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【2015高考数学(人教A版,文科)一轮课时训练:第8篇 第4节 双曲线


第八篇

第4节

一、选择题 x2 y2 1.设 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9, 16 20 则|PF2|等于( A.1 C.1 或 17 解析:由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8, 又|PF1|=9, ∴|PF2|=1 或 17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为

c-a=6-4=2>1, ∴|PF2|=17. 故选 B. 答案:B π x2 y2 y2 x2 2.(2013 年高考湖北卷)已知 0<θ< ,则双曲线 C1: 2 - 2 =1 与 C2: 2 - 2 4 sin θ cos θ cos θ sin θ =1 的( ) B.虚轴长相等 D.焦距相等 ) B.17 D.以上答案均不对

A.实轴长相等 C.离心率相等

解析: 双曲线 C1 的半焦距 c1= sin2θ+cos2θ=1, 双曲线 C2 的半焦距 c2= cos2θ+sin2θ =1,故选 D. 答案:D x2 y2 3.(2012 年高考湖南卷)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线 a b 上,则 C 的方程为( x2 y2 A. - =1 20 5 x2 y2 C. - =1 80 20 解析:由焦距为 10,知 2c=10,c=5. b 将 P(2,1)代入 y= x 得 a=2b. a a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20, x2 y2 所以方程为 - =1.故选 A. 20 5 答案:A ) x2 y2 B. - =1 5 20 x2 y2 D. - =1 20 80

y2 4.(2014 皖南八校联考)设 F1,F2 是双曲线 x2- =1 的两个焦点,P 是双曲线上的一 24 点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面积等于( A.4 2 C.24 解析:∵3|PF1|=4|PF2|, ∴|PF1|>|PF2|, 由双曲线的定义得: |PF1|-|PF2|=2a=2, 联立①、②解得|PF2|=6,|PF1|=8, 又|F1F2|=2c=2 1+24=10, ∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, ∴△PF1F2 为直角三角形且∠P=90° , 1 ∴S△PF1F2= |PF1|· |PF2|=24.选 C. 2 答案:C 5 5.设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 13 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( x2 y2 A. 2- 2=1 4 3 x2 y2 C. 2- 2=1 3 4 x2 y2 B. 2- 2=1 13 5 x2 y2 D. 2- 2=1 13 12 ) ② )

B.8 3 D.48 ①

5 解析:在椭圆 C1 中,因为 e= ,2a=26, 13 即 a=13,所以椭圆的焦距 2c=10, 则椭圆两焦点为(-5,0),(5,0), 根据题意,可知曲线 C2 为双曲线, 根据双曲线的定义可知, 双曲线 C2 中的 2a2=8, 焦距与椭圆的焦距相同, 即 2c2=10, 可知 b2=3, x2 y2 所以双曲线的标准方程为 2- 2=1.故选 A. 4 3 答案:A

x2 y2 6.(2014 福州八中模拟)若双曲线 - =1 渐近线上的一个动点 P 总在平面区域(x- 9 16 m)2+y2≥16 内,则实数 m 的取值范围是( A.[-3,3] C.[-5,5] ) B.(-∞,-3]∪[3,+∞) D.(-∞,-5]∪[5,+∞)

x2 y2 解析:因为双曲线 - =1 渐近线 4x± 3y=0 上的一个动点 P 总在平面区域(x-m)2+ 9 16 |4m| y2≥16 内,即直线与圆相离或相切,所以 d= ≥4,解得 m≥5 或 m≤-5,故实数 m 的 5 取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).选 D. 答案:D 二、填空题 x2 y2 7. (2013 年高考辽宁卷)已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点, P, Q 为 C 上的点. 若 9 16 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________.

解析:由题知,双曲线中 a=3,b=4,c=5, 则|PQ|=16, 又因为|PF|-|PA|=6, |QF|-|QA|=6, 所以|PF|+|QF|-|PQ|=12, |PF|+|QF|=28, 则△PQF 的周长为 44. 答案:44 x2 y2 8.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e=2,且它的一个顶点到较近焦点的 a b 距离为 1,则双曲线 C 的方程为________. 解析:双曲线中,顶点与较近焦点距离为 c-a=1, c 又 e= =2,两式联立得 a=1,c=2, a y2 ∴b2=c2-a2=4-1=3,∴方程为 x2- =1. 3 y2 答案:x2- =1 3

x2 y2 9.(2014 合肥市第三次质检)已知点 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)和圆 x2+y2=a2+ a b b2 的一个交点,F1,F2 是该双曲线的两个焦点,∠PF2F1=2∠PF1F2,则该双曲线的离心率 为________. 解析:依题意得,线段 F1F2 是圆 x2+y2=a2+b2 的一条直径, 故∠F1PF2=90° ,∠PF1F2=30° , 设|PF2|=m, 则有|F1F2|=2m,|PF1|= 3m, 该双曲线的离心率等于 |F1F2| 2m = = 3+1. ||PF1|-|PF2|| 3m-m 答案: 3+1 x2 y2 10.(2013 年高考湖南卷)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点.若 a b 在 C 上存在一点 P,使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为________. 解析:设点 P 在双曲线右支上, 由题意,在 Rt△F1PF2 中, |F1F2|=2c,∠PF1F2=30° , 得|PF2|=c,|PF1|= 3c, 根据双曲线的定义: |PF1|-|PF2|=2a,( 3-1)c=2a, c 2 e= = = 3+1. a 3-1 答案: 3+1 三、解答题 y2 11.已知双曲线 x2- =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线交于 A、B 两点, 2 且点 P 是线段 AB 的中点? 解:法一 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上, 且线段 AB 的中点为(x0,y0), 若直线 l 的斜率不存在,显然不符合题意. 设经过点 P 的直线 l 的方程为 y-1=k(x-1), 即 y=kx+1-k. y=kx+1-k, ? ? 由? 2 y2 ?x - 2 =1, ?

得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2 =0(2-k2≠0). x1+x2 k?1-k? ∴x0= = . 2 2-k2 k?1-k? 由题意,得 =1, 2-k2 解得 k=2. 当 k=2 时,方程①成为 2x2-4x+3=0. Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解. ∴不能作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P(1,1)是线段 AB 的中点. 法二 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 若直线 l 的斜率不存在, 即 x1=x2 不符合题意, y2 y2 1 2 2 所以由题得 x2 1- =1,x2- =1, 2 2 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)- y1-y2 即 2- =0, x1-x2 即直线 l 斜率 k=2, 得直线 l 方程 y-1=2(x-1), 即 y=2x-1, y=2x-1, ? ? 联立? 2 y2 ? ?x - 2 =1 得 2x2-4x+3=0, Δ=16-24=-8<0, 即直线 y=2x-1 与双曲线无交点,即所求直线不合题意, 所以过点 P(1,1)的直线 l 不存在. 12.(2014 南京质检)中心在原点,焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1, F2,且|F1F2|=2 13,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为 4,离心率之比为 3∶7. (1)求这两曲线方程; (2)若 P 为这两曲线的一个交点,求 cos∠F1PF2 的值. 解:(1)由已知 c= 13, 设椭圆长、短半轴长分别为 a、b, 双曲线实半轴、虚半轴长分别为 m、n, ?y1+y2??y1-y2? =0, 2 ①

a-m=4, ? ? 则? 13 13 7· =3· , ? a m ? 解得 a=7,m=3.∴b=6,n=2. x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1, 49 36 x2 y2 双曲线方程为 - =1. 9 4 (2)不妨设 F1、F2 分别为左、右焦点,P 是第一象限的一个交点, 则|PF1|+|PF2|=14, |PF1|-|PF2|=6, ∴|PF1|=10,|PF2|=4. 又|F1F2|=2 13, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 ∴cos∠F1PF2= 2|PF1||PF2| 102+42-?2 13?2 4 = = . 5 2×10×4


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