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第3节 随机事件的概率及古典概型


第三节 【知识沙盘及考纲要求】 概率与频率 随 机事 件 的 概 率与 古 典 概型

随机事件的概率及古典概型

事件的关系与运算 古典概型 考纲要求

互斥事件与对立事件

【自主学习】 A级 一、基础知识梳理 1.概率和频率 (1)频率:在相同条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否

出现,nA 为事件 A 出现的频数,事件 A 出 现的频率为 fn(A)=____. (2)概率:对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A),因 此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A). 2.事件的关系与运算 名称 包含关系 相等关系 并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥事件 对立事件 定义 如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时称事件 B 包 含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) 若 且 ,则称事件 A 与事件 B 相等 (或 A ? B) (或 AB) A ? B= ? A ? B= ? A ? B= ? 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,则称 此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则称 此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) 若 A∩B 为不可能事件,那么称事件 A 与事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 符号表示 (或 A ? B)

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解 概率的意义,了解频率与概率的区别; 2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 3.理解古典概型及其概率计算公式; 4.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的 概率.

3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:____________;(2)必然事件的概率为___;(3)不可能事件的概率为___; (4)概率的加法公式:如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=___________; (5)对立事件的概率: 若事件 A 与事件 B 互为对立事件, A∪B 为必然事件, 则 P(A∪B)=___, P(A)=________. 4.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是______的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__________的和. 5.古典概型 (1)具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. ①有限性:试验中所有可能出现的基本事件____________. ②等可能性:每个基本事件出现的可能性______. (2)古典概型的概率公式:P(A)= 6.常用结论:(1)当一个事件包含多个结果时要用到概率加法公式的推广,即 P(A1 ∪A2 ∪A3 ∪?∪ An)= ,注意涉及的各事件要彼此互斥. (2) P ( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? 1 ? P ( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? 1 ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An ) .
1

二、易错点警示 1.对互斥事件概率加法公式理解不透 例:抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别有数字 1,2,3,4,5,6),事件 A 表示“朝上一面的数是奇数” ,事件 B 表示“朝上一面的数不超过 3” ,则 P(A∪B)=___________. 【答案】

2 3 3 1 2 ? ? . 6 6 3

【解析】将 A∪B 分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件,记出现“1、2、3”为事件 C,出现“5”为 事件 D,则 C 与 D 两事件互斥,所以 P(A∪B)= P(C∪D)= P(C)+ P(D)=

2.基本事件把握不清致误 例:抛掷两枚骰子,则事件 A 为出现的点数之和等于 3 的概率是___________. 【答案】

1 18

【解析】抛掷两枚骰子可能出现的情况:(1,1),(1,2),?,(1,6),(2,1),(2,2) ,?, (6,1),(6,2) ,?, (6,2),基本事件总 数为 6×6=36.在这些结果中,事件 A 只有两种可能的结果(1,2), (2,1),所以 P(A)=

2 1 ? . 36 18

B级 考点 1 随机事件的频率与概率 例 1(2011.全国新课标)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标 值大于或等于 102 的产品为优质产品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表:

B 配方的频数分布表:

(1)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率;

??2, t ? 94 ? (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为 y ? ?2,94 ? t ? 102 , ?4, t ? 102 ?
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利 润.

22 ? 8 =0.3,所以用 A 配方生产的产 100 32 ? 10 品中优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知, B 配方生产的产品中优质品的频率为 用 =0.42, 所以 100
【解析】(1)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 用 B 配方生产的产品中优质品率的估计值为 0.42. (2)由条件知,用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率即为 t≥94 的概率,由试验结果知,t≥94 的频 率为 0.96,所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96.用 B 配方生产的上述 100 件 产品平均一件的利润为

1 ×[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元). 100
2

例 2(2011.陕西高考)如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的 人进行调查,调查结果如下:

(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站, 为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车 站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 【解析】 】(1)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=44 人,用频率估 计相应的概率为 0.44. (2)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人,故由调查结果得频率为:

(3)用 A1,A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站;用 B1,B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站.由(2)知 P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, P(A1)>P(A2),甲应选 择路径 L1; P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),乙应选择路径 L2. 考点 2 互斥事件、对立事件的概率 例 3(1)(2012· 兰州月考)从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球, 那么互斥而不对立的事件是( A.至少有一个红球与都是红球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 B.至少有一个红球与都是白球 D.恰有一个红球与恰有二个红球

)

【答案】D 【解析】对于 A 中的两个事件不互斥,对于 B 中两个事件互斥且对立,对于 C 中两个事件不互斥,对于 D 中的两个互斥而不对立. (2)一盒中装有各色球 12 只,其中 5 个红球、4 个黑球、2 个白球、1 个绿球.从中随机取出 1 球,求: ①取出的 1 球是红球或黑球的概率; ②取出的 1 球是红球或黑球或白球的概率. 【解析】记事件 A1={任取 1 球为红球};A2={任取 1 球为黑球};A3={任取 1 球为白球};A4={任取 1 球为 绿球},则 P ? A1 ? ? 12 , P ? A 2 ? ? 12 , P ? A 3 ? ? 12 , P ? A 4 ? ? 12 . 方法一:(利用互斥事件的概率公式求概率) 根据题意,知事件 A1,A2,A3,A4 彼此互斥,由互斥事件概率公式,得: ①取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=
5 4 2 1

5 4 3 ? ? ; 12 12 4 5 4 2 11 ? ? ? . 12 12 12 12
3

②取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 方法二:(利用对立事件求概率的方法)

①由方法一知, 取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球, A1∪A2 的对立事件为 A3∪A4. 即 所以取得一红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4) ? 1 ? ② A1∪A2∪A3 的对立事件为 A4,所以 P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)= 1 ?

2 1 3 ? ? . 12 12 4

1 11 ? . 12 12

考点 3 古典概型的概率 例 4(1)用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中 3 个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则 3 个矩形颜色 都相同的概率是 ,3 个矩形颜色都不同的概率是 . (2)某人有 4 把钥匙,其中 2 把能打开门,现随机地 1 把试着开门.如果不能开门的就 扔掉,则第 2 次才能打开门的概率是 ,如果试过的钥匙不扔掉,则第 2 次才能打开门的概率是 . (3)(2012.大连模拟)同时投掷两粒骰子,则向上的点数之和为奇数的概率是 . x (4)已知集合 A={x|-1≤x≤0},集合 B={x|ax+b· -1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}.若 a,b∈N,则 A∩B≠? 2 的概率是 . (5) (苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球,先摸出 1 只球,记下颜色后放回箱子,然后再摸出 1 只球,则摸到两只不同颜色的球的概率为________. (6)电子钟一天显示的时间是从 00∶00 到 23∶59,每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻显示的 四个数字之和为 23 的概率为 .

【答案】(1)

1 9

2 9

(2)

1 3

1 4

(3)

1 2

7 (4) 9

(5)

12 25

(6)

1 360

【解析】(1)法一

所有可能的基本事件共有 27 个,如图所示:

记“3 个矩形都涂同一颜色”为事件 A,由图知,事件 A 的基本事件有 3 个,故 P(A)= 矩形颜色都不同”为事件 B,由图可知,事件 B 的基本事件有 6 个,故 P(B)= 法二 “3 个矩形都涂同一颜色” 的概率为 P(A)=

3 1 ? ;记“3 个 27 9

6 2 ? . 27 9

1 3 C3 1 A3 2 ? ;3 个矩形颜色都不同”的概率为 P(B)= 3 ? . “ 3 9 33 9 (2)设能打开门的 2 把钥匙为 a,b,不能打开门的 2 把钥匙为 1,2,则不能打开门的就扔掉相当于不放回抽 样问题,其基本事件有 ab,a1,a2,ba, b1,b2,1a,1b,12,2a,2b,21 共 12 个,第 2 次才能把门打开对应的基本事 4 1 件是 1a,1b,2a,2b,共 4 个,故其概率是 ? ;试过的钥匙不扔掉相当于有放回抽样问题,其基本事件有 12 3 aa,ab,a1,a2,ba,bb,b1,b2,1a,1b,11,12,2a,2b,21,22 共 16 个,第 2 次才能把门打开对应的基本事件是 4 1 1a,1b,2a,2b,共 4 个,故其概率是 ? . 16 4 (3)方法一:从右图可以看出基本事件与所描点一一对应,有 36 种, 记“向上的点数和为奇数”的事件为 A,从图中可以看出,

4

事件 A 包含的基本事件共有 18 个,因此 P(A)=

18 1 ? . 36 2 2 1 ? . 4 2

方法二:若把一次试验的所有可能结果取为:(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),则它们也组成等 概率的样本空间.基本事件总数为 4, 事件 A “点数之和为奇数” 包含的基本事件个数为 2, P(A)= 故

方法三:若把一次试验的所有可能结果取为:点数和为奇数,点数和为偶数,则它们也组成等概率的样本 空间.基本事件总数为 2,事件 A“点数之和为奇数”包含的基本事件个数为 1,故 P(A)=

1 . 2

(4) 因为 a,b∈N,(a,b)可取(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)共 9 组. 令函数 f(x)=ax+b·x-1,x∈[-1,0],则 f′(x)=a+bln2·x.因为 a∈[0,2],b∈[1,3],所以 f′(x)>0, 2 2 b b 即 f(x)在[-1,0]上是单调递增函数. f(x)在[-1,0]上的最小值为-a+ -1.要使 A∩B≠?, 只需-a+ -1<0, 2 2 即 2a-b+2>0.所以(a,b)只能取(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)共 7 组.所以 A∩B≠?的概 7 率为 . 9 3× 2+2× 12 3 = . 5× 5 25 (6) 电子钟显示时刻可设为 AB∶CD, (5) 由题意 P= 其中 A=0,1,2,B=0,1,2,3,…,9,C=0,1,2,3,…,5,D=0,1,2,3,…,9. (1)当 A=0 时,B,C,D 可分别为 9、5、9 一种情况; (2)当 A=1 时,B,C,D 可分别为 9、4、9 或 9、5、8 或 8、5、9 三种情况; (3)当 A=2 时,不存在.∴符合题意的只有 4 种, 显示的所有数字和数为: A=0 时,10× 10=600; 6× A=1 时,10× 10=600; 6× A=2 时,4× 10=240. 6× 4 1 ∴P= = . 1 440 360 【交流研讨】 考点 4 古典概型概率的综合应用 例 5(1)某班级有 n 个人(n≤365),一年若按 365 天计算,问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大? 【解析】由于班级里有 n 个人,至少有两人的生日在同一天有很多种情况,如两人生日在同一天;三人生 日在同一天等等,故可考虑其反面,n 个人的生日全不相同的情形. 记“n 个人中至少有两个人的生日在同一天”为事件 A, 则事件 A 是指“n 个人的生日全不相同”. 若 把 365 天当作 365 个“房间”,那么问题就可以归结为“分房问题”.这时“n 个人的生日全不相同”就 相当于:“恰有 n 个房间,其中各住一人”, 365! An 365 由此可知此时 P( A )= = . 365n 365n?365-n?! 365! 而 P(A)+P( A )=1,于是 P(A)=1- n . 365 · ?365-n?!

【归类方法】 1.频率和概率的区别是频率随着试验次数的变化而变化,概率却是一个常数,它是频率的科学抽象.当试验
5

次数越来越多时,频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就可以近似地当作随机事件的概率.概率 意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律,与我们日常所说的“可能” “估计”是不同的.也就 是说,单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性,才是概率意义下的“可能性” ,事件 A 的概率是 事件 A 的本质属性. 2.对于互斥事件的理解:(1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系;(2)所研究的两个事件是在一次试验中 所涉及的;(3)两个事件互斥是从“试验的结果不能同时出现”来确定的.从集合的角度看,几个事件彼此 互斥, 是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集, 事件 A 的对立事件 所含的结果组成的 集合,是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集. 3.求复杂的互斥事件的概率的一般方法: (1)直接求法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算. (2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A)=1-P( A ),即运用逆向思维(正难则反),特别 是“至多”“至少”型题目,用间接求法就显得较简便. , 4.求古典概型概率的步骤: 第一步:判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件 A; 第二步:分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m; 第三步:利用公式 P(A)=

m ,求出事件 A 的概率. n

【自我测评】 1.(2012.西安模拟)袋中装有 3 个白球,4 个黑球,从中任取 3 个球,则①恰有 1 个白球和全是白球;②至 少有 1 个白球和全是黑球; ③至少有 1 个白球和至少有 2 个白球; ④至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球. 在 上述事件中,是对立事件的为( ) A.① B.② C.③ D.④ 【答案】B 【解析】由对立事件的定义,可知“至少有一个白球”和“全是黑球”为对立事件. 2.把一颗骰子投掷 2 次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数为 b,则方程组
?ax+by=3. ? ? 只有一个解的概率为________. ? ?x+2y=2

11 【答案】 12

【解析】由题意,点(a,b)取值的集合共有 6× 6=36 个元素.方程组只有一个解等价于直

a b 线 ax+by=3 与 x+2y=2 相交,即 ≠ ,即 b≠2a,而满足 b=2a 的点只有(1,2),(2,4),(3,6)共 3 个,故 1 2
? ?ax+by=3 33 11 方程组? 只有一个解的概率为 P= = . 36 12 ?.x+2y=2 ?

3. 一个坛子里有编号为 1,2,…,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是红球,其余的是黑球,若 从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码是偶数的概率为( ) 1 1 3 2 A. B. C. D. 22 11 22 11 【答案】D

x2 y2 3 4.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为 a,b,则椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e> 的概率是 a b 2
6

(

)

1 A. 18

5 B. 36

1 C. 6

1 D. 3

【答案】C 【解析】e= b2 3 b 1 1- 2> ?a< ?a>2b,符合 a>2b 的情况有:当 b=1 时,有 a= a 2 2 6 1 = . 6× 6 6 3,4,5,6 四种情况;

当 b=2 时,有 a=5,6 两种情况,总共有 6 种情况.则概率为

1 5. 已知一组抛物线 y= ax2+bx+1,其中 a 为 2,4,6,8 中任取的一个数,b 为 1,3,5,7 中任取的一个数,从 2 这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线 x=1 交点处的切线互相平行的概率是 ( ) 1 A. 12 7 B. 60 6 C. 25 5 D. 16

【答案】B 【解析】抛物线只有 4× 4=16(条),从中任取两条有 120(种)不同取法,∵y′=ax+b 在 x=1 处的斜率为 a +b.故符合 a+b=3,只有 0 对,a+b=5 共有 1 对,a+b=7 有 3 对,a+b=9 有 6 对,a+b=11 有 3 对, a+b=13 只有 1 对,∴共有 14 对,P= 14 7 = . 120 60

6.有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本。若将其随机地并摆放到图书架的同一层 上,则同一科目的书都不相邻的概率是( A. )

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

【答案】B
4 2 4 2 3 2 2 5 【解析】 解法一: 基本事件总数为 A5 ? 120 ,同一科目中有相邻情况的有 A4 A2 ? A4 A2 ? A3 A2 A2 ? 72 个,

故同一科目都不相邻的概率是

120 ? 72 2 ? . 120 5
2 2 3 2 2 2 A2 A2 A32 ? A3 A2 A2 2 ? . 5 5 A5

解法二:由古典概型的概率公式得 P ? 1 ?

7. 以平行六面体 ABCD-A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则 这两个三角形不共面的概率 P 为( ) 367 376 192 18 A. B. C. D. 385 385 385 385 【答案】A 【解析】由平行六面体的八个顶点,共能作成的三角形有 C3=56 个,从中任意取出两个三角形的方法数 8 为 C2 ,由于平行六面体共有六个面和六个对角面,且每一个面上有四个顶点,从中任意取出三个点作成 56 2 的三角形都是共面三角形,从而任取两个三角形共面的情况有 12C4=72 个,即任意取出的两个三角形恰 72 18 好共面的概率是 P1= 2 = .由于事件 A:“任意取出两个三角形不共面”与事件 B:“任意取出的两个三 C56 385 367 角形恰好共面”是对立事件,故所求概率 P=1-P1= ,选 A. 385 8. 将一颗骰子先后抛掷两次,得到的点数分别记为 a,b. ?x ? 0 ? (1) 求点 P(a,b)落在区域 ? y ? 0 内的概率; ?x ? y ? 5 ? (2)求直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 不相切的概率.
7

【解析】(1)先后两次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记 a,b,则事件总数为 6× 6=36.

?x ? 0 ? 区域 ? y ? 0 如图所示, ?x ? y ? 5 ?
当 a=1 时,b=1,2,3,4; a=2 时,b=1,2,3 a=3 时,b=1,2; a=4 时,b=1 共有(1,1)(1,2)…(4,1)10 种情况.∴P= 10 5 = . 36 18 5 =1,即 a +b2
2

(2)∵直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 相切的充要条件是

a2+b2=25, ∵a、b∈{1,2,3,4,5,6} 满足条件的情况只有:a=3,b=4 或 a=4,b=3 两种情况, 2 1 ∴直线与圆相切的概率 P= = . 36 18 1 17 ∴直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 不相切的概率为 P=1- = . 18 18

8


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