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2013版【三维设计】高中数学人教A版选修2-1【配套课件】第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程


知识点一

理解教材新知
知识点二

2.4

考点一

第 二 章

2.4. 1

把握热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

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2.4.1


抛物线及其标准方程

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如图,我们在黑板上画一条直线EF, 然后取一个三角板,将一条拉链AB固定 在三角板的一条直角边上,并将拉链下 边一半的一端固定在C点,将三角板的 另一条直角边贴在直线EF上,在拉锁D 处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉 笔会画出一条曲线.

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问题1:画出的曲线是什么形状?

提示:抛物线
问题2:|DA|是点D到直线EF的距离吗?为什么? 提示:是.AB是直角三角形的一条直角边. 问题3:点D在移动过程中,满足什么条件? 提示:|DA|=|DC|.

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抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物线的 准线 .

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平面直角坐标系中,有以下点和直线:A(1,0),B(-1,
0),C(0,1),D(0,-1);l1:x=-1,l2:x=1,l3:y=-1, l4:y=1.

问题1:到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是
什么? 提示:y2=4x.

问题2:到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是
什么? 提示:y2=-4x. 问题3:到定点C和定直线l3,到定点D和定直线l4距离 相等的点的轨迹方程分别是什么? 提示:x2=4y,x2=-4y.
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抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 y2=2px (p>0) 焦点坐标 准线方程
p (2,0)
p (-2,0)
p x=-2

y2=-2px

(p>0)

p x=2

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图形

标准方程

焦点坐标
p (0,2) p (0,-2)

准线方程
p y=-2

x2=2py x2=-2py

(p>0) (p>0)

p y=2

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1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”:一个动 点,设为 M;一个定点 F,即抛物线的焦点;一条定直线 l,即为抛物线的准线;一个定值,即点 M 与点 F 的距离和 M 到 l 的距离之比等于 1.定点 F 不能在直线上,否则,动 点 M 的轨迹就不是抛物线.

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2.抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决 于抛物线的标准方程形式,规律是:焦点取决于一次项, 开口取决于正负号,即标准方程中,如果含的是 x 的一次 2p 2p 项,则焦点就在 x 轴上,并且焦点的横坐标为 (或- ), 4 4 2p 2p 相应的准线是 x=- (或 x= ); 如果含的是 y 的一次项, 4 4 有类似的结论. 3.抛物线标准方程中的参数 p 的几何意义是焦点到准 线的距离.
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[例1] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)准线方程为2y+4=0; (2)过点(3,-4);

(3)焦点在直线x+3y+15=0上.
[思路点拨] 确定抛物线的类型 → 设出标准方程

→ 确定参数 → 写出方程

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[精解详析] (1)准线方程为 2y+4=0,即 y=-2,故抛 p 物线焦点在 y 轴的正半轴上,设其方程为 x =2py(p>0).又 = 2
2

2,所以 2p=8,故抛物线的标准方程为 x2=8y. (2)∵点(3,-4)在第四象限, ∴设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0)或 x2= -2p1y(p1>0). 把点(3,-4)的坐标分别代入 y2=2px 和 x2=-2p1y,得 16 9 (-4) =2p· =-2p1· 3,3 (-4),即 2p= ,2p1= . 3 4
2 2

16 9 2 ∴所求抛物线的标准方程为 y = x 或 x =- y. 3 4
2

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(3)令x=0得y=-5;令y=0得x=-15.
∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). ∴所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x. [一点通] 求抛物线方程的主要方法是待定系数法,

若已知抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程, 求出p值即可;若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况 讨论.另外,焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2=

ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2=
ay(a≠0).
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x2 y 2 1. 以双曲线16- 9 =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 ( A.y2=16x C.y2=8x B.y2=-16x D.y2=-8x )

x2 y2 解析:由双曲线方程 - =1,可知其焦点在 x 轴上.由 a2= 16 9 16,得 a=4,∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0),∴抛物线的 p 焦点为 F(4,0). 设抛物线的标准方程为 y =2px(p>0), 则由 = 2
2

4,得 p=8,故所求抛物线的标准方程为 y2=16x.

答案:A

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2.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)、 到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m的值; (2)求抛物线的焦点和准线方程.
解:(1)法一:∵抛物线焦点在 x 轴上,且过点 M(-3,m), ∴设抛物线方程为 y2=-2px(p>0), p 则焦点坐标 F(- ,0). 2 ?m2=6p, ? 由题意知? p2 2 m +?3- ? =5, ? 2 ?

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?p=4, ? 解得? ?m=2 6, ?

?p=4, ? 或? ?m=-2 ?

6.

∴所求抛物线方程为 y2=-8x,m=± 6. 2 法二:设抛物线方程为 y2=-2px(p>0), p p 则焦点坐标 F(- ,0),准线方程 x= . 2 2 由抛物线定义知,点 M 到焦点的距离等于 5, 即点 M 到准线的距离等于 5,

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p 则 3+ =5,∴p=4,∴抛物线方程为 y2=-8x. 2 又点 M(-3,m)在抛物线上, ∴m2=24,∴m=± 6, 2 ∴所求抛物线方程为 y2=-8x,m=± 6. 2 (2)∵p=4,∴抛物线的焦点坐标为(-2,0), 准线方程是 x=2.

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[例2]

已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A

(-2,4).在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.
[ 思 路 点 拨 ] 把|PF|转化为点P到准线的距离

→ 画出草图 → 数形结合 → 求出点P的坐标

[精解详析]

∵(-2)2<8×4,

∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部. 如图,设抛物线的准线为l,过点P作 PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B.
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由 抛 物 线 的 定 义 可 知 : |PF| + |PA| = |PQ| + |PA|≥|AQ|≥|AB|,当且仅当 P,Q,A 三点共线时,|PF|+ |PA|取得最小值,即为|AB|.此时 P 的横坐标为-2,代入 x2 1 =8y 得 yP=2. 故使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点 P 的坐标为 1 (-2,2).

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[一点通]

利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到

焦点和到准线距离的相互转化.解此类最值、定值问题时,

首先要注意抛物线定义的转化应用;其次是注意平面几何
知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不 等关系,点与直线上点的连线中垂线段最短等.

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3.点P为抛物线y2=2px上任一点,F为焦点,则以PF为直 径的圆与y轴 A.相交 C.相离 B.相切 D.位置由F确定 ( )

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p 解析:如图,抛物线的焦点为 F( ,0), 2 p M 为 PF 的中点,准线是 l:x=- .作 PH⊥l 2 于 H,交 y 轴于 Q,那么|PF|=|PH|,且|QH| p =|OF|= .作 MN⊥y 轴于 N,则 MN 是梯形 PQOF 的中位 2 1 1 1 线,即|MN|= (|OF|+|PQ|)= |PH|= |PF|,故以 PF 为直 2 2 2 径的圆与 y 轴相切.

答案:B
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4. 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点, 则点 P 到点(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( 17 A. 2 C. 5 B.3 9 D.2 )

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解析:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离 等于到焦点的距离.由图可知,P 点,A(0,2)点,抛物线的 1 焦点 F( ,0)三点共线时距离之和最小.所以最小距离 d= 2 |AF|= 12 17 2 ?0- ? +?2-0? = . 2 2

答案:A
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[例3]

某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已

知上部呈抛物线形,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩
高出水面4米.现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不 超过18米,目前吃水线上部分中央船体高5米,宽16米, 且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物,但每多装 150吨货物,船体吃水线就要上升0.04米,若不考虑水下

深度, 问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该
桥孔?为什么?

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[ 思 路 点 拨 ] →

分析题意 → 建立平面直角坐标系 → 确定点的坐标求p

设出抛物线标准方程

→ 利用方程求值 → 回答实际问题

[精解详析]

如图所示,

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以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为 x 轴,竖直直线为 y 轴,建立直角坐标系. ∵拱顶距水面 6 米,桥墩高出水面 4 米, ∴A(10,-2). 设桥孔上部抛物线方程是 x2=-2py(p>0), 则 102=-2p(-2),∴p=25, 1 2 ∴抛物线方程为 x =-50y,即 y=-50x .
2

若货船沿正中央航行,船宽 16 米,而当 x=8 时,

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1 y=- ×82=-1.28, 50 即船体在 x=± 之间通过,B(8,-1.28),此时 B 点距水 8 面 6+(-1.28)=4.72(米) 而船体高为 5 米,∴无法通行. 又∵5-4.72=0.28(米),0.28÷ 0.04=7, 150×7=1 050(吨), 所以若船通过增加货物通过桥孔,则要增加 1 050 吨,而 船最多还能装 1 000 吨货物,所以货船在现有状况下不能通过 桥孔.
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[一点通]

涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问

题,通常用抛物线的标准方程解决.建立直角坐标系后, 要结合点的位置分析坐标的符号,根据实际问题中的数据 准确写出点的坐标,再结合实际问题求解.

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5.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛 物线的焦点处.已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm, 则光源到反光镜顶点的距离是 ( )

A.11.25 cm
C.20 cm

B.5.625 cm
D.10 cm

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解析:如图,建立直角坐标系,设抛物线方程是 y2=2px(p>0). 因为 A(40,30)在抛物线上, 45 ∴30 =2p×40,∴p= , 4
2

∴光源到反光镜顶点的距离为 45 p 2 45 = = =5.625 (cm). 2 4 8

答案:B
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6.一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧

道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为a m,求
使卡车通过的a的最小整数值.
解: 以隧道顶点为原点, 拱高所在直线为 y 轴建立直角坐标系, a a 则点 B 的坐标为( ,- ),如图所示. 2 4 设隧道所在抛物线方程为 x2=my, a a 则( )2=m· ),∴m=-a, (- 2 4

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即抛物线方程为 x2=-ay. 将(0.8,y)代入抛物线方程,得 0.82=-ay, 0.82 即 y=- a . a 欲使卡车通过隧道,应有 y-(-4)>3, a 0.82 即4- a >3. 解得 a>12.21 或 a<-0.21(舍去). ∴使卡车通过的 a 的最小整数值为 13.
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1.求抛物线的标准方程时,由于其标准方程有四 种形式,易混淆,解题时一定要做到数形结合,按照 “定型”(确定焦点位置)→定量(参数p的值)的程序求解. 2.应用定义可以解决两类问题:①求抛物线的方程;

②涉及抛物线的最值问题,通常将到焦点的距离转化为
到准线的距离,充分利用直角梯形的性质解题.

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