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广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题(一)数学理试题(word版)


试卷类型:A

广东省广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一) 数学理试题(word 版)
2013.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置 上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏 涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 如果事件 A , B 相互独立,那么 P

?A

? B? ? P

? A?

? P

?B? .

? ? ? 线性回归方程 y ? b x ? a 中系数计算公式
? b ? ? ( xi ? x ) ( yi ? y ) ? ( xi ? x )
n 2 n

i ?1

? ? ,a ? y ? bx ,

i ?1

其中 x , y 表示样本均值. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ?

?1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 ? ,集合 A

?

?1, 3, 5? , B

?

? 2 , 4 ? ,则

A. U ? A ? B C. U ? A ? ? ?U B ?
a 1 ? i

B. U ? ? ?U A ? ? B D. U ? ? ?U A ? ? ? ?U B ?

2. 已知

? 1 ? b i ,其中 a , b 是实数,i 是虚数单位,则 a ? b i ?

A. 1 ? 2 i

B. 2 ? i

C. 2 ? i

D. 1 ? 2 i

第 1 页 共 24 页

? x ? 2 y ? 1, ? 3.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 1 ? 0. ?

A. ? 3 4. 直线 x ?
?
6

B. 0
3 y ? 0 截圆 ? x ? 2 ?
2

C. 1
? y
2

D. 3

? 4 所得劣弧所对的圆心角是

A.

B.

?
3
1 2 1 正视图 侧视图

C.

?
2

D.

2? 3

5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是 A. 2 6. 函数 y ? B. 1 C.
2 3

2

D.

1 3
2 俯视图 图1

?sin

x ? c o s x ? ?s i n x ? c o s x ? 是

A.奇函数且在 ? 0 ,
? ? ?

?

? ?

? 上单调递增 2?

B.奇函数且在 ?

??

? , ? ? 上单调递增 ?2 ? ?? ? , ? ? 上单调递增 ?2 ?

C.偶函数且在 ? 0 ,

? ?

? 上单调递增 2?

D.偶函数且在 ?

x 7.已知 e 是自然对数的底数,函数 f ? x ? ? e ? x ? 2 的零点为 a ,函数 g ? x ? ? ln x ? x ? 2

的零点为 b ,则下列不等式中成立的是 A. f ? a ? ? f ? 1 ? ? f ? b ? C. f ? 1 ? ? f ? a ? ? f ? b ? B. f ? a ? ? f ? b ? ? f ? 1 ? D. f ? b ? ? f ? 1 ? ? f ? a ?
B ?

8.如图 2,一条河的两岸平行,河的宽度 d ? 6 0 0 m, 一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B . 已知 A B ? 1 km,水流速度为 2 km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为 6 分钟,则客船在静水中 的速度大小为 A. 8 km/h C. 2 3 4 km/h B. 6 2 km/h D. 1 0 km/h

水流方向
?
A

图2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
第 2 页 共 24 页

9. 不等式 x ? 1 ? x 的解集是 10. ?0 c o s x d x ?
1

. .

11.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资 料:
x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

? ? 根据上表可得回归方程 y ? 1 .2 3 x ? a ,据此模型估计,该型号机器使用年限为 10 年时

维修费用约

万元(结果保留两位小数) .

12.已知 a ? 0 , a ? 1 ,函数 f

?x?

? a x ? x ? 1? , ? ? ? 若函数 f ? x ? a ? x ? 1? , ? ?

? x ? 在 ? 0 , 2 ? 上的最 ? ?

大值比最小值大

5 2

,则 a 的值为

.

13. 已知经过同一点的 n( n ? N , n ? 3 ) 个平面,任意三个平面不经过同一条直线.若这 n 个平面将空间分成 f

*

? n ? 个部分,则 f ? 3 ?

?

,f

?n?

?

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 定点 A ? 2 ,
? ? 3 2

? ?
?

?

, B 在直线 ? 点 .

co s ? ?

3 ? sin ? ? 0

上运动, 当线段 A B 最
B D O C

短时,点 B 的极坐标为 15. (几何证明选讲选做题)

如图 3, A B 是 ? O 的直径, B C 是 ? O 的切线, A C 与 ? O 交于点 D , 若 BC ? 3 , A D ?
16 5
A

,则 A B 的长为



图3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? A s in ( ? x ? 正周 期为 8 .
第 3 页 共 24 页

?
4

) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 若函数 f ( x ) 图象上的两点 P , Q 的横坐标依次为 2, 4 , 为坐标原点, 求△ P O Q 的 O 面积.

17. (本小题满分 12 分) 甲, 丙三位学生独立地解同一道题, 乙, 甲做对的概率为
1 2

, 丙做对的概率分别为 m , 乙,

n ( m > n ),且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中做对该题的人数,其

分布列为:
?

0
1 4

1

2

3
1 24

P

a

b

(1) 求至少有一位学生做对该题的概率; (2) 求 m , n 的值; (3) 求 ? 的数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,在三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 中,△ A B C 是边长为 2 的等边三角形,
A A1 ? 平面 A B C , D , E 分别是 C C 1 , A B 的中点.
D A1 B1 C1

(1)求证: C E ∥平面 A1 B D ;
A C E 图4 B

(2)若 H 为 A1 B 上的动点,当 C H 与平面 A1 A B 所成最大角的正切值为 求平面 A1 B D 与平面 A B C 所成二面角(锐角)的余弦值.

15 2

时,

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ? ? na n ? ( n ? 1) S n ? 2 n
第 4 页 共 24 页

(n ? N * ) .

(1) 求数列 { a n } 的通项公式; (2)若 p , q , r 是三个互不相等的正整数,且 p , q , r 成等差数列,试判断
a p ? 1, a q ? 1, a r ? 1 是否成等比数列?并说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 ( ? 2, 0 ) , F 2 ? 2 , 0 ? ,点 A ( 2, 3) 在椭 圆 C 1 上, 过点 A 的直线 L 与抛物线 C 2 : x ? 4 y 交于 B , C 两点, 抛物线 C 2 在点 B , C 处
2

的切线分别为 l1 , l 2 ,且 l1 与 l 2 交于点 P . (1) 求椭圆 C 1 的方程; (2) 是否存在满足 P F1 ? P F 2 ? A F1 ? A F 2 的点 P ? 若存在, 指出这样的点 P 有几个 (不 必求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已 知 二 次 函 数
f f

? ?x ?
2

2

x?

a? x 1

?m , 关 于

x

的 不 等 式

? ?x ? ? 2

m ?1 ?

x 1 ?

?

m

的解集为 ? m , m ? 1 ? ,其中 m 为非零常数.设 g (1)求 a 的值; (2) k( k ? R ) 如何取值时,函数 ? 值点; (3)若 m ? 1 ,且 x ? 0 ,求证: ? g ?

?x?

?

f

?x?

x ? 1

.

?x?

? g

?x?
n

? k ln

?x
n

? 1 ? 存在极值点,并求出极

?x

? 1? ? ?

? g

?x

? 1

?

? 2

n

? 2( n ? N ) .

*

第 5 页 共 24 页

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满 分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. , ? ? ? ?
?2 ? ?1 ?

10. i n 1 s

1 11. 2 .3 8

12. 或
2

1

7 2

13. n 8,

2

? n ? 2

14. ? 1,
?

?

1 1? ? ? 6 ?

15. 4

说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是: ? 1,
? ? 1 1? 6 ? ? 2 k ? ? ( k ? Z ). ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公 式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵ f ( x ) 的最大值为2,且 A ? 0 , 1分 ∵ f ( x ) 的最小正周期为 8 , 分 ∴ f ( x ) ? 2 s in (
?
4 x?

∴A ? 2.

?????

∴T ?

2?

?

?8, ? ? 得

?
4

.

?????2

?
4

).

?????

第 6 页 共 24 页

3分 (2)解法 1:∵ f ( 2 ) ? 2 s in ? 分
? ? ? ? f ( 4 ) ? 2 sin ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin 4 ? 4 ?
2 ,

?? ? 2

?

? ?

? ? ? 2 cos 4 ? 4

?

2 ,

?????4

?????5

分 ∴ P ( 2, 2 ), Q ( 4, ? 2 ) . ∴ OP ? 8分 ∴ cos ? P O Q ? 10 分 ∴sin ? PO Q ? 11 分 ∴
1 2
1 ? cos ? PO Q ?
2

6 , PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 .

?????

OP

2

? OQ

2

? PQ

2

?

?

6

? ? ?3 2 ? ? ?2 3 ?
2 2

2

2 OP OQ

2 6?3 2

?

3 3

. ???

6 3

.

?????



P

O



Q




6 3



S ?

sO n ? i

? P

?

1 6 ? O 2

?

3 ?Q 3 2 .

2

P

O

Q

????? 12 分 解法 2:∵ f ( 2 ) ? 2 s in ? 分
? ? ? ? f ( 4 ) ? 2 sin ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin 4 ? 4 ?
2 , ?? ? 2 ?

? ?

? ? ? 2 cos 4 ? 4

?

2 ,

?????4

?????5

分 ∴ P ( 2, 2 ), Q ( 4, ? 2 ) . (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ∴ O P ? ( 2, 2 ), O Q ? ( 4, ? 2 ) . 8分
??? ? ????

?????

第 7 页 共 24 页

??? ???? ? ??? ???? ? OP ?OQ ∴ c o s ? P O Q ? c o s ? O P , O Q ? ? ??? ???? ? ? OP OQ

6 6?3 2

?

3 3

.

?????

10 分 ∴sin ? PO Q ? 11 分 ∴
1 2
1 ? cos ? PO Q ?
2

6 3

.

?????



P

O



Q




6 3



S ?

sO n ? i

? P

?

1 6 ? O 2

?

3 ?Q 3 2 .

2

P

O

Q

????? 12 分 解法 3:∵ f ( 2 ) ? 2 s in ? 分
? ? ? ? f ( 4 ) ? 2 sin ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin 4 ? 4 ?
2 , ?? ? 2 ?

? ?

? ? ? 2 cos 4 ? 4

?

2 ,

?????4

?????5

分 ∴ P ( 2, 2 ), Q ( 4, ? 2 ) .
2 2

∴直线 O P 的方程为 y ? 分

x ,即 x ?

2y ? 0.

?????7

∴点 Q 到直线 O P 的距离为 d ? 9分 ∵ OP ? 分 ∴△ P O Q 的面积为 S ?
1 2

4 ? 2 3

? 2 3 .

?????

6,

?????11

OP ? d ?

1 2

?

6 ? 2 3 ? 3 2 .

?????

12 分 17. (本小题满分12分) (本小题主要考查相互独立事件的概率、 离散型随机变量的均值等基础知识, 考查数据处理、 推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想) 解:设“甲做对”为事件 A , “乙做对”为事件 B , “丙做对”为事件 C ,由题意知,
第 8 页 共 24 页

P

? A?

?

1 2

,P

?B?

? m, P ?C

?

? n.

?????1

分 (1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ ? ? 0 ”是对立的, 所以至少有一位学生做对该题的概率是 1 ? P ? ? ? 0 ? ? 1 ? 3分 (2)由题意知 P ? ? ? 0 ? ? P
1 4 3 4

?

.

????

? ABC ?
?

?

1 2 1 2

?1

? m ? ?1 ? n ? ?

1 4



?????4 分

P ?? ? 3 ? ? P

? ABC ?

mn ?

1 24



?????5

分 整理得
mn ? 1 12

,m ? n ?

7 12

.

由 m ? n ,解得 m ? 7分 (3)由题意知 a ? P ? ? ? 1 ? ? P
? 1 2

1 3

,n ?

1 4

.

?????

? A B C ? ? P ? AB C ? ? P ? A BC ?
1 2 m ?1 ? n ? ? 1 2

?1

? m ? ?1 ? n ? ?

?1

? m? n ?

11 24

, ???9


b ? P (? ? 2 ) ? 1 ? P (? ? 0 ) ? P (? ? 1) ? P (? ? 3) =

1 4



?????

10 分 ∴ ? 的数学期望为 E ? ? 0 ? P (? ? 0 ) ? 1 ? P ( ? ? 1) ? 2 P ( ? ? 2 ) ? 3 P ( ? ? 3) =
13 12

.

???? 12分 18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间 想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一: (1)证明:延长 A1 D 交 A C 的延长线于点 F ,连接 B F .
第 9 页 共 24 页

∵ C D ∥ A A1 ,且 C D ? ∴ C 为 A F 的中点. ∵ E 为 A B 的中点, ∴CE ∥ BF .

1 2

A1

A A1 ,

C1 B1 D

?????2 分 ?????3 分
A E B

H C F

∵ B F ? 平面 A1 B D , C E ? 平面 A1 B D , ∴ C E ∥平面 A1 B D . 分 (2)解:∵ A A1 ? 平面 A B C , C E ? 平面 A B C , ∴ A A1 ? C E . 分 ∵△ A B C 是边长为 2 的等边三角形, E 是 A B 的中点, ∴CE ? AB ,CE ?
3 2 AB ? 3.

?????4

?????5

∵ A B ? 平面 A1 A B , A A1 ? 平面 A1 A B , A B ? A A1 ? A , ∴ C E ? 平面 A1 A B . ∴ ? E H C 为 C H 与平面 A1 A B 所成的角. 7分 ∵CE ?
3,

?????6 分 ?????

在 Rt△ C E H 中, t a n ? E H C ?

CE EH

?

3 EH

, ?????8

∴当 E H 最短时, t a n ? E H C 的值最大,则 ? E H C 最大. 分 ∴当 E H ? A1 B 时, ? E H C 最大. 此时, t a n ? E H C ?
CE EH ?

3 EH

?

15 2

.

∴ EH 9分

?

2 5 5

.

?????

∵ C E ∥ B F , C E ? 平面 A1 A B , ∴ B F ? 平面 A1 A B .
第 10 页 共 24 页

?????

10 分 ∵ A B ? 平面 A1 A B , A1 B ? 平面 A1 A B , ∴ B F ? A B ,B F ? A1 B . 分 ∴ ? A B A1 为平面 A1 B D 与平面 A B C 所成二面角(锐角). 分 在 Rt△ E H B 中, B H ? 分 ∴平面 A1 B D 与平面 A B C 所成二面角(锐角)的余弦值为 分 解法二: (1)证明:取 A1 B 的中点 F ,连接 D F 、 E F . ∵ E 为 A B 的中点, ∴ E F ∥ A A1 ,且 E F ?
1 2 1 2 A A1 .
5 5
EB
2

?????11

?????12

? EH

2

?

5 5

,c o s ? A B A1 ?

BH EB

?

5 5

.?13

.

?????14

z A1 C1 B1 D

?????1 分

∵ C D ∥ A A1 ,且 C D ?

A A1 ,

F
?????2 分 ?????3 分

∴ EF ∥CD , EF ? CD . ∴四边形 E F D C 是平行四边形. ∴CE ∥ DF .

H A E x
?????4 分

C B

y

∵ D F ? 平面 A1 B D , C E ? 平面 A1 B D , ∴ C E ∥平面 A1 B D . (苏元高考吧:www.gaokao8.net)

(2)解:∵ A A1 ? 平面 A B C , C E ? 平面 A B C , ∴ A A1 ? C E . 分 ∵△ A B C 是边长为 2 的等边三角形, E 是 A B 的中点, ∴CE ? AB ,CE ?
3 2 AB ? 3.

?????5

∵ A B ? 平面 A1 A B , A A1 ? 平面 A1 A B , A B ? A A1 ? A ,
第 11 页 共 24 页

∴ C E ? 平面 A1 A B . ∴ ? E H C 为 C H 与平面 A1 A B 所成的角. 7分 ∵CE ?
3,

?????6 分 ?????

在 Rt△ C E H 中, t a n ? E H C ?

CE EH

?

3 EH

, ?????8

∴当 E H 最短时, t a n ? E H C 的值最大,则 ? E H C 最大. 分 ∴当 E H ? A1 B 时, ? E H C 最大. 此时, t a n ? E H C ?
CE EH ?

3 EH

?

15 2

.

∴ EH 9分

?

2 5 5

.

?????

在 Rt△ E H B 中, B H ?

EB

2

? EH

2

?

5 5

.

∵Rt△ E H B ~Rt△ A1 A B ,
2 5 5 ? 5 2



EH A A1

?

BH AB

,即

5 A A1

.

∴ A A1 ? 4 . 10 分

?????

以 A 为原点,与 A C 垂直的直线为 x 轴, A C 所在的直线为 y 轴, A A1 所在的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? x y z . 则 A ( 0 , 0 , 0 ) , A1 ( 0 , 0 , 4 ) , B
???? ????

(

3 , 1, 0 , D

)

( 0,

2, 2 ) .

∴ A A1 ? ( 0 , 0 , 4 ) , A1 B ? 设平面 A1 B D 的法向量为 n =
????

(

???? ? 3 , 1, - 4 , A1 D ? ( 0 , 2 , - 2 ) .

)

? x, y, z ? ,
0,

由 n ?A1 B

???? ? 0 , n ?A1 D

第 12 页 共 24 页

得? í

ì ?

3x +

y 2z =

4z = 0.

0

? 2y ? ?

(苏元高考吧:www.gaokao8.net)

令 y = 1 ,则 z = 1, x =

3.

∴平面 A1 B D 的一个法向量为 n = 分
????

(

3 , 1, 1 .

)

?????12

∵ A A1 ? 平面 A B C , ∴ A A1 = ( 0 , 0 , 4 ) 是平面 A B C 的一个法向量.
???? ? n , A A1 ???? ? n ? A A1 ? ???? ? ? n A A1

∴cos

5 5

.

?????

13 分 ∴平面 A1 B D 与平面 A B C 所成二面角(锐角)的余弦值为
5 5

.

?????14

分 19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 n 项和等基础知识,考查合情推理、化归 与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:? a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? n a n ? ( n ? 1) S n ? 2 n , ∴ 当 n ? 1 时,有 a1 ? (1 ? 1) S 1 ? 2, 解得 a1 ? 2 . 分 由 a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? n a n ? ( n ? 1) S n ? 2 n , 得 a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? n a n ? ( n ? 1) a n ? 1 ? n S n ? 1 ? 2 ( n ? 1) , 2分 ② ③ ① 得 :
( n ? 1) a n ? 1 ? n S n ? 1 ? ( n ? 1) S n ? 2

?????1

① ② ?????

.

?????3 分 以下提供两种方法: 法 1:由③式得: ( n ? 1)( S n ? 1 ? S n ) ? n S n ? 1 ? ( n ? 1) S n ? 2 , 即 S n ?1 ? 2 S n ? 2 ; ?????

4分
? S n ?1 ? 2 ? 2 ( S n ? 2 ) ,

?????

5分
第 13 页 共 24 页

∵ S 1 ? 2 ? a1 ? 2 ? 4 ? 0 , ∴数列 { S n ? 2} 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ S n ? 2 ? 4 ? 2 n ? 1 ,即 S n ? 4 ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 . 6分 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? ( 2 n ? 1 ? 2 ) ? ( 2 n ? 2 ) ? 2 n , 分 又 a 1 ? 2 也满足上式, ∴ an ? 2n . 分 法 2:由③式得: ( n ? 1) a n ? 1 ? n S n ? 1 ? ( n ? 1) S n ? 2 ? n ? S n ? 1 ? S n ? ? S n ? 2 , 得 an ?1 ? S n ? 2 . 4分 当 n ? 2 时, a n ? S n ? 1 ? 2 , 5分
a ⑤-④得: n ? 1 ? 2 a n .

?????

?????7

?????8



?????



?????

?????6

分 由 a 1 ? 2 a 2 ? S 2 ? 4 ,得 a 2 ? 4 , ∴ a 2 ? 2 a1 . 7分 ∴数列 { a n } 是以 a1 ? 2 为首项, 为公比的等比数列. 2 分 (2)解:∵ p , q , r 成等差数列, ∴ p ? r ? 2q . 9分 假设 a p ? 1, a q ? 1, a r ? 1 成等比数列, 则 ? a p ? 1? ? ar ? 1? ? 分 ????? ∴ an ? 2n . ?????8 ?????

?a

q

? 1

?

2



?????10

第 14 页 共 24 页

即?2

p

? 1

? ?2

r

? 1

?

?

?2

q

? 1

?

2

, (*) ?????11 分

化简得: 2 p ? 2 r ? 2 ? 2 q . ∵p ? r, ∴2 13 分
p

? 2

r

? 2

2

p

? 2

r

? 2 ? 2 ,这与(*)式矛盾,故假设不成立.??
q

∴ a p ? 1, a q ? 1, a r ? 1 不是等比数列.

?????

14 分 20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化 归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法 1:设椭圆 C 1 的方程为
?2 3 ? 2 ? 2 ? 1, 依题意: ? a b ?a 2 ? b 2 ? 4. ?
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ?a ? b ? 0?,

解得: ?

?a ?

2

? 16,

?b ? 12. ?
2

?????

2分 ∴ 椭圆 C 1 的方程为 3分 解法 2:设椭圆 C 1 的方程为
x a
2 2

x

2

?

y

2

? 1.

?????

16

12

?

y b

2 2

? 1 ?a ? b ? 0?,

根据椭圆的定义得 2 a ? A F1 ? A F 2 ? 8 ,即 a ? 4 , 分
2 2 2 ∵ c ? 2 , ∴ b ? a ? c ? 12 .

?????1

?????

2分 ∴ 椭圆 C 1 的方程为 3分 (2)解法 1:设点 B ( x 1 ,
BA ? ( 2 ? x 1 , 3 ? 1 4 1 4 x1 ) , C ( x 2 , x1 ) ,
2 2

x

2

?

y

2

? 1.

?????

16

12

1 4

x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x 1 ,
2

1 4

( x 2 ? x 1 )) ,
2 2

∵ A , B , C 三点共线, (苏元高考吧:www.gaokao8.net)
第 15 页 共 24 页

????

??? ?

∴ BC // BA . 4分 ∴ ? x 2 ? x1 ? ? 3 ?
? ? 1 1 2 ? x1 ? ? 4 4 ?

?????

?x

2 2

? x1

2

? ?2

? x1 ? ,

化简得: ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ? 1 2 . 2 分 由 x 2 ? 4 y ,即 y ? 6分
1 4 x ,得 y ? ?
2



?????5

1 2

x.

?????

∴抛物线 C 2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

1 4

x1 ?
2

x1 2 x2 2

( x ? x1 ) , y ? 即

x1 2

x?

1 4

x1 . ②

2

同理, 抛物线 C 2 在点 C 处的切线 l 2 的方程为 y ? 分 设点 P ( x , y ) ,由②③得:
1 2

x?

1 4

x2 .

2



?????8

x1 2

x?

1 4

x1 ?
2

x2 2

x?

1 4

x2 ,

2

而 x1 ? x 2 , x ? 则 分 代入②得 y ? 分
1 4

( x1 ? x 2 ) .

?????9

x1 x 2 ,

?????10

则 2 x ? x 1 ? x 2 , 4 y ? x 1 x 2 代 入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 , 即 点 P 的 轨 迹 方 程 为
y ? x ? 3.

????? 11 分 若 P F1 ? P F 2 ? A F1 ? A F 2 ,则点 P 在椭圆 C 1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, ????? 12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C 1 内一点 (3, 0 ) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C 1 交于两点. 13 分
第 16 页 共 24 页

?????

∴满足条件 P F1 ? P F2 ? A F1 ? A F2 14 分

的点 P 有两个.

?????

解法 2:设点 B ( x 1 , y 1 ) , C ( x 2 , y 2 ) , P ( x 0 , y 0 ) , 由 x 2 ? 4 y ,即 y ? 分 ∴抛物线 C 2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y 1 ?
x1 2 ( x ? x1 ) , 1 4
2 x ,得 y ? ?

1 2

x.

?????4

即y ? 5分 ∵ y1 ?
1 4

x1 2

x ? y1 ?

1 2

x1 .

2

?????

x1 , ∴ y ?
2

x1 2

x ? y1 .

∵点 P ( x 0 , y 0 ) 在切线 l1 上, 6分 同理, y 0 ? 分
x2 2 x0 ? y2 .

∴ y0 ?

x1 2

x 0 ? y1 .



?????



?????7

综合①、②得,点 B ( x 1 , y 1 ), C ( x 2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? 分 ∵经过 B ( x 1 , y 1 ), C ( x 2 , y 2 ) 的直线是唯一的, ∴直线 L 的方程为 y 0 ? 9分 ∵点 A ( 2 , 3 ) 在直线 L 上, 分 ∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 . 11 分 若 P F1 ? P F 2 ? A F1 ? A F 2 分
第 17 页 共 24 页

x 2

x 0 ? y . ?????8

x 2

x0 ? y ,

?????

∴ y0 ? x0 ? 3 .

?????10

?????

,则点 P 在椭圆 C 1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,??12

∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C 1 内一点 (3, 0 ) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C 1 交于两点. 13 分 ∴满足条件 P F1 ? P F2 ? A F1 ? A F2 14分 解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k
? y ? k ? ?x ?
2

?????

的点 P 有两个.

?????

?x

? 2? ? 3,

由? 分

?x

? 2 ? ? 3,

消去 y , x 得

2

? 4 k x

? k8 ? 1 ? 0 2

? 4 y,

.

?????4

设 B ? x1 , y 1 ? , C 5分

?x

2

, y 2 ? ,则 x1 ? x 2 ? 4 k , x1 x 2 ? 8 k ? 1 2 .

?????

由 x 2 ? 4 y ,即 y ? 6分

1 4

2 x ,得 y ? ?

1 2

x.

?????

∴抛物线 C 2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y 1 ? 分 ∵ y1 ?
1 4 x1 , ∴ y ?
2

x1 2

( x ? x 1 ) ,即 y ?

x1 2

x ? y1 ?

1 2

x 1 .?7

2

x1 2

x ?

1 4

x1 .

2

同理,得抛物线 C 2 在点 C 处的切线 l 2 的方程为 y ? 8分

x2 2

x ?

1 4

x2 .

2

?????

? ? x1 x1 ? x 2 1 2 x ? x1 , ? 2k , ?y ? ?x ? ? ? 2 4 2 由? 解得 ? x x x2 1 2 ? ? y ? x ? x2 , y ? 1 2 ? 2k ? 3. ? ? ? 4 ? 2 4

∴ P ? 2k ,2k ? 3? . 10 分 ∵ P F1 ? P F 2 ? A F1 ? A F 2 ,
x
2

?????

∴点 P 在椭圆 C 1 :

?

y

2

? 1 上.

?????

16

12
第 18 页 共 24 页

11 分 ∴

? 2k ?
16

2

?

?2k

? 3? 12

2

? 1.

化简得 7 k 分

2

? 1 2 k ? 3 ? 0 .(*)

?????12

由 Δ ? 122 ? 4 ? 7 ? ? ?3? ? 228 ? 0 ,

?????

13 分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. ????? 14 分 21. (本小题满分14分) (本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基 础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于 x 的不等式 f 即不等式 x 2 ? ∴ x2 ? ∴ x2 ?

?x?

?

? 2m
2

? 1 ? x ? 1 ? m 的解集为 ? m , m ? 1 ? ,
2

?a

? 1 ? 2m ? x ? m
2

? m ? 0 的解集为 ? m , m ? 1 ? ,

?a ?a

? 1 ? 2m ? x ? m ? 1 ? 2m ? x ? m

? m ?

?x
2

? m ? ? x ? m ? 1? . ?

2

? m ? x

? 2m

? 1? x ? m

?m

? 1? .

∴ a ? 1 ? 2 m ? ? ? 2 m ? 1? . ∴ a ? ?2 . 2分 (2)解法 1:由(1)得 g ?????

?x?

?

f

?x?

x ? 1

?

x

2

? 2x ? m ? 1 x ? 1

?

?x

? 1? ?

m x ? 1

.

∴?

?x?

? g

?x?

? k ln

?x

? 1? ?

?x

? 1? ?

m x ? 1

? k ln

?x

? 1? 的 定 义 域 为

?1, ? ? ? .
∴ ? ?( x ) ? 1 ? 3分 方程 x 2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ? 0 (*)的判别式
Δ ?

m

? x ? 1?

2

?

k x ? 1

?

x

2

?

?2

? k? x ? k ? m ? 1

? x ? 1?

2

.

?????

?2

? k?

2

? 4 ? k ? m ? 1? ? k

2

? 4m .

?????

第 19 页 共 24 页

4分 ①当 m ? 0 时, Δ ? 0 ,方程(*)的两个实根为 x1 ?
2 ? k ? 2
2

2 ? k ? 2

k

2

? 4m

? 1,

x2 ?

k

? 4m

? 1,

?????

5分 则 x ? ? 1, x 2 ? 时, ? ? ( x ) ? 0 ; x ? ∴函数 ? ∴函数 ? 6分 ②当 m ? 0 时,由 Δ ? 0 ,得 k ? ? 2 ? m 或 k ? 2 ? m , 若
2 ? k ? 2 k
2
2

?x

2

, ? ? ? 时, ? ? ( x ) ? 0 .

? x ? 在 ? 1, x ? 上单调递减,在 ? x ? x ? 有极小值点 x
2

2

, ? ? ? 上单调递增.

.

?????

k ? ?2

?m


k 2
2



x1 ?

? 4m

? 1, x 2 ?

2 ? k ?

? 4m

? 1,

故 x ? ? 1, ? ? ? 时, ? ? ( x ) ? 0 , (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ∴函数 ? ∴函数 ? 7分 若
2 ? k ? 2 k
2

? x ? 在 ?1, ? ? ? 上单调递增. ? x ? 没有极值点.
?????

k ? 2

?m


k 2
2



x1 ?

? 4m

? 1, x 2 ?

2 ? k ?

? 4m

? 1,

则 x ? ? 1, x1 ? 时 , ? ? ( x ) ? 0 ; x ?
? ? ( x ) ? 0.

?x ,x ?
1 2

时 , ? ?( x ) ? 0 ; x ?

?x

2

,?? ? 时,

∴函数 ? ∴函数 ? 8分

? x ? 在 ? 1, x ? 上单调递增,在 ? x , x ? 上单调递减,在 ? x
1 1 2

2

, ? ? ? 上单调递增.

? x ? 有极小值点 x

2

,有极大值点 x1 .

?????

综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任意实数, 函数 ?

? x ? 有极小值点 x

2



第 20 页 共 24 页

当 m ? 0 时, k ? 2 ? m ,函数 ? 分 (其中 x1 ?
2 ? k ? 2 k
2

? x ? 有极小值点 x

2

,有极大值点 x1 .???9

? 4m

, x2 ?

2 ? k ? 2

k

2

? 4m

)

解法 2:由(1)得 g

?x?
?x?

?

f

?x?

x ? 1

?

x

2

? 2x ? m ? 1 x ? 1

?

?x

? 1? ?

m x ? 1

.

∴?

?x?

? g

? k ln

?x

? 1? ?

?x

? 1? ?

m x ? 1

? k ln

?x

? 1? 的 定 义 域 为

?1, ? ? ? .
∴ ? ?( x ) ? 1 ? 3分 若函数 ? 且 至少有一个零点在 ? 1, ? ? ? 上. 4分 令 ? ?( x ) ?
x
2

m

? x ? 1?
? g

2

?

k x ? 1

?

x

2

?

?2

? k? x ? k ? m ? 1

? x ? 1?

2

.

?????

?x?

?x?

? k ln

?x

? 1 ? 存在极值点等价于函数 ? ? ( x ) 有两个不等的零点,

?????

?

?2

? k? x ? k ? m ? 1

? x ? 1?

2

? 0,

得 x2 ? 则Δ ? 5分

?2

? k ? x ? k ? m ? 1 ? 0 , (*)

?2

? k?

2

? 4 ? k ? m ? 1? ? k

2

? 4 m ? 0 ,(**)

?????

方程(*)的两个实根为 x1 ? 设h ? x? ? x2 ?

2 ? k ? 2

k

2

? 4m

, x2 ?

2 ? k ? 2

k

2

? 4m

.

?2

? k? x ? k ? m ? 1,

①若 x1 ? 1, x 2 ? 1 ,则 h ? 1 ? ? ? m ? 0 ,得 m ? 0 ,此时, k 取任意实数, (**)成立. 则 x ? ? 1, x 2 ? 时, ? ? ( x ) ? 0 ; x ? ∴函数 ? ∴函数 ?
2

?x

2

, ? ? ? 时, ? ? ( x ) ? 0 .

? x ? 在 ? 1, x ? 上单调递减,在 ? x ? x ? 有极小值点 x
2

2

, ? ? ? 上单调递增.

.
第 21 页 共 24 页

?????

6分
? h ?1 ? ? ? m ? 0 , ? m ? 0, ? 得? ? 1 ,则 ? 2 ? k ? k ? 0. ? 1. ? ? 2

②若 x1 ? 1, x 2

又由(**)解得 k ? 2 ? m 或 k ? ? 2 ? m , 故k ? 2 ?m . 分 则 x ? ? 1, x1 ? 时 , ? ? ( x ) ? 0 ; x ?
? ? ( x ) ? 0.

?????7

?x ,x ?
1 2

时 , ? ?( x ) ? 0 ; x ?

?x

2

,?? ? 时,

∴函数 ? ∴函数 ? 8分

? x ? 在 ? 1, x ? 上单调递增,在 ? x , x ? 上单调递减,在 ? x
1 1 2

2

, ? ? ? 上单调递增.

? x ? 有极小值点 x

2

,有极大值点 x1 .

?????

综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任何实数, 函数 ? 当 m ? 0 时, k ? 2 ? m ,函数 ? 分 (其中 x1 ?
2 ? k ? 2 k
2

? x ? 有极小值点 x
2

2



? x ? 有极小值点 x

,有极大值点 x1 .???9

? 4m

, x2 ?
1

2 ? k ? 2

k

2

? 4m

)

(2)证法 1:∵ m ? 1 , ∴ g

?x?
n

?

?x

? 1? ?

x ? 1
n

.

∴ ? g ? x ? 1? ? ? ?

n

? g

?x

? 1

?

? 1? ? ?x ? ? x? ?

? n 1 ? ? ?x ? n ? x ? ?

? x

n

? Cnx
1

n ?1

?

1 x

? Cn x
2

n?2

?

1 x
2

? ? ? Cn

n ?1

x ? x

1
n ?1

? Cn

n

1 x
n

? n 1 ? ? ?x ? n ? x ? ?

? Cnx
1

n?2

? Cn x
2

n?4

? ? ? Cn

n ?1

x

2?n

.

?????

10 分 令T ? C n x
1 n?2

? Cn x
2

n?4

? ? ? Cn x
4?n

n ?1

x

2?n



则T ? C n

n ?1

x

2?n

? Cn

n?2

? ? ? Cnx
1

n?2

第 22 页 共 24 页

? Cnx
1

2?n

? Cn x
2

4?n

? ? ? Cn

n ?1

x

n?2

.

∵x ? 0, ∴ 2T ? C n ? x
1 n?2

? x

2?n

?

? Cn

2

?x

n?4

? x

4?n

?

? ? ? Cn

n ?1

?x

2?n

? x

n?2

?
n?2

??

11 分
? Cn ? 2
1

x

n?2

? x

2?n

? Cn ? 2
2

x

n?4

? x

4?n

? ? ? Cn

n ?1

? 2

x

2?n

? x

?

12 分
? 2 Cn ? Cn ? ? ? Cn
1 2

?

n ?1

?
n ?1

? 2 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn
0 1 2

?

? Cn ? Cn ? Cn
n 0

n

?
?????

? 2 2

?

n

? 2 .

?

13 分 ∴ T ? 2 n ? 2 ,即 ? g ? x ? 1 ? ? ? ? 分
? 1? 证法 2:下面用数学归纳法证明不等式 ? x ? ? x? ?
n
n

? g

?x

n

? 1

?

? 2

n

?2 .

?????14

? n 1 ? n ? ?x ? n ? ? 2 ? 2. x ? ?

① 当 n ? 1 时,左边 ? ? x ?
?

?

? 1? 1? 1 ? ? ?x ? ? ? 0 ,右边 ? 2 ? 2 ? 0 ,不等式成 x? x? ?

立; ????? 10 分
? 1? ② 假设当 n ? k ( k ? N ) 时,不等式成立,即 ? x ? ? x? ?
*

k

? k 1 ? k ? ?x ? k ? ? 2 ? 2, x ? ?

? 1? 则 ?x ? ? x? ?

k ?1

? k ?1 1 ? ? ?x ? k ?1 ? x ? ?

k ? ? k ? ? k ?1 1 ? ?? 1? 1 ?? 1? ? k 1 ? 1 ? ?? x ? ? ?x ? ? k ?1 ? ? ? ? ? x ? k ?? ? ? x ? ? ?x ? k ? ? ?x x ? ?? x? x? ? x ?? x ? x ? ? ? ? ? ? ? k ? ? k 1 ? ?? 1? 1 ?? ? k ?1 1 ? ?? x ? ? ?x ? ? ? x ? k ?? ? ? x ? k ?1 ? ? ? x ? ?? x? x ?? x ? ? ? ? ? ?

?????11


? 2 x ? 1 x ? 2

?

k

? 2

?

? 2

x

k ?1

? x

1
k ?1

?????

第 23 页 共 24 页

12 分
? 2
k ?1

? 2.

?????13

分 也就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①②可得, ? n ? N * ,? g ? x ? 1 ? ? 对 ? ? 分
n

? g

?x

n

? 1

?

? 2

n

? 2 都成立. ???14

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