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一、椭圆的范围
x y x2 ? 2 ?1 ? 由 2 a a b
即 x ? a和 y ? b 说明:椭圆位于直 线X=±a和y=±b所 围成的矩形之中。
2 2
2

y ?1 和 b
y

2

2

?1

o

x

二、椭圆的对称性
方程:
x2 a2

y

? b2 ? 1(a ? b ? 0)
o x

y2

3、对称性:
从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点 对称。 从方程上看:

(1)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称; (2)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称; (3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,图象关于 原点成中心对称。

三、椭圆的顶点

中,令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交( 0 , ), ±b 令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点( ±a ,0 )

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

*顶点:椭圆与它的对称 轴的四个交点,叫做椭圆 的顶点。


y B1(0,b)


*长轴、短轴:线段A1A2、 A1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。

F1

o

F2

A2 x

B2(0,-b)

四、椭圆的离心率

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:e ? a 叫做椭圆的离心率。 y
1、离心率的取值范围: 因为 a > c > 0,所以1 >e >0 2、离心率对椭圆形状的影响:
o x

1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小(?),椭圆 就越扁(?)
2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大(?),椭 圆就越圆(?) 3)特例:e =0,则 a = b,则 c=0,两个焦点重合,椭 圆方程变为(?)

方程 图形

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y B1
0

y a
B1

2 2

?

A2
_

x b Y
F1 O F2

2

2

?1





B2 X

A1

F1

F2

A2

x

_

B2

A1

范围
对称性 顶点 离心率

? a ? x ? a,?b ? y ? b
关于x轴,y轴,原 点对称。
1

? b ? x ? b,?a ? y ? a
关于x轴,y轴,原点 对称。
1

A ?? a,0?, A (a,0), B ?0,?b?, B ?0, b?A ?0,?a?, A (0, a), B ?? b,0?, B ?b,0?
c e ? (0 ? e ? 1) a
2 1 2

c e ? (0 ? e ? 1) a

2

1

2

例4

x y 解:把已知方程化成标准方程 ? 2 ?1 2 5 4 这里, a ? 5, b ? 4, c ? 25 ?16 ? 3
c 3 e? ? a 5
焦点坐标分别是

求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标 2 2

因此,椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a ? 10,2b ? 8

离心率

F (?3,0), F2 (3,0) 1

四个顶点坐标是

A (?5,0), A2 (5,0), B1 (0,?4), B2 (0,4) 1

例4这种题型是由椭圆标准方程求基本 元素
说明:例4是一种常见的题型,在以后的有关 圆锥曲线的问题中,经常要用到这种题型,说 它是一种题型不如说它是一种要经常用到的 “基本计算”
练习: 教科书42页,A组4题

例题5 如图.一种电影放映灯泡的放射镜面是旋转椭 圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部 分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于 椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由 椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后 集中到另一个焦点F2,已知
BC ? F1F2,1B ? 2.8cm, F1F2 ? 4.5cm, F

求截口BAC所在椭圆的方程.
B

y

A

F
C

o

F2

解:建立如图 所示的直角坐 标系,设所求 椭圆方程为:

B

y

A

F
C

x y ? 2 ?1 2 a b
在Rt ? BF1 F2中, F2 B ? F1B ? F1F2
2 2

2

2

o

F2

?

2.82 ? 4.52 .

由椭圆的性质知, F1B ? F2 B ? 2a, 所以 1 1 a ? ( F1B ? F2 B ) ? (2.8 ? 2.82 ? 4.52 ) ? 4.1 2 2

b ? a ? c ? 4.1 ? 2.25 ? 3.4
2 2 2 2

所以,所求的椭圆的方程为:

x y ? 2 ?1 2 4.1 3.4
A

2

2

B

y x

F
C

o

F2

例6 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到
4 25 定直线l :x= 的距离的比是常数 , 求点 5 4

M的轨迹.
l’

y
M

l

F’

F

o

x

25 解:设d是点M到直线l:x= 的距离,根据题意, 4 点M的轨迹就是集合
? MF 4 ? ? ? P ? ?M ? ?, d 5? ? ? ?

由此得,

( x ? 4)2 ? y 2 4 ? 25 5 ?x 4

将上式两边平方,并化简,得

9 x ? 25 y ? 225,
2 2

x2 y 2 即 ? ? 1. 25 9

所以,点M的轨迹是长轴、短轴长分别

为10、6的椭圆。

椭圆的第二定义
在平面内,与一个定点F的距离和一条定直线l的距离 的比是常数e (0<e <1)的点的轨迹叫做

椭圆。
l
M

其中F是它的一个焦点, y l是它的相应的准线。

F

o

x

小结一:基本元素
{1}基本量:a、b、c、e、(共四个量) {2}基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) {3}基本线:对称轴、准线(共四条线) y B1(0,b) 请考虑:基本量之间、 基本点之间、基本线 之间以及它们相互之 o A1 间的关系(位置、数 量之间的关系) B (0,-b)
2

A2 x

练习1:已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心 率

e=0.5,求m的值及椭圆的长轴与短轴的长,焦 点坐标、顶点坐标。

x 2 y2 练习2椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左焦点为 a b F1(-c,0),A(-a,0)、B(0,b)是两个顶点,如果F1到 直线AB的距离为 b ,则椭圆的离心率=( ) 7

x 2 y2 练习3:设M为椭圆 2 ? 2 ? 1 上的点, a b F1 ,F2为椭圆的焦点,如果∠MF1F2 =75°,
∠MF2F1 =15°,求椭圆的离心率。


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