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2016高考数学(理)一轮突破热点题型:第4章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示


第二节

平面向量基本定理及坐标表示

考点一 μ AF ,其中 λ,μ∈R,则 λ+μ=________.

平面向量基本定理的应用

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[例 1] 在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点.若 AC =λ AE + [自主解答] 选择

AB , AD 作为平面向量的一组基底,则 AC = AB + AD , AE = ? ???? ???? ??? ? 1 ???? 1 ??? AB + AD , AF = AB + AD , 2 2 ???? ??? ? ???? ??? ? 1 1 ???? λ+μ? AB +?λ+ μ? AD , 又 AC =λ AE +μ AF =? ?2 ? ? 2 ? 1 2 λ+μ=1, λ= , 2 3 4 于是得 即 故 λ+μ= . 3 1 2 λ+ μ=1, μ= . 2 3 4 [答案] 3 【互动探究】

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??? ? ???? ??? ? 1 ???? 解:设 AB =a, AD =b,因为 E,F 分别为 CD 和 BC 的中点,所以 BF = b, DE = 2 1 2 c=b+ a, a= ?2d-c?, 2 3 1 a,于是有: 解得 2 1 2 d=a+ b, b= ?2c-d?. 2 3 ??? ? 2 ???? 4 2 2 4 2 即 AB = (2d-c)= d- c, AD = (2c-d)= c- d. 3 3 3 3 3 3 【方法规律】 应用平面向量基本定理表示向量的实质 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量 的加、减或数乘运算,共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后,任一向量 的表示都是唯一的.

在本例条件下,若 AE =c, AF =d,试用 c,d 表示 AB , AD .

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??? ? ???? ? ??? ? AM =λ AB +μ BC ,则 λ+μ=________.

如图, 在△ABC 中, AB=2, BC=3, ∠ABC=60° , AH⊥BC 于点 H, M 为 AH 的中点. 若

1 解析:因为 AB=2,BC=3,∠ABC=60° ,AH⊥BC,所以 BH=1,BH= BC.因为点 M 3 ? 1 ??? ? 1 ??? ? ???? ? 1 ???? 1 ??? ? ???? 1 ???? ? 1 ??? 为 AH 的中点,所以 AM = AH = ( AB + BH )= ( AB ? BC ) = AB + BC ,即 λ 2 2 2 2 6 3 1 1 2 = ,μ= ,所以 λ+μ= . 2 6 3 2 答案: 3
1

考点二 =3c, CN =-2b.求: (1)3a+b-3c; (2)满足 a=mb+nc 的实数 m,n;

平面向量的坐标运算

[例 2] 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设 AB =a,BC =b,CA =c,且 CM

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(3)M,N 的坐标及向量 MN 的坐标. [自主解答] 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), ?-6m+n=5, ?m=-1, ? ? ∴? 解得? ?-3m+8n=-5, ?n=-1. ? ? (3)设 O 为坐标原点,∵ CM = OM - OC =3c,

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???? ? ???? ???? ???? ???? ???? ???? 又 CN = ON - OC =-2b,∴ ON =-2b+ OC =(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ???? ? ∴N 的坐标为(9,2).故 MN =(9-0,2-20)=(9,-18).
∴ OM =3c+ OC =(3,24)+(-3,-4)=(0,20),∴M 的坐标为(0,20). 【方法规律】 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有 向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标. (2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解, 并注意方程思想的应用. 已知平行四边形的三个顶点分别是 A(4,2), B(5,7), C(-3, 4), 求第四个顶点 D 的坐标. 解:设顶点 D(x,y).若平行四边形为 ABCD. 则由 AB =(1,5), DC =(-3-x,4-y), ?-3-x=1, ?x=-4, ? ? 得? 所以? ? ? ?4-y=5, ?y=-1;

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???? ??? ? ? ?5-x=-7, 若平行四边形为 ACBD,则由 AC =(-7,2), DB =(5-x,7-y),得? 所 ?7-y=2, ?
? ?x=12, 以? ? ?y=5;

若平行四边形为 ABDC,则由 AB =(1, 5), CD =(x+3,y-4),
? ? ?x+3=1, ?x=-2, 得? 所以? ?y-4=5, ?y=9. ? ? 综上所述,第四个顶点 D 的坐标为(-4,-1)或(12,5)或(-2,9). 高频考点 考点三平面向量共线的坐标表示

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1.平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容,多以选择题或填空题的形式出现,难 度较小,属容易题. 2.高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下几个命题角度:
2

(1)利用两向量共线求参数; (2)利用两向量共线的条件求向量坐标; (3)三点共线问题. [例 3] (1)(2013· 陕西高考)已知向量 a=(1, m), b=(m,2), 若 a∥b, 则实数 m 等于(

)

A.- 2 B. 2 C.- 2或 2 D.0 (2)(2011· 湖南高考)设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的 坐标为________. 1 1 (3)(2014· 东营模拟)若三点 A(2,2), B(a,0), C(0, b)(ab≠0)共线, 则 + 的值等于________. a b 2 [自主解答] (1)因为 a∥b,所以 m =2,解得 m=- 2或 m= 2. (2)∵a 与 b 方向相反,∴可设 a=λb(λ<0),∴a=λ(2,1)=(2λ,λ).由|a|= 5λ2=2 5, 解得 λ=-2,或 λ=2(舍),故 a=(-4,-2). (3) AB =(a-2,-2), AC =(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0,即 ab- 1 1 1 2a-2b=0,所以 + = . a b 2 1 [答案] (1)C (2)(-4,-2) (3) 2 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,则利用“若 a =(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 x1y2=x2y1”解题比较方便. (2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量 a 共线的向量时, 可设所求向量为 λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于 λ 的方程,求出 λ 的值后代入 λa 即 可得到所求的向量. (3)三点共线问题.A,B,C 三点共线等价于 AB 与 AC 共线.

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1.(2013· 辽宁高考)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 AB 同方向的单位向量为( 3 4? 4 3? ? A.?5,-5? B.? ?5,-5? 3 4? 4 3? C.? D.? ?-5,5? ?-5,5? 解析:选 A ∵A(1,3),B(4,-1),∴ AB =(3,-4),又∵| AB |=5,

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)

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??? ? ??? ? 4 AB ?3 ? =?5,-5? ∴与 AB 同向的单位向量为 ???? ?. AB

2.已知向量 a=(m,-1),b=(-1,-2),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________. 解析:由题意知 a+b=(m-1,-3),c=(-1,2),由(a+b)∥c,得(-3)×(-1)-(m- 5 1)×2=0,即 2(m-1)=3,故 m= . 2 5 答案: 2 3.已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为________. 解析:法一:由 O,P,B 三点共线,可设 OP =λ OB =(4λ,4λ),则 AP = OP - OA

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ???? ???? ??? ? ??? ? ???? =(4λ-4,4λ).又 AC = OC - OA =(-2,6),由 AP 与 AC 共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2) ??? ? 3 ??? ? 3 =0,解得 λ= ,所以 OP = OB =(3,3),所以 P 点的坐标为(3,3). 4 4
3

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? x y 法二:设点 P(x,y),则 OP =(x,y),因为 OB =(4,4),且 OP 与 OB 共线,所以 = , 4 4
即 x=y.又 AP =(x-4,y), AC =(-2,6),且 AP 与 AC 共线, 所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得 x=y=3,所以 P 点的坐标为(3,3). 答案:(3,3) ———————————[ 课 堂 悟]———————————————— ?1 个区别——向量坐标与点的坐标的区别 归 纳 —— 通 法 领

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在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量 OA =a,点 A 的位置被向量 a 唯一确定, 此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点 A (x,y),向 量 a= OA =(x,y). ?2 种形式——向量共线的充要条件的两种形式 (1)a∥b?b=λa(a≠0,λ∈R); (2)a∥b?x1y2-x2y1=0(其中 a=(x1,y1),b=(x2,y2)). ?3 个注意点——解决平面向量共线问题应注意的问题 (1)注意 0 的方向是任意的; (2)若 a、b 为非零向量,当 a∥b 时,a,b 的夹角为 0° 或 180° ,求解时容易忽视其中 一种情形而导致出错; x1 y1 (3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2 x2 y2 有可能等于 0,所以应表示为 x1y2-x2y1=0.

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4


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