
极 小

所以, u ? x ? ? u ?1? ? 0 即 g ( x) ? f ( x) (Ⅲ)
2 b 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? b ln x ? x x ? (1, e ) ,

?

?

h ' ( x) ?

b ? 2 x2 b ' ,令 h ( x) ? 0 ? x ? ? e x 2
? b? ? ?1, 2 ? ? ? ?
1

???8 分

x
h ' ( x)
h( x )

? b b? ? ? 2,e ? ? ? ?

?
?

0
极 大

?
?

所以,原问题 h极大 ? x ? ? h ?

? b ? b? b ? ln ? 1? ? 0 ? 2? ?? 2? ? 2 ? ? ?

???10 分

b b 又因为 h ?1? ? ?1, h e ? b ? e

? ? ?

??b ? e ?
b

设 t ( x) ? e ? x ( x ? ? 2e, ?? ? )
x

t ' ( x) ? e x ?1 ? 0
x b 所以 t ( x) 在 ? 2e, ?? ? 上单调递增, t ( x) ? t (2e) ? 0 ? e ? x ? h e ? 0

? ?

8

所以有两个交点 22. (Ⅰ)

???12 分

? ? ? ? ?AQC ? ?ACB ? PA为圆O切线 ? ?PAB ? ?ACB ? ? ? ?ACB ~ ?CQA ? AQ为圆O切线 ? ?QAC ? ?CBA ? ? AC AB ? ? AC 2 ? AB ? CQ CQ AC
???5 分 (Ⅱ)

AB / / CD ? ?PAB ? ?AQC

AB // CD ? ? BP AP AB 1 ? ? ? ? ? AP 1 ? ? ? ? PC PQ QC 3 ? ? ? QC ? 3 3, PC ? 6 AQ 2 ? ? ? BP ? 2, AB ? 3 ?
AP 为 O 切线 ? AP2 ? PB ? PC ? 12 ? QA ? 4 3
又因为 AQ 为 23. (Ⅰ) C1 : x2 ? 2 y 2 ? 2 , l : 2 y ? x ? 4 (Ⅱ)设 Q ???5 分

O 切线 ? AQ 2 ? QC ? QD ? QD ?

16 3 3

???10 分

?

2 cos ? ,sin ? ,则点 Q 到直线 l 的距离

?

d?

2 sin ? ? 2 cos ? ? 4 3

2sin(? ? ) ? 4 2 4 ? ? 3 3

?

???8 分

当且仅当 ? ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,即 ? ? 2 k? ?

?
4

( k ? Z )时取等
2 2 2 2 2 2 2

???10 分

24.解:(Ⅰ)由柯西不等式得, (a ? b ? c) ? (1 ? 1 ? 1 )(a ? b ? c ) ? 3 ∴? 3 ? a?b?c ? 3 所以 a ? b ? c 的取值范围是 [? 3,
2 2 2

3]
2 2 2 2

???5 分 ???7 分

(Ⅱ)同理, (a ? b ? c) ? [1 ? (?1)? 1 ](a ? b ? c ) ? 3 若不等式 | x ?1| ? x ? 1 ? (a ? b ? c) 对一切实数 a, b, c 恒成立,
2

则 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,解集为 ( ??, ? ] ? [ , ??)
9

3 2

3 2

???10 分


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