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江苏省南京市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题


南京市 2015-2016 学年度第一学期期末学情调研

高 一 数 学
注意事项:

2016.01

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本 试卷满分为 100 分,考试时间为 100 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级

、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案 ... 写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. ....... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.函数 f (x)= 1 的定义域是 x–3 ▲ . ▲ . ▲ cm2. ▲ . .

2.集合{0,1}的子集的个数为 3.求值:log345-log35= ▲

4.已知角? 的终边经过点 P(2,-1),则 sin? 的值为

5.已知扇形的半径为 3cm,圆心角为 2 弧度,则扇形的面积为 ? ? 6.函数 f (x)=cos (x- ),x?[0, ]的值域是 3 2 ▲ . ▲

7. 三个数 a=0.32, b=log20.3, c=20.3 之间的大小关系是 连结) .

(用 a, b, c 表示, 并用“<”

? 8.将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位长度,所得图象的函数解析式是 6
D F


C E



9.如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB=3,AD=2, → → → 1→ → → 且 BE = EC , DF = FC ,则 AE · BF = 2 ▲ .
A (第 9 题)

B

3 10.已知函数 f (x)= -log2x 的零点为 x0,若 x0?(k,k+1),其中 k 为整数,则 k= x





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?ex, x≤0, 1 11.已知函数 f (x)=? 其中 e 为自然对数的底数,则 f [f( )]= 2 ln x , x > 0 , ?





12.已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)在区间[0,+?)上是单调增函数,且 f (lgx)<f (1), 则 x 的取值范围是 ▲


. ▲ .

13.若函数 f (x)=m· 4x-3×2x 1-2 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的取值范围是

? 14.若函数 f (x)=sin(ωx+ ) (ω>0)?在区间[0,2?]上取得最大值 1 和最小值-1 的 x 的值均 3 唯一,则 ω 的取值范围是 ▲ .

........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 8 分) 4 ? 已知 sin x= ,其中 0≤x≤ . 5 2 (1)求 cos x 的值; cos(-x) (2)求 的值. ? sin( 2-x) -sin(2? - x)

16. (本小题满分 10 分) 已知向量 a=(2,-1),b=(3,-2),c=(3,4) . (1)求 a·(b+c); (2)若(a+?b)∥c,求实数?的值.

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17. (本小题满分 10 分) 经市场调查,某商品在过去 20 天的日销售量和日销售价格均为销售时间 t(天)的函数,日 销售量(单位:件)近似地满足:f (t)=-t+30(1≤t≤20,t?N*),日销售价格(单位:元)近似地
?2t + 40,1≤t≤10,t?N*, 满足:g(t)= ? 11≤t≤20,t?N*. ?15,

(1)写出该商品的日销售额 S 关于时间 t 的函数关系; (2)当 t 等于多少时,日销售额 S 最大?并求出最大值.

18. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) = A sin( ? x + ? ) ( A > 0 , ? > 0 , 0 < ? < 2 ? )的部分图象如图所示, 5? 且 f (0)=f ( ). 6 (1)求函数 f (x)的最小正周期; (2)求 f (x)的解析式,并写出它的单调增区间.
O ? 6 –2 (第 18 题)


y

5? 6



x

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19. (本小题满分 10 分) 已知| a |= 10,| b |= 5,a· b=-5,c=x a+(1-x) b. (1)当 b ? c 时,求实数 x 的值; (2)当| c |取最小值时,求向量 a 与 c 的夹角的余弦值.

20. (本小题满分 10 分) 对于定义在[0,+?)上的函数 f (x),若函数 y=f (x)-(ax+b)满足:①在区间[0,+?)上单 调递减;②存在常数 p,使其值域为(0,p],则称函数 g (x)=ax+b 为 f (x)的“渐近函数” . x2+2x+3 (1)证明:函数 g(x)=x+1 是函数 f (x)= ,x?[0,+?)的渐近函数,并求此时实 x+1 数 p 的值; (2)若函数 f (x)= x2+1,x?[0,+?)的渐近函数是 g (x)=ax,求实数 a 的值,并说明 理由.

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南京市 2015-2016 学年度第一学期期末学情调研 高一数学参考答案
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续 部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分. 1. (3,+?) 5. 9 9. -4 13. (0,+?) 2.4 1 6.[ ,1] 2 10.2 7 13 14.[ , ) 12 12 3.2 7.b<a<c 1 11. 2 4.- 5 5

2016.01

? 8. y=sin(2x- ) 3 1 12.( ,10) 10

二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分. 15.解(1)因为 sin 2x +cos2 x=1, 4 9 所以 cos 2x=1-sin2 x=1-( )2= . 5 25 3 ? 又因为 0≤x≤ ,故 cos x≥≤0,所以 cos x= . 2 5 cosx (2)原式= cosx―(―sinx) = cosx cosx+sinx 3 = . 3 4 7 5+5 3 5 ????????? 7 分 ????????? 2 分 ??????? 4 分



????????? 8 分

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16.解(1)因为 b+c=(3,-2)+(3,4)=(6,2),

????????? 2 分

所以 a·(b+c)=(2,-1)·(6,2)=12-2=10. ????????? 5 分 (2)因为 a+?b=(2,-1)+(3?,-2?)=(2+3?,-1-2 ?), 又(a+?b)//c, 所以 4(2+3 ??=3(-1-2 ?), 11 解得?=- . 18 17.解(1)由题意知,S=f (t)·g(t)
?(2t+40)(-t+30),1≤t≤10,t?N*, =? 11≤t≤20,t?N*. ?15(-t+30),

????????? 8 分 ????????? 10 分

???? 4 分

(2)当 1≤t≤10,t?N*时, S=(2t+40)(-t+30)=-2 t2+20t+1200=-2 (t-5)2+1250. 因此,当 t=5 时,S 最大值为 1250; 当 11≤t≤20,t?N*时, S=15(-t+30)=-15t+450 为减函数, 因此,当 t=11 时,S 最大值为 285. 综上,S 的最大值为 1250. 答:当 t=5 时,日销售额 S 最大,最大值为 1250 元. ????? 10 分 ????????? 9 分 ????????? 7 分

5? 0+ 6 5? 18.解(1)由题意知,函数图象的一条对称轴为 x= = , ???? 2 分 2 12 则 T 5? ? ? = - = , 即 T=?. 4 12 6 4 ????????? 4 分

所以函数的最小正周期是 π.

2? (2)由图可知,A=2,因为 T=?,所以?= =2. ????????? 6 分 T 5? 5? 5? 又 f( )=-2,所以 2 sin( +?)=-2,即 sin( +?)=-1, 12 6 6 5? 4? ? 因此 +?=2k?- ,即?=2k?- ,k∈Z. 6 2 3 2? 因为 0<?<2?,所以?= . 3

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2? 所以函数的解析式为 f (x)=2sin(2x+ ). 3 2? ? ? 由 2k?- ≤2x+ ≤2k?+ ,k∈Z, 2 3 2 7? ? 解得 k?- ≤x≤k?- ,k∈Z, 12 12 所以函数的单调增区间为[k?- 19.解(1)b·c=b·[xa+(1-x) b] =x b·a+(1-x) b 2

????????? 8 分

7? ? , k?- ],k∈Z.?????? 10 分 12 12

1 =x×(-5)+(1-x)×5=0,解得 x= . 2 (2)| c |2=[xa+(1-x) b]2=x2a2+2x(1-x) a·b+(1-x)2 b 2 =10x2-10x(1-x)+5(x-1)2 =25x2-20x+5 2 =25(x- )2+1. 5 2 所以,当 x= 时,| c |2 有最小值 1,即| c |有最小值 1. 5 2 3 此时,c= a+ b. 5 5 2 3 又 a·c=a· ( a+ b) 5 5 2 3 2 3 = a2+ a·b= ×10+ ×(-5)=1. 5 5 5 5 设向量 a,c 的夹角为? , 则 cos? = a ·c 1 10 = = . | a || c | 1× 10 10

?????? 4 分

????? 7 分

????????? 10 分

x2+2x+3-(x+1)2 x2+2x+3 2 20.解(1)由题意知,f (x)-x-1= -x-1= = . + + + x 1 x 1 x 1 2 易知,函数 y= 在[0,+?)上单调递减,且值域为(0,2]. x+1 x2+2x+3 所以,函数 g(x)=x+1 是函数 f (x)= ,x?[0,+?)的渐近函数, x+1 此时 p=2. ????????? 3 分

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(2)①当 a>1 时,考察函数 y= x2+1-ax, 令 y=0,得 x2+1=ax,两边平方得 x2+1=a2x2,所以 x2= 因为 x≥0,所以 x= 1 ,即 x= a2-1 1 , a2-1

1 时,函数 y= x2+1-ax 的值为 0. a2-1

因此,函数 y= x2+1-ax 的值域不是(0,p]. 所以 g(x)=ax 不是函数 f (x)= x2+1的渐近函数. ??????? 5 分 ②当 a=1 时,考察函数 y= x2+1-x, 由于 x2+1-x= 1 ,下面考察 t= x2+1+x. + + x 1 x
2

任取 x1,x2?[0,+?),且 x1<x2, 则 t1-t2= x1+1+x1- x2+1-x2 =
2 x1+1- 2 x2+1+x1-x2= 2 2

x1-x2 x1+1 +
2

2

2

x2+1

2

+x1-x2

=(x1-x2)(

x1+x2 +1)<0, 2 2 x1+1+ x2+1

所以函数 t= x2+1+x 在[0,+?)上单调递增, 又当 x 无限增大时,t 的值也无限增大,所以 t 的取值范围是[1,+?). 1 因为函数 y= 在(0,+?)单调递减, t 从而函数 y= x2+1-x 在[0,+?)单调递减,且值域为(0,1] . 所以 g(x)=x 是 f (x)= x2+1的渐近函数. ③当 0<a<1 时, 方法(一)y= x2+1-ax=( x2+1-x)+(1-a)x 因为 x2+1-x?(0,1],所以 y>(1-a)x. 假设 y=ax 是 f (x)= x2+1的渐近函数, 则 y= x2+1-ax 的值域为(0,p],故 y 的最大值为 p. p p 设(1-a)x=p,则 x= ,当 x> 时,必有 y>p,矛盾. 1-a 1-a 所以,此时 g(x)=ax 不是函数 f (x)的渐近函数. ????????? 9 分 ??????? 8 分

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方法(二)记 F(x)= x2+1-ax,则 F(0)=1, 由 x2+1-ax=1,即 x2+1=ax+1,解得 x= 2a 2a >0,即 F(0)=F( ), 1-a2 1-a2

所以函数 y= x2+1-ax 在[0,+?)上不单调, 所以 g(x)=ax 不是函数 f (x)的渐近函数. ????????? 9 分

④若 a≤0,则函数 y= x2+1-ax 在[0,+?)上单调递增,不合题意. 综上可知,当且仅当 a=1 时,g(x)=x 是函数 f (x)= x2+1的渐近函数. ????????? 10 分

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