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复数的概念、几何意义及其运算


复数的概念、几何意义及其运算
主讲教师:王东

【知识概述】 1.复数 形如 a+bi 的数叫做复数,其中 i 叫虚数单位,a 为实部,b 为虚部.全体复数组成的集合 C 叫作复数集. 2.复数的相等 规定:a+bi 与 c+di(a,b,c,d∈ R)的充要条件是 a=c 且 b=d. 3.复数的加、减乘、除运算 设 z1=a+bi,z2=c+di

是任意两个复数,则 (a+bi)± (c+di)=(a± c)+(b± d)i; (a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;

a ? bi ac ? bd bc ? ad ? ? i (c+di≠0). c ? di c 2 ? d 2 c 2 ? d 2
4.共轭复数 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等 于 0 的两个共轭复数也叫做共轭复数. 【学前诊断】 1.[难度] 易

? 1 ? 3i 等于( (1? i) 2
A.

).

3?i 2

B.-

3?i 2

C.

3 ?i 2

D.

? 3 ?i 2

2.[难度] 易 复数

2 ? 2ai 的模为 2 ,则实数 a 的值是 ( a ? 2i

) .

A.

3

B. ? 3
1

C. ? 3

D.± 3

数学·选修 2-2

3.[难度] 中 设复数 z 满足关系式 z+|z|=2+i,那么 z 等于( A. ? ) C. ?

3 +i 4

B.

3 -i 4

3 -i 4

D.

3 +i 4

【经典例题】 例 1. z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? 3i ,则复数

i z2 ? 的实部等于_________________. z1 5


例 2.若 z ? z ? 1 ? 0 ,则 z
2

2002

? z 2003 ? z 2005 ? z 2006 的值是(

例 3.已知 z1 ? z2 ? 1, z1 ? z2 ? A.

2 ,则 z1 ? z2 等于(
C.



2

B.2

3

D.

5

例 4.设

x 3 y ? ? ( x, y ? R ) ,则 x =_____________, y =______________. 1? i 2 ? i 1? i

例 5.若方程 x ? x ? m ? 0, 有两个虚根 ?、? ,且 ? ? ? ? 3 ,则实数 m 的值为(
2



A.

5 2

B. ?

5 2

C.2

D.-2

例 6.已知 z ? 1 ? i (1) ? ? z ? 3z ? 4 ;
2

z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,求实数 a、 b . (2)如果 2 z ? z ?1
【本课总结】 1. 复数 z=a+bi 的虚部是 b 而不是 bi,即实部和虚部都是实数,复数 z=a+bi(a,b∈R)的 对应点的坐标为(a,b) ,而不是(a,bi). 2. 一般两个复数只能说相等或不相等,但是不能比较大小,只有实数才可以比较大小. 3. 两个复数的平方和为 0,是这两个复数同时为 0 的必要不充分条件.
2 数学·选修 2-2

【活学活用】 1.[难度] 中 若复数 z=(a+i)2 对应的点在虚轴的下半轴上,则实数 a 的值为( A.0 B.1 C.-1 D.± 1

2. [难度] 中 计算( A.1

2 1 002 ) 等于( 1? i
B.-1

) C.i D.-i

3. [难度] 中 复数 z 是实数的充分而不必要条件是( A.|z|=z C.z2 是实数 B.z= z D.z+ z 是实数 )

3 数学·选修 2-2


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