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初中尺规作图典型例题归纳总结


初中尺规作图典型例题归纳
典型例题一
例 分析 已知线段 a、b,画一条线段,使其等于 a ? 2b . 所要画的线段等于 a ? 2b ,实质上就是 a ? b ? b .

画法:1.画线段 AB ? a .2.在 AB 的延长线上截取 BC ? 2b .线段 AC 就是所画的 线段. 说明 1.尺规作图要保留画图痕迹,画图时画出的所有

点和线不可随意擦去. 2.其它作图都可以通过画基本作图来完成,写画法时,只需用一句话来概括叙述基本 作图.

典型例题二
例 如下图,已知线段 a 和 b,求作一条线段 AD 使它的长度等于 2a-b.

错解 如图(1) , (1)作射线 AM; (2)在射线 AM 上截取 AB=BC=a,CD=b,则线段 AD 即为所求. 错解分析 主要是作图语言不严密,当在射线上两次截取时,要写清是否顺次,而在 求线段差时,要交待截取的方向.

图(1) 图(2) 正解 如图(2) , (1)作射线 AM; (2)在射线 AM 上,顺次截取 AB=BC=a; (3)在线段 CA 上截取 CD=b,则线段 AD 就是所求作的线段.

典型例题三
例 求作一个角等于已知角∠MON(如图 1) .

图(1)

图(2)

错解

如图(2) ,

(1)作射线 O1 M 1 ; (2)在图(1) ,以 O 为圆心作弧,交 OM 于点 A,交 ON 于点 B; (3)以 O1 为圆心作弧,交 O1 M 1 于 C; (4)以 C 为圆心作弧,交于点 D; (5)作射线 O1 D . 则∠ CO1 D 即为所求的角. 错解分析 作图过程中出现了不准确的作图语言,在作出一条弧时,应表达为:以某 点为圆心,以其长为半径作弧. 正解 如图(2) , (1)作射线 O1 M 1 ; (2)在图(1)上,以 O 为圆心,任意长为半径作弧,交 OM 于点 A, 交 ON 于点 B; (3)以 O1 为圆心,OA 的长为半径作弧,交 O1 M 1 于点 C; (4)以 C 为圆心,以 AB 的长为半径作弧,交前弧于点 D; (5)过点 D 作射线 O1 D . 则∠ CO1 D 就是所要求作的角.

典型例题四
例 如下图,已知∠α 及线段 a,求作等腰三角形,使它的底角为α ,底边为 a.

分析 先假设等腰三角形已经作好, 根据等腰三角形的性质, 知两底角∠B=∠C=∠α , 底边 BC=a,故可以先作∠B=∠α ,或先作底边 BC=a. 作法 如下图

(1)∠MBN=∠α ; (2)在射线 BM 上截取 BC=a; (3)以 C 为顶点作∠PCB=∠α ,射线 CP 交 BN 于点 A.△ABC 就是所要求作的等腰三角形. 说明 画复杂的图形时,如一时找不到作法,一般是先画出一个符合条件的草图,再 根据这个草图进行分析,逐步寻找画图步骤.

典型例题五
例 如图(1) ,已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C,过点 C 作 CD∥AB(写出作法,画 出图形) .

分析 即可. 作法

根据两直线平行的性质,同位角相等或内错角相等,故作一个角∠ECD=∠EFB 如图(2) .

图(1) 图(2) (1)过点 C 作直线 EF,交 AB 于点 F; (2)以点 F 为圆心,以任意长为半径作弧,交 FB 于点 P,交 EF 于点 Q; (3)以点 C 为圆心,以 FP 为半径作弧,交 CE 于 M 点; (4)以点 M 为圆心,以 PQ 为半径作弧,交前弧于点 D; (5)过点 D 作直线 CD,CD 就是所求的直线. 说明 作图题都应给出证明,但按照教科书的要求,一般不用写出,但要知道作图的原由.

典型例题六
例 如下图,△ABC 中,a=5cm,b=3cm,c=3.5cm,∠B= 36 ? ,∠C= 44 ? ,请你从中 选择适当的数据,画出与△ABC 全等的三角形(把你能画的三角形全部画出来,不写画法 但要在所画的三角形中标出用到的数据) .

分析 本题实质上是利用原题中的 5 个数据,列出所有与△ABC 全等的各种情况,依 据是 SSS、SAS、AAS、ASA. 解 与△ABC 全等的三角形如下图所示.

典型例题七
例 正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化.拟从点 A 出发, 将△ABC 分成面积相等的三个三角形,以便种上三种不同的花草,请你帮助规划出图案(保 留作图痕迹,不写作法) .

(2003 年,桂林) 分析 这是尺规作图在生活中的具体应用.要把△ABC 分成面积相等的三个三角形, 且都是从 A 点出发,说明这三个三角形的高是相等的,因而只需这三个三角形的底边也相 等,所以只要作出 BC 边的三等分点即可. 作法 如下图,

找三等分点的依据是平行线等分线段定理.

典型例题八
例 已知∠AOB,求作∠AOB 的平分线 OC. 错解 如图(1) 作法 (1)以 O 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 OA、OB 于 D、E 两点; (2)分别以 D、E 为圆心,以大于

1 DE 的长为半径作弧,两弧相交于 C 点; 2

(3)连结 OC,则 OC 就是∠AOB 的平分线.

错解分析 对角平分线的概念理解不够准确而致误.作法(3)中连结 OC,则 OC 是 一条线段,而角平分线应是一条射线.

图(1)

图(2)

正解 如图(2) (1)以点 O 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 OA、OB 于 D、E 两点; (2)分别以 D、E 为圆心,以大于

1 DE 的长为半径作弧,两弧交于 C 点; 2

(3)作射线 OC,则 OC 为∠AOB 的平分线.

典型例题九
例 如图(1)所示,已知线段 a、b、h(h<b) . 求作△ABC,使 BC=a,AB=b, BC 边上的高 AD=h.

图(1) 错解 如图(2) , (1)作线段 BC=a; (2)作线段 BA=b,使 AD⊥BC 且 AD=h. 则△ABC 就是所求作的三角形. 错解分析 ①不能先作 BC;②第 2 步不能同时满足几个条件,完全凭感觉毫无根据; ③未考虑到本题有两种情况. 对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图, 如本 题先作高 AD,再作 AB,最后确定 BC.

图(2) 图(3) 正解 如图(3) . (1)作直线 PQ,在直线 PQ 上任取一点 D,作 DM⊥PQ; (2)在 DM 上截取线段 DA=h; (3)以 A 为圆心,以 b 为半径画弧交射线 DP 于 B; (4)以 B 为圆心,以 a 为半径画弧,分别交射线 BP 和射线 BQ 于 C1 和 C 2 ;

(5)连结 AC1 、 AC2 ,则△ ABC1 (或△ ABC2 )都是所求作的三角形.

典型例题十
例 如下图,已知线段 a,b,求作 Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=a,AC=b(用直尺 和圆规作图,保留作图痕迹) . 分析 本题解答的关键在于作出∠ACB=90°, 然后确定 A、 B 两点的位置, 作出△ABC.

作法

如下图

(1)作直线 MN: (2)在 MN 上任取一点 C,过点 C 作 CE⊥MN; (3)在 CE 上截取 CA=b,在 CM 上截取 CB=a; (4)连结 AB,△ABC 就是所求作的直角三角形. 说明 利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序. 若把握 不好作图顺序,要先画出假设图形.

典型例题十一
例 如下图,已知钝角△ABC,∠B 是钝角.

求作: (1)BC 边上的高; (2)BC 边上的中线(写出作法,画出图形) . 分析 (1)作 BC 边上的高,就是过已知点 A 作 BC 边所在直线的垂线; (2)作 BC 边上的中线,要先确定出 BC 边的中点,即作出 BC 边的垂直平分线. 作法 如下图

(1)①在直线 CB 外取一点 P,使 A、P 在直线 CB 的两旁; ②以点 A 为圆心,AP 为半径画弧,交直线 CB 于 G、H 两点;

③分别以 G、H 为圆心,以大于

1 GH 的长为半径画弧,两弧交于 E 点; 2
1 BC 的长为半径画弧,两弧分别交于 M、N 两点; 2

④作射线 AE,交直线 CB 于 D 点,则线段 AD 就是所要求作的△ABC 中 BC 边上的高. (2)①分别以 B、C 为圆心,以大于

②作直线 MN,交 BC 于点 F; ③连结 AF,则线段 AF 就是所要求作的△ABC 中边 BC 上的中线. 说明 在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时,首先要把握好高线、中 线、角平分钱是三条线段;其次,高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点, 而关键是找出另一个端点.

典型例题十二
例 如图(1)所示,在图中作出点 C,使得 C 是∠MON 平分线上的点,且 AC=OC.

图(1) 图(2) 分析 由题意知,点 C 不仅要在∠MON 的平分线上,且点 C 到 O、A 两点的距离要相 等,所以点 C 应是∠MON 的平分线与线段 OA 的垂直平分线的交点. 作法 如图(2)所示 (1)作∠MON 的平分线 OP; (2)作线段 OA 的垂直平分线 EF,交 OP 于点 C,则点 C 就是所要求作的点. 说明(1)根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等,还是到各端点距离相等. (2)两条直线交于一点.

典型例题十三
例 如下图,已知线段 a、b、∠α 、∠β . 求作梯形 ABCD,使 AD=a,BC=b,AD∥BC,∠B=∠α ;∠C=∠β .

分析 假定梯形已经作出,作 AE∥DC 交 BC 于 E,则 AE 将梯形分割为两部分,一部 分是△ABE,另一部分是 AECD.在△ABE 中,已知∠B=∠α ,∠AEB=∠β ,BE=b-a, 所以,可以首先把它作出来,而后作出 AECD. 作法 如下图.

(1)作线段 BC=b; (2)在 BC 上截取 BE=b-a ; (3)分别以 B、E 为顶点,在 BE 同侧作∠EBA=∠α ,∠AEB=∠β ,BA、EA 交于 A; (4)以 EA、EC 为邻边作 AECD. 四边形 ABCD 就是所求作的梯形. 说明 基本作图是作出较简单图形的基础,三角形是最简单的多边形,它是许多复杂 图形的基础.因此,要作一个复杂的图形,常常先作一个比较容易作出的三角形,然后以此 为基础,再作出所求作的图形.

典型例题十四
例 如下图,在一次军事演习中,红方侦察员发现蓝方指挥部在 A 区内,到铁路与公 路的距离相等,且离铁路与公路交叉处 B 点 700 米,如果你是红方的指挥员,请你在图示 的作战图上标出蓝方指挥部的位置.

(2002 年,青岛) 分析 依据角平分线的性质可以知道,蓝方指挥部必在 A 区内两条路所夹角的平分线 上,然后由蓝方指挥部距 B 点的距离,依据比例尺,计算出图上的距离为 3.5cm,就可以确 定出蓝方指挥部的位置. 解 如下图,图中 C 点就是蓝方指挥部的位置.

典型例题十五
例 如图(1) ,已知有公共端点的线段 AB、BC.求作⊙O,使它经过点 A、B、C(要 求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) . (2002 年,大连)

图(1) 图(2) 分析 因为 A、B、C 三点在⊙O 上,所以 OA=OB=OC=R.根据到线段 AB、BC 各端点 距离相等的点在线段的垂直平分线上,故分别作线段 AB、BC 垂直平分线即可. 解 如图(2) 说明 角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的 又一道风景,它往往与实际问题紧密联系在一起.

典型例题十六
例 如图,是一块直角三角形余料, ?C ? 90? .工人师傅要把它加工成一个正方形零 件,使 C 为正方形的一个顶点,其余三个顶点分别在 AB、BC、AC 边上.试协助工人师傅 用尺规画出裁割线.

分析 要作出符合条件的正方形,可先作出有三个角为 90°的四边形,并设法让相邻 的一组边相等即可. 作法 如图.

① 作 ?ACB 的角平分线 CD,交 AB 于点 G; ②过 G 点分别作 AC、BC 的垂线,垂足为 E、F.则四边形 ECFG 就是所要求作的正方形.


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