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2014高三数学一轮复习课件--不等式选讲(选修4—5)


目 录
不等式选讲[选修4-5] 第一节 绝对值不等式

第二节

不等式的证明

不等式选讲[选修4-5]

[知识能否忆起]

一、绝对值三角不等式 1.定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤ |a|+|b| ,

当且仅当 ab≥0 时,等号成立.
2.定理2:如果a,b,c是实数,那么 |a-c|≤ |a-b|+|b-c|,当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时, 等号成立.

二、绝对值不等式的解法

1.不等式|x|<a与|x|>a的解集:
不等式 |x|<a |x|>a a>0 {x|-a<x<a} a=0 ? a<0 ? R

{x|x>a,或x<-a} {x|x≠0}

2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:

(1)|ax+b|≤c?

-c≤ax+b≤c


.

(2)|ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c

(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解

法:
方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结 合的思想;

方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数 与方程的思想.

[小题能否全取]
1.(教材习题改编)函数 y=|x+1|+|x+3|的最小值 为________.

解析:由|x+1|+|x+3|≥|(x+1)-(x+3)|=2, ∴ymin=2.

答案:2

2.(教材习题改编)不等式|2x-1|<x+1 的解集为________.

解析:∵|2x-1|<x+1, 即-(x+1)<2x-1<x+1,
?2x-1>-x-1, ? ∴? ?2x-1<x+1, ? ?x>0, ? 即? ?x<2, ?

∴解集为{x|0<x<2}.
答案:{x|0<x<2}

3.(2012· 肇庆模拟)|x|2-2|x|-15>0 的解集是________.

解析:∵|x|2-2|x|-15>0, ∴|x|>5 或|x|<-3(舍去), ∴x<-5 或 x>5.

答案:(-∞,-5)∪(5,+∞)

4.若存在实数 x 满足不等式|x-4|+|x-3|<a,则实数 a 的 取值范围是________.
解析:由绝对值不等式的性质知,|x-4|+|x-3|≥|(x -4)-(x-3)|=1, 所以函数 y=|x-4|+|x-3|的最小值为 1, 又因为原不等式有实数解,所以 a 的取值范围是(1, +∞).
答案:(1,+∞)

5.(2012· 湖南高考)不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集 为________.

解析:原不等式即|2x+1|>2|x-1|,两端平方后解得 1 12x>3,即 x> . 4
? ? 1? ? ? ?x?x> ? 答案:? ? ? ? 4?

1.不等式|x-a|+|x-b|≥c的解就是数轴上到A(a),B(b)

两点的距离之和不小于c的点所对应的实数,只要在数轴上
确定出具有上述特点的点的位置,就可以得出不等式的解. 2.不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条 件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式 |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≤0,左

侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.

绝对值不等式的解法

[例1] (2012· 新课标全国卷)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;

(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

[ 自 主 解 答 ] ?-2x+5,x≤2, ? ?1,2<x<3, ?2x-5,x≥3. ?

(1) 当 a = - 3 时 , f(x) =

当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4; 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1,或 x≥4}.

(2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a| ?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0].

在本例条件下,若 f(x)≥3 对一切实数 x 恒成立,求 a 的取值范围.
解:∵f(x)=|x+a|+|x-2|, ∴f(x)≥|(x+a)-(x-2)|=|a+2|. 由条件知|a+2|≥3,即 a+2≥3 或 a+2≤-3, ∴a≥1 或 a≤-5. 即 a 的取值范围为(-∞,-5]∪[1,+∞).

形如|x-a|±|x-b|≥c不等式的常用解法:

(1)零点分段讨论法,其步骤为:
①求零点;②划分区间、去绝对值号;③分别解去掉绝 对值的不等式;④取每个结果的并集,特别注意在分段时不 要漏掉区间的端点值. (2)用|x-a|±|x-b|的几何意义求解. (3)数形结合,作出y=|x-a|±|x-b|的图象,直观求解.

1.已知函数 f(x)=|x-8|-|x-4|.

(1)作出函数y=f(x)的图象;

(2)解不等式|x-8|-|x-4|>2.

x≤4, ?4, ? 解:(1)f(x)=?-2x+12, 4<x≤8, ?-4, x>8, ? 图象如下:

(2)不等式|x-8|-|x-4|>2,即 f(x)>2. 由-2x+12=2,得 x=5. 由函数 f(x)图象可知,原不等式的解集为(-∞,5).

绝对值三角不等式的应用

[例2] -3|+a.

(2012· 延边质检)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x

(1)当a=0时,解不等式f(x)≥6;
(2)若不等式f(x)≥3a2对一切实数x恒成立时,求实数a 的取值范围.

[自主解答]

(1)当 a=0 时,求得

? ?-4x+2,x<-1, 2 ? ? 1 3 f(x)=?4,-2≤x≤2, ? ? 3 ?4x-2,x>2, ? 由 f(x)≥6?x≤-1 或 x≥2. 所以不等式的解集是(-∞,-1]∪[2,+∞).

1 ? ?-4x+2+a,x<- , 2 ? ? 1 3 (2)法一:f(x)=?4+a,-2≤x≤2, ? ? 3 ?4x-2+a,x>2 ?

的最小值是 4+a.

要使不等式 f(x)≥3a2 恒成立,只要 4+a≥3a2,
? 4? 4 解得-1≤a≤ .所以 a 的取值范围是?-1,3?. 3 ? ?

法二:因为|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4. 所以 f(x)min=4+a, 要使 f(x)≥3a2 对一切实数 x 恒成立,只要 4+a≥3a2,
? 4? 4 解得-1≤a≤ .所以 a 的取值范围为?-1,3?. 3 ? ?

对于求 y=|x-a|+|x-b|或 y=|x+a|-|x-b|型的最 值问题,利用绝对值不等式的性质更方便.形如 y=|x -a|+|x-b|的函数只有最小值,形如 y=|x-a|-|x-b| 的函数既有最大值又有最小值.

2.(2012· 长春模拟)设函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R.

(1)解不等式 f(x)≤5;
1 (2)若 g(x)= 的定义域为 R, 求实数 m 的取值范围. f?x?+m

? 1 ?x< , 解 : (1) 原 不 等 式 等 价 于 ? 2 ?4-4x≤5 ?

3 ?1 ? ≤x≤ , 2 或 ?2 ?2≤5 ?



? 3 ?x> , ? 1 9? ? 2 因此不等式的解集为?-4,4?. ? ? ?4x-4≤5, ? 1 (2)由于 g(x)= 的定义域为 R, f(x)+m=0 在 R 上 则 f?x?+m

无解. 又 f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2,f(x)的最小 值为 2, 所以-m<2,即 m>-2,m 的取值范围为(-2,+∞).

绝对值不等式的证明

[例 3]

(2012· 长春调研)已知 f(x)= 1+x2,a≠b,求

证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.

[自主解答]

证明:∵|f(a)-f(b)|=| 1+a2- 1+b2|

|a2-b2| |a-b||a+b| = 2 2= 2 2, 1+a + 1+b 1+a + 1+b 又|a+b|≤|a|+|b|= a2+ b2< 1+a2+ 1+b2, |a+b| ∴ 2 2<1. 1+a + 1+b ∵a≠b,∴|a-b|>0. ∴|f(a)-f(b)|<|a-b|.

含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较 简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值

符号转化为常见的不等式证明题,或利用绝对值不等式
性质:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明; 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往 可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想, 或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.

3.设函数 f(x)=x2-2x,实数 a 满足|x-a|<1. 求证:|f(x)-f(a)|<2|a|+3.

证明:法一:∵f(x)=x2-2x, ∴|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a| =|(x-a)· (x+a-2)| =|x-a||x+a-2|<|x+a-2| =|(x-a)+2a-2|

≤|x-a|+|2a-2|<1+2|a|+2=2|a|+3, ∴|f(x)-f(a)|<2|a|+3. 法二:|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a| =|x-a|· |x+a-2|<|x+a-2|≤|x|+|a-2| ≤|x|+|a|+2<|a|+1+|a|+2=2|a|+3. (∵|x-a|<1,∴|x|-|a|<1,即|x|<|a|+1) ∴|f(x)-f(a)|<2|a|+3.

[知识能否忆起] 一、比较法 (1)求差比较法: 知道a>b?a-b>0,a<b?a-b<0,因此要证明a

>b,只要证明 a-b>0 即可,这种方法称为求差比较
法.

(2)求商比较法: a 由 a>b>0?b>1 且 a>0,b>0,因此当 a>0,b>0 a 时要证明 a>b,只要证明 b>1 即可,这种方法称为求商
比较法.

二、分析法 从所要证明的 结论 出发,逐步寻求使它成立的充分 条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实, 从而得出要证的命题成立,这种证明方法称为分析法,

即“执果索因”的证明方法.

三、综合法
从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等, 经过一系列的推理,论证而得出命题成立,这种证明方法 称为综合法即“由因寻果”的方法. 四、放缩法 在证明不等式时,有时我们要把所证不等式中的某些 部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目

的.这种方法称为放缩法.

五、反证法的步骤

(1)作出否定 结论 的假设;
(2)进行推理,导出 矛盾 ; (3)否定 假设 ,肯定结论 . 六、柯西不等式的二维形式
(1)柯西不等式的代数形式:设 a1,a2,b1,b2 均为实数, (a1b1+a2b2)2 (当且仅当 a b =a b 时, 2 2 2 2 则(a +a )(b +b )≥
1 2 1 2 1 2 2 1

等号成立).

(2)柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个 向量,则|α||β|≥|α·β|.
(3)三角形不等式:设 x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,那 么 ?x1-x2?2+?y1-y2?2 + ?x2-x3?2+?y2-y3?2 ≥

?x1-x3?2+?y1-y3?2.

七、柯西不等式的一般形式
设 n 为大于 1 的自然数,ai,bi(i=1,2,...,n)为任意
n b1 b2 2 n 2 2 实数,则∑ai i∑bi ≥(∑aibi) ,其中等号当且仅当 = =? =1 i=1 i=1 a1 a2 n

bn =a 时成立(当 ai=0 时,约定 bi=0,i=1,2,?,n). n

八、算术——几何平均不等式
a1+a2+?+an n ≥ a1a2?an.(a1,a2,?,an∈R+) n

[小题能否全取]
1 16x 1.(教材习题改编)若 x>1,则函数 y=x+x+ 2 的最小 x +1 值为________.
1 16x 1 16 解析:y=x+x+ 2 =x+x+ ≥2 16=8, 1 x +1 x+x 当且仅当 x=2+ 3时等号成立.

答案:8

a+ b 2. (教材习题改编)已知 a, 是不相等的正数, b x= , 2 a+b y= .则 x,y 的大小关系是________, 2 1 1 2 2 解析:∵x = ( a+ b) = (a+b+2 ab) 4 4

1 1 1 y = (a+b)= (a+b+a+b)≥ (a+b+2 ab). 2 4 4
2

又 x>0,y>0,且 x≠y,∴y2>x2,y>x.

答案:y>x

1 1 1 1 1 1 3.已知 a,b,c∈R+,则a+b+c与 + + 的大小 ab bc ac 关系是________________.
1 1 解析:因为a+b≥2 1 1 a+c ≥2 1 ab, 1 1 1 ab,b+ c ≥2 1 bc,

1 1 1 1 1 1 三式相加可得a+b+c ≥ + + . ab bc ac

1 1 1 1 1 1 答案:a+b+ c≥ + + . ab bc ac

4 4.已知关于 x 的不等式 x+ ≥3,在 x∈(a,+∞)上恒 x-a 成立,则实数 a 的最小值为________.

4 4 解析:∵x+ =x-a+ +a≥2 4+a=4+a, x-a x-a ∴a+4≥3,∴a≥-1.

答案:-1

1 1 1 5.A=1+ + +?+ 与 n(n∈N*)的大小关系 2 3 n 为________.
解析:当 n=1 时,A= n, 1 1 1 当 n>1 时,A=1+ + +?+ 2 3 n

? ? ??? = ? n n n ?????n n ????? n ?
综上可知,A≥ n.

1

1

1

1

n

答案:A≥

n

1.综合法与分析法的内在联系
综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单、条理 清楚.当问题比较复杂时,通常把分析法和综合法结合起 来使用,用分析法寻找证明的思路,而用综合法叙述、表 达整个证明过程.

2.放缩法证明不等式的主要理论依据
(1)不等式的传递性; (2)等量加不等量为不等量; (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.

[注意]

放缩要适度,“放”和“缩”的方向与

“放”和“缩”的量的大小是由题目分析,多次尝试得 出. 3.柯西不等式的形式特点 从形式结构上看,柯西不等式大的一边是两个向量

的模平方之积的形式,小的一边是向量数量积的坐标运
算的平方形式,可简记为“方和积不小于积和方”.

比较法证明不等式

[例1]

(2012· 唐山模拟)已知f(x)=|x+1|+|x-1|,

不等式f(x)<4的解集为M.

(1)求M;
(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.

[自主解答]

(1)f(x)=|x+1|+|x-1|

?-2x,x<-1, ? =?2,-1≤x≤1, ?2x,x>1. ? 当 x<-1 时,由-2x<4,得-2<x<-1; 当-1≤x≤1 时,f(x)=2<4; 当 x>1 时,由 2x<4,得 1<x<2. 所以 M=(-2,2).

(2)证明:a,b∈M,即-2<a<2,-2<b<2, ∴4(a+b)2-(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+ a2b2)=(a2-4)(4-b2)<0, ∴4(a+b)2<(4+ab)2, ∴2|a+b|<|4+ab|.

比较法证明不等式最常用的是作差法,其基本步骤 是:①作差;②变形;③判断差的符号;④下结论.其

中“变形”是关键,通常将差变形成因式乘积的形式或
平方和的形式,再结合不等式的性质判断正负.

a+b 1.求证:当 a,b∈(0,+∞)时,a b ≥(ab) . 2 a-b b-a ?a?a-b aabb 证明: =a b =?b? , 2 2 a+b ? ? 2 ?ab? 2
a b

当 a=b

?a?a-b 时,?b? =1. 2 ? ?

?a?a-b a-b a 当 a>b>0 时,b>1, >0,则?b? >1. 2 2 ? ? ?a?a-b a-b a 当 b>a>0 时,0<b<1, <0,则?b? >1. 2 ? ? 2

a+b 综上可知, 当 a, b∈(0, +∞)时, b ≥(ab) a 成立. 2
a b

综合法、分析法证明不等式

[例 2]

(1)(2012· 南通模拟)已知 x,y 均为正数,且

1 x>y,求证:2x+ 2 2≥2y+3; x -2xy+y
(2)设 a, c>0 且 ab+bc+ca=1, b, 求证: a+b+c≥ 3.

[自主解答]

证明:

(1)因为x>0,y>0,x-y>0,2x

1 1 + 2 -2y=2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+ x -2xy+y2 ?x-y?2 3 1 1 2 ?x-y? 2≥3 2=3, ?x-y? ?x-y? 1 所以2x+ 2 ≥2y+3. x -2xy+y2

(2)因为 a,b,c>0,所以要证 a+b+c≥ 只需证明(a+b+c)2≥3. 即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3, 而 ab+bc+ca=1,

3,

故需证明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca). 即证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca. a2+b2 b2+c2 c2+a2 而 ab+bc+ca≤ + + 2 2 2 =a2+b2+c2(当且仅当 a=b=c 时等号成立)成立. ∴原不等式成立.

在本例(2)的条件下证明: a bc+
证明:∵

b ac+ a bc+

c ab≥ 3( a+ b+ c). b c a+b+c ac+ ab= abc ,
3, b+ c,

又本例(2)已证a+b+c≥ 1 ∴只需证明 ≥ abc a+

即证明a bc+b ac+c ab≤ab+bc+ca, ab+ac ab+bc ac+bc 而a bc= ab· ac≤ ,b ac≤ ,c ab≤ , 2 2 2 ∴a bc+b ac+c ab≤ab+bc+ca成立,∴原不等式成立.

分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能 使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系, 较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证 明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可 逆.

1 1 1 1 1 1 2.设 a,b,c 均为正数,求证: + + ≥ + + . 2a 2b 2c b+c c+a a+b 证明:∵a,b,c 均为正数,
1? 1 1 ? 1 1 ∴ ?2a+2b?≥ ≥ ,当 a=b 时等号成立; 2? ? 2 ab a+b 1? 1 1 ? 1 1 ? + ?≥ ≥ ,当 b=c 时等号成立; 2?2b 2c? 2 bc b+c 1? 1 1 ? 1 1 ? + ?≥ ≥ ,当 a=c 时等号成立. 2?2c 2a? 2 ca c+a 三个不等式相加即得 a=b=c 时等号成立. 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + ,当且仅当 2a 2b 2c b+c c+a a+b

放缩法证明不等式

[例 3]

(2012· 江苏高考)已知实数 x,y 满足:|x+y|

1 1 5 < ,|2x-y|< ,求证:|y|< . 3 6 18

[自主解答]证明:因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x- y)|≤2|x+y|+|2x-y|, 1 1 由题设知|x+y|< ,|2x-y|< , 3 6 2 1 5 从而3|y|< + = , 3 6 6 5 所以|y|< . 18

1.在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的推证技 巧.常见的放缩变换有:
1 1 1 1 1 (1)变换分式的分子和分母, 2< 如 , > , k k?k-1? k2 k?k+1? k 1 2 < , > .上面不等式中 k∈N*,k>1; k k+ k-1 k+ k+1 2

(2)利用函数的单调性;

a a+m (3)真分数性质“若 0<a<b,m>0,则b< ”. b+m 2.在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度

|a+b| |a| 3.(2012· 临沂模拟)若 a,b∈R,求证: ≤ 1+|a+b| 1+|a| |b| + . 1+|b|

证明:当|a+b|=0 时,不等式显然成立.当|a+b|≠0 时, 1 1 由 0<|a+b|≤|a|+|b|? ≥ , |a+b| |a|+|b| |a+b| |a|+|b| 1 1 |a| 所以 = ≤ = ≤ 1 1 1+|a+b| 1+|a|+|b| 1+|a| +1 1+ |a+b| |a|+|b| |b| + . 1+|b|

[例4]

(2012·福建高考)已知函数f(x)=m-|x

-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].

(1)求m的值;
1 1 1 (2)若 a,b,c∈R+,且a+ + =m,求证:a+2b+ 2b 3c 3c≥9.

[自主解答] 于|x|≤m,

(1)因为 f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0 等价

由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. 1 1 1 (2)证明:由(1)知a+ + =1,又 a,b,c∈R+,由柯 2b 3c 西 不 等 式 得 a + 2b + 3c = (a + 2b + 3c)
? ≥? ? ? ?1 1 1? ? + + ? ?a 2b 3c ?

1 1 1 ?2 a· + 2b· + 3c· ? =9. a 2b 3c? ?

1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符 合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边 具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明. 2.利用柯西不等式求最值的一般结构为:
1 1 2 2 2 ?1 (a1+a2+?+an) a2+a2+?+a2 ?≥(1+1+?+1)2= ? 1 2 n? n2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号 成立的条件.
? ?

4.已知 x,y,z 均为实数,

(1)若 x+y+z=1, 求证: 3x+1+ 3y+2+ 3z+3≤3 3;
(2)若 x+2y+3z=6,求 x2+y2+z2 的最小值.
解:(1)证明:因为( 3x+1+ 3y+2+ 3z+3)2 ≤(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27, 所以 3x+1+ 3y+2+ 3z+3≤3 3, 2 1 当且仅当 x= ,y= ,z=0 时取等号. 3 3

(2)因为(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2=36, 18 即 14(x +y +z )≥36,x +y +z ≥ , 7
2 2 2 2 2 2

3 6 9 当且仅当 x= ,y= ,z= 时取等号. 7 7 7 所以 x2+y2+z2 的最小值为 18 . 7



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