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2012全国高中数学联赛模拟题


2012 全国高中数学联赛模拟题(一) 一、填空题(共 8 小题,每题 8 分,共 64 分)

1

二、解答题(共 3 小题,共 56 分)

2

2012 全国高中数学联赛模拟题(二) 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.以 X 表示集合 X 的元素个数. 若有限集合 A, B

, C 满足 A ? B ? 20, B ? C ? 30, C ? A ? 40 , 则 A ? B ? C 的最大可能值为 2 . 设 a 是 正 实 数 . 若 f ( x) ? . a? .

x 2 ? 6ax ? 10a 2 ? x 2 ? 2ax ? 5a 2 ,x ? R 的 最 小 值 为 10 , 则

3 . 已 知 实 系 数 多 项 式 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 满 足 f (1) ? 2 , f (2) ? 4 , f (3) ? 6 , 则 f (0) ? f (4) 的所有可能值集合为 . 4 . 设 展 开 式 (5x ? 1) n ? a0 ? a1 x ? ? ? an x n,n ? 2 0 1. 1 若 a2011 ? max( 0 , a1 ,?, an ) , 则 a . n? 5. 在如图所示的长方体 ABCD ? EFGH 中, P 是矩形 EFGH 的 设 中心,线段 AP 交平面 BDE 于点 Q . 若 AB ? 3 , AD ? 2 , . 6.平面上一个半径 r 的动圆沿边长 a 的正三角形的外侧滚动,其扫 过区域的面积为 . 7.设直角坐标平面上的点 ( x, y ) 与复数 x ? y i 一一对应. 若点 A, B 分别对应复数 z , z ( z ? R ) ,则直线 AB 与 x 轴的交点对应复 数 (用 z 表示). 8.设 n 是大于 4 的偶数. 随机选取正 n 边形的 4 个顶点构造四边形, 得到矩形的概率为 . 二、解答题(第 9—10 题每题 22 分,第 11—12 题每题 21 分,共 86 分)
?1

AE ? 1 ,则 PQ ?

第5题

第6题

3

a1 ? ? ? a n ? 2 (n ? 3) ,求 an 的通项公式. 4 1 1 1 1 10.已知正整数 a1 , a2 ,?, an 都是合数,并且两两互素,求证: ? ??? ? . a1 a 2 an 2
9. 已知数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 1 , a n ? 1 ? 11.设 f ( x) ? ax3 ? bx ? c ( a, b, c 是实数) ,当 0 ? x ? 1 时, 0 ? f ( x) ? 1. 求 b 的最大可能值. 12.设点 A(?1,0),B(1,0),C (2,0) , D 在双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左支上, D ? A ,直线 CD 交双曲线

x 2 ? y 2 ? 1 的右支于点 E . 求证:直线 AD 与 BE 的交点 P 在直线 x ?

1 上. 2

解答

z?z 3 .8. . 1 ? zz (n ? 1)(n ? 3) a ? ? ? an ? 2 a a a ? 1? 1 ? an ?1 ? n ? 2 9. an ? 1 ? 1 ? an ? n?1 ? ? an?1 ? n?2 ? ? ? ? n?1 4 4 2 2? 2 ? 2 n ? 2 n ?1 a n ? 2 n ? 2 a n ?1 ? 1 ? ? ? n ? a n ? n ?1 . 2 2 10.设 ak 的最小素因子 p k ,因为 ak 不是素数,所以 ak ? pk . 于是
1. 10.2. 2. 3. {32}. 4. 2413.5.

17 .6. 4

6ar ? 4 π r 2 .7.

?a ?? p
k ?1 k k ?1

n

1

n

1
2 k

1 n 1 ? ?? 4 k ? 2 (2k ? 1) 2 ? 1 n 1 ?? 4 k ? 2 (2k ? 1) 2 ? 1 1 1 1 ? ? ? 2 4n 2

? f (0) ? c ? 11.由 ? f (1) ? a ? b ? c ? ? a b 1 ? f ( 3) ? 3 3 ? 3 ?c ?

可知

2b ? 3 3 f (

1 3

) ? f (1) ? (3 3 ? 1) f (0) ? 3 3

f ( x) ? 3 23 ( x ? x 3 ) 满足题设, b 的最大可能值为 3 2 3 .
12.设 D( x1 , y1 ),E ( x2 , y 2 ),P( x, y) ,直线 CD 的方程 y ? k ( x ? 2) ,则

x2 ? k 2 ( x ? 2)2 ? 1 ,所以
x1 ? x2 ? ?4k 2 1 ? 4k 2 5 ,x1 x2 ? ? ? ?1 ? ( x1 ? x2 ) , ① 2 2 1? k 1? k 4 y1 y2 ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) , x1 ? 1 x2 ? 1
x2 ? 2 x1 ? 2 ? x2 ? 1 x1 ? 1 2 x1 x2 ? 3x1 ? x2 。把①代入上式,得 x ? 1 . ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 3x2 ? x1 ? 4 ? x2 ? 1 x1 ? 1

y2 y ? 1 所以 x ? x2 ? 1 x1 ? 1 ? y2 y ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1

4

一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
2 1、设集合 S ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 , T ? x | x ? 2 |? 3 ,则 S ? T =(

?

?

?

?



A、 {x | ?5 ? x ? ?1}

B、 {x | ?5 ? x ? 5} C、 {x | ?1 ? x ? 1}

D 、 {x |1 ? x ? 5} )

2、正方体 ABCD ? A B1C1D1 中 BC1 与截面 BB1D1D 所成的角是( 1 A、

? 6

B、

? 4

C、

? 3

D、

? 2

3、已知 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 , g ( x) ? kx ? 1 , 则“ | k |? 2 ”是“ f ( x) ? g ( x) 在 R 上恒成立”的( ) A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形 ?1 的面积为 S1 ,作 ?1 的内切圆,再作内切圆的内接正三角形,设为 ? 2 ,面积为 S2 , 如此下去作一系列的正三角形 ?3 , ?4 ,? ,其面积相应为 S3 , S4 ,? , 设 S1 ? 1 , Tn ? S1 ? S2 ? ? ? Sn ,则 lim Tn =(
n ???



A 、

6 5

B 、

4 3

C、

3 2

D 、2

5、设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,顶点为 O , M 是抛物线上的动点,则 A 、

| MO | 的最大值为( | MF |



3 3

B 、

2 3 3

C、

4 3

D 、 3

6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半径为 r 的一个实心球, 此时球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为( ) A、 r B、 2 r C、 3 12r 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、如图,正方形 ABCD 的边长为 3, E 为 DC 的 中点, AE 与 BD 相交于 F ,则 FD ? DE 的值是 8、 ( x ? x ? ) 的展开式中的常数项是
2 6

D、 3 15r

??? ???? ?

. . (用具体数字作答)

A F

D E

1 x

(an ? 1)2 9 、 设 等 比 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 满 足 Sn ? , 则 S20 的 值 4
为 . 10、不超过 2012 的只有三个正因数的正整数个数为 . 11、已知锐角 A, B 满足 tan( A ? B) ? 2 tan A ,则 tan B 的最大值是 .

B

C

12、从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数 abcde , 满足条件“ a ? b ? c ? d ? e ”的概率是 . 三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、设函数 f ( x) ? sin x ? 3cos x ? 1 , (I)求函数 f ( x ) 在 [0,

?
2

] 上的最大值与最小值; b cos c 的值. a

(II)若实数 a, b, c 使得 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 对任意 x ? R 恒成立,求 14、已知 a, b, c ? R ,满足 abc(a ? b ? c) ? 1 , (I)求 S ? (a ? c)(b ? c) 的最小值; (II)当 S 取最小值时,求 c 的最大值.
?

15、直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1的左支交于 A 、 B 两点,直线 l 经过点 (?2, 0) 和 AB 的中点,求直线 l 在 y 轴的截距 b 的取值范围.
2 2

5

16、设函数 f n ( x) ? xn (1 ? x)2 在 [ ,1] 上的最大值为 an ( n ? 1, 2,3,? ) . (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)求证:对任何正整数 n(n ? 2) ,都有 an ?

1 2

1 成立; (n ? 2)2
7 成立. 16

(III)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求证:对任意正整数 n ,都有 S n ?

参考解答 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、 ?

6、D

3 2

8、 ?5

9、0

10、14

11、

2 4

12、

2 15
(5 分)

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、解: (I)由条件知 f ( x) ? 2sin( x ? 由0 ? x ?

?

5? 1 ? ,于是 ? sin( x ? ) ? 1 2 3 3 6 2 3 ? 1 所以 x ? 时, f ( x ) 有最小值 2 ? ? 1 ? 2 ; 2 2
知,

?

?

? x?

?

3

) ?1,

?

当x?

?

6

时, f ( x ) 有最大值 2 ?1 ? 1 ? 3 .

(10 分)

(II)由条件可知

2a sin( x ? ) ? 2b sin( x ? ? c) ? a ? b ? 1 对任意的 x ? R 恒成立, 3 3
∴ 2a sin( x ?

?

?

?

) ? 2b sin( x ? ) ? cos c ? 2b cos( x ? ) ? sin c ? (a ? b ? 1) ? 0 3 3 3

?

?

∴ 2(a ? b cos c) ? sin( x ?

?

) ? 2b sin c ? cos( x ? ) ? (a ? b ? 1) ? 0 3 3
(15 分)

?

? a ? b cos c ? 0 ? ∴ ?b sin c ? 0 , ?a ? b ? 1 ? 0 ?
由 b sin c ? 0 知 b ? 0 或 sin c ? 0 。 若 b ? 0 时,则由 a ? b cos c ? 0 知 a ? 0 ,这与 a ? b ? 1 ? 0 矛盾! 若 sin c ? 0 ,则 cos c ? 1 (舍去) cos c ? ?1 , , 解得 a ? b ?

1 b cos c , c ? (2k ? 1)? ,所以, ? ?1 . 2 a

(20 分)

2 14、解: (I)因为 (a ? c)(b ? c) ? ab ? ac ? bc ? c ? ab ? ( a ? b ? c)c ? ab ?

1 (5 分) ab

1 ? 2 ,等号成立的条件是 ab ? 1 , ab 当 a ? b ? 1, c ? 2 ?1 时, S 可取最小值 2. (II)当 S 取最小值时, ab ? 1 ,从而 c(a ? b ? c) ? 1, ? 2 ab ?
2 即 c ? (a ? b)c ?1 ? 0 ,令 t ? a ? b ,则 t ? 2 ab ? 2

(10 分) (15 分)

从而 c ?

?t ? t ? 4 ?t ? t ? 4 或者 c ? ? 0 (舍去) 2 2
2 2

6

?t ? t 2 ? 4 2 在 t ? [2, ??) 单减, ? 2 2 t ?4 ?t 所以在 t ? 2 时, c 有最大值 2 ? 1 .
故 c? 15、解:将直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1方程联立得 ? 化简得 (k 2 ?1) x2 ? 2kx ? 2 ? 0 ①

(20 分)

? y ? kx ? 1
2 2 ?x ? y ? 1

(5 分)

? ?? ? 4k 2 ? 8(k 2 ? 1) ? 0 ? 2k ? 由题设知方程①有两负根,因此 ? x1 ? x2 ? ? 2 (10 分) ? 0 ,解得 1 ? k ? 2 . k ?1 ? 2 ? ? x1 ? x2 ? k 2 ? 1 ? 0 ? 2k 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ? ? 2 , k ?1 2k 2 2 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? ? 2 ?2?? 2 k ?1 k ?1 k 1 ,? ), 故 AB 的中点为 (? 2 k ?1 k 2 ?1 ?1 ?2 ( x ? 2) ,其在 y 轴的截距 b ? 2 所以直线 l 方程为 y ? , (15 分) 2 2k ? k ? 2 2k ? k ? 2 1 2 17 2 当 1 ? k ? 2 时, 2k ? k ? 2 ? 2(k ? ) ? ,其取值范围是 (?1, 2 ? 2) 4 8 ?2 所以 b ? 的取值范围是 (??, ?2 ? 2) ? (2, ??) . (20 分) 2 2k ? k ? 2
16、解: (I) fn' ( x) ? nxn?1 (1 ? x)2 ? 2xn (1 ? x) ? xn?1 (1 ? x)[n(1 ? x) ? 2x] , 当 x ? [ ,1] 时,由 fn' ( x) ? 0 知 x ? 1 或者 x ? 当 n ? 1 时,

1 2

n , n?2

(5 分)

n 1 1 1 1 1 ? ? [ ,1] ,又 f1 ( ) ? , f n (1) ? 0 ,故 a1 ? ; n?2 3 2 2 8 8 n 1 1 1 1 1 ? ? [ ,1] ,又 f 2 ( ) ? 当 n ? 2 时, , f n (1) ? 0 ,故 a2 ? ; n?2 2 2 2 16 16 n 1 ? [ ,1] , 当 n ? 3 时, n?2 2 1 n n ) 时, fn' ( x) ? 0 ; x ? ( ,1) 时, fn' ( x) ? 0 ; ∵ x ?[ , 2 n?2 n?2 n n n 2 2 4nn x? ∴ f n ( x) 在 处取得最大值,即 an ? ( ) ( ) ? n?2 n?2 n?2 (n ? 2)n? 2

?1 ? 8 ,(n ? 1) ? 综上所述, an ? ? . n ? 4n ,(n ? 2) ? (n ? 2) n?2 ?
2 n 4nn 1 ,只需证明 (1 ? ) ? 4 ? n?2 2 n (n ? 2) (n ? 2) 2 n 21 2 2 2 n 0 1 2 n ∵ (1 ? ) ? Cn ? Cn ? ( ) ? Cn ? ( ) ? ? ? Cn ? ( ) n n n n
(II)当 n ? 2 时,欲证
7

(10 分)

n(n ? 1) 4 ? 2 ? 1? 2 ?1 ? 4 2 n 1 所以,当 n ? 2 时,都有 an ? 成立. (15 分) (n ? 2)2 (III)当 n ? 1, 2 时,结论显然成立; 1 1 ? a3 ? a4 ? ? ? an 当 n ? 3 时,由(II)知 S n ? ? 8 16 1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ??? 8 16 5 6 (n ? 2) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 8 16 4 5 5 6 n ?1 n ? 2 1 1 1 7 ? ? ? ? . 8 16 4 16 7 所以,对任意正整数 n ,都有 S n ? 成立. (20 分) 16 ? 1? 2 ?
2012 全国高中数学联赛模拟题(三) 试 题

8

9

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