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优化设计练习题 (1)


要求根据目标函数和约束函数采用适合的 MATLAB 优化函数求 解优化问题,即线性规划问题、无约束非线性规划、约束非线性规划 问题、二次规划问题。 1—2
1、 min f ? ?4 x1 ? x 2

? ? x1 ? 2 x 2 ? 4 ?2 x ? 3x ? 12 ? 2 s ?t ? 1 ? x1 ? x 2 ? 3 ? ? x1 , x 2 ? 0

2、 min f ? ? x1 x2 x3 答案: x ? [24,12,12]
2 ?

s ? t :0 ? x1 ? 2x2 ? 2x3 ? 72 f ? ? ?3.456?103
2

3、 min f ? ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 1) 答案: x ? [1.6,0.2]
?

s ? t : x1 ? 2x2 ? 2 ? 0

f ? ? 0.8
?4 ? x12 ? x 2 ? 0 ? s ?t ? x2 ? 0 ? x ? 0. 5 ? 0 ? 1

2 4、 min f ? ( x1 ? 3) 2 ? x2

答案: x ? [2,0]

?

f ? ?1

4 5、求函数 f ( x1 , x2 ) ? 3x1 ? 2x1x2 ? (1 ? 5x2 )2 的极小点。

答案: x ? [0.3287, ?0.2131]
2

?

f ? ? ?0.1008

6、求表面积为 150m 的体积最大的长方体体积。

min f ? ? x1 x2 x3 x ? [5,5,5]
? ?

2( x1 x2 ? x2 x3 ? x1 x3 ) ? 150 f ? ?125

7、某车间生产甲(如轴) 、乙(如齿轮)两种产品。生产甲种产品每件需要用材料 9 ㎏,3 个工时、4kw 电,可获利 60 元;生产乙种产品每件需要用材料 4 ㎏、10 个工时, 5kw 电,可获利 120 元。若每天能供 应材料 360 ㎏,有 300 个工时,能供电 200kw 电,问每天生产甲、乙两种产品各多少件,才能够获得最大 的利润。

min F( x )=-60x1-120x2 S.T g1( x )=-360+9x1+4x2≤0 g2( x )=-300+3x1+10x2≤0
1

? ?

?

g3( x )=-200+4x1+5x2≤0 g4( x )=-x1≤0 g5( x )=-x2≤0
答案: x? ? [20, 24]

?

? ?

f ? ? 4.0800 ?103

8、已知:轴一端作用载荷 p=1000N/ cm,扭矩 M=100N· m;轴长不得小于 8cm;材料的许用弯曲应力 [σ w]=120MPa,许用扭剪应力 [τ ]= 80MPa,许用挠度 [f] = 0.01cm;密度[ρ ] = 7.8t /m,弹性模量 E=2× 105MPa。要求:设计销轴,在满足上述条件的同时,轴的质量应为最轻。

设计限制条件有 5 个: 弯曲强度:σ max≤ [σ w] 扭转强度:τ ≤ [τ ] 刚度: f ≤ [f] 结构尺寸:l ≥ 8 d ≥ 0 设计参数中的未定变量:d、l 具体化:目标函数 Q = 1 /4 π d2 lρ →min. 3 约束函数 σ max = Pl / ( 0.1d )≤[σ w] τ = M / ( 0.2d3 )≤ [τ ] f =Pl3 / ( 3EJ )≤ [f] l ≥ 8 d ≥ 0 代入数据整理得数学模型: 设:X =[x1,x2 ]T = [d ,l ]T min. f(x)= x12x2 X∈R2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 ≤0 g2(x)= 6.25 - x13 ≤0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 ≤0 g4(x)= 8 - x2 ≤ 0 g5(x)= - x1 ≤0 根据数学模型: 设: X =[x1,x2 ]T = [d ,l ]T min. f(x)= x12x2 X∈R2

3-4
2

1、 min f ? x1 ? x 2 ? x3

? x1 ? 2 x 2 ? 3x3 ? 15 ? s ? t ?2 x1 ? x 2 ? 5 x3 ? 20 ? x1 , x 2 ? 0 ?

答案: x ? ? [0.000 ,2.1429 ,3.5714 ]

f ? ? 5.7143
? x1 ? x 2 ? 2 ?? x ? 2 x ? 2 ? 2 s ?t ? 1 ? 2 x1 ? x 2 ? 3 ? ? x1 , x 2 ? 0

2、 min f ? 0.5 x1 ? x 2 ? x1 x 2 ? 2 x1 ? 6 x 2
2 2

答案: x ? ? [0.667,1.333 ]
x 2 2

f ? ? ?8.2222
? x x ? x1 ? x 2 ? 1.5 ? 0 s ?t ? 1 2 ? x1 x 2 ? 10 ? 0 ?

3、 min f ? e 1 ( 4 x1 ? 2 x 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 x 2 ? 1) 答案: x ? [?9.5474 ,1.0474 ]
?

f ? ? 0.017757

4、计算下面函数在区间(0,1)内的最小值。

f (x) ?
?

x3 ? c o s x ? xl o g x x e

答案: x ? 0.5223

f ? ? 0.3974

5、某厂生产甲、乙两种产品,已知制成一吨产品甲需用 A 资源 3 吨,B 资源 4m3;制成一吨产品乙需用 A 资源 2 吨,B 资源 6m3,C 资源 7 个单位。若一吨产品甲和乙的经济价值分别为 7 万元和 5 万元,三种 资源的限制量分别为 90 吨、200m3 和 210 个单位。试应生产这两种产品各多少吨才能使创造的总经济价 值最高? 解:这是个最优化问题,其目标为经济价值最高,约束条件为三种资源的数量有限,决策为生产甲、乙产 品的数量。令生产产品甲的数量为 x1,生产产品乙的数量为 x2。由题意可以建立如下的线性规划模型。 目标函数为:

max z ? 7 x1 ? 5x 2
约束条件为:

?3 x1 ? 2 x 2 ? 90 ?4 x ? 6 x ? 200 ? 1 2 ? ?7 x 2 ? 210 ? ? x1 ? 0, x 2 ? 0
答案: x ? [14.0, 24.0]
?

f ? ? ?218

6、已知:制造一体积为 100m3,长度不小于 5m,不带上盖的箱盒,试确定箱盒的长 x1,宽 x2,高 x3, 使箱盒用料最省。

3

min: ( x1 x2 ? 2 x1 x3 ? 2 x2 x3 ) x1 x2 x3 ? 100 s ?t : x1 ? 5 x2 ? 0 x3 ? 0
答案: x? ? [5.8480,5.8480, 2.9240]

f ? ? 102.5986

7、机床主轴是机床中重要零件之一,一般为多支承空心阶梯轴。为了便于使用材料力学公式进行结构分 析,常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。在设计时有两个重要因素需要考虑,即主轴的自重和 伸出端 C 点的挠度。图 1 所示的为一根简化的机床主轴。要求以主轴的自重为目标,对该主轴进行优化设 计。已知条件:主轴材料为 45#,内径 d=30mm,外力 F=15000N,许用挠度 y0=0.05mm,材料的弹性模量 E=210GPa,许用应力[σ ]=180MPa,材料的密度为 ? ? 7800kg / m3 。 300≤ l ≤650, 60≤ D ≤110, 90≤ a ≤150。l 、 D 、 a 的量纲均为毫米。试建立机床主轴以主轴自重最轻为目标的优化设计数学模型。 其中,C 点的挠度: y ?

? Fa 2 ?l ? a ? ?D 4 ? d 4 ? 。 ;I ? 64 3EI

解:分析题意,选取设计变量

X ? [ x1 , x2 , x3 ]T ? [l , D, a]T
一、优化目标函数

F(X ) ?

?
4

( D 2 ? d 2 ) ? (l ? a) ? ? ?

?
4

( x2 2 ? d 2 ) ? ( x1 ? x3 ) ? ?

二、约束条件: 1)挠度要求

Fa 2 (l ? a) y? ? y0 3EI I?

?
64

(D4 ? d 4 )

64Fx32 ( x1 ? x3 ) ? y0 3? E ( x24 ? d 4 )

2)强度要求
4

? max

M ? max ? [? ] W

W?

?
32

( D3 ? d 3 )

32 Fa ? [? ] ? ( D3 ? d 3 )

32 Fx3 ? [? ] ? ( x23 ? d 3 )

3)变量取值范围 300≤ x1≤650, 60≤ x2≤110, 90≤x3≤150 三、将物理模型转化为数学模型

F(X ) ?

?
4

( D 2 ? d 2 ) ? (l ? a) ? ? ?

?
4

( x2 2 ? d 2 ) ? ( x1 ? x3 ) ? ?

s.t.

64Fx32 ( x1 ? x3 ) g1 ( X ) ? / y0 ? 1 ? 0 3? E ( x2 4 ? d 4 )

g5 ( X ) ? 1 ?
g6 ( X ) ?

x2 ?0 60

g2 ( X ) ?

32 Fx3 /[? ] ? 1 ? 0 ? ( x23 ? d 3 ) x g3 ( X ) ? 1 ? 1 ? 0 300

g4 ( X ) ?
?

x1 ?1 ? 0 650
f ? ? 11.3235

x2 ?1 ? 0 110 x g7 ( X ) ? 1 ? 3 ? 0 90 x g8 ( X ) ? 3 ? 1 ? 0 150

答案: x ? [300,74.8898,90.0000]

5-6
1、 min f ? 3 x ? 2 x ? 4 x1 x 2 ? 3 x1 ? 4 x 2
2 1 2 2

? 2 x1 ? x 2 ? 4 ? s ? t ?? x1 ? 2 x 2 ? 4 ? x ,x ? 0 ? 1 2

答案: x ? [0.5,1.5]

?

f ? ? ?2.25

5

2 2 2、 min e 1 (4 x1 ? 2 x2 ? 4x1 x2 ? 2 x2 ? 1) x

? x1 ? x 2 ? 0 ?? x x ? x ? x ? 1.5 ? 1 2 1 2 s.t.? x x ? ? 10 ? 1 2 ? ?? 10 ? x1 , x 2 ? 10

答案: x? ? [1.1825, ?1.7398] 3、 min f ? ? x1 x2 x3 答案: x ? ? [5,50,5]

f? ?

s ? t : 2( x2 x3 ? x1 x3 ? x1 x2 ) ? 150 f ? ? ?125

2 2 4、求函数 f ( x) ? x1 ? x2 ? 2x1 ? x2 ? 2x1x2 的极小值。

答案: x ? [?1.0,1.5002]

?

f ? ? ?1.2500
? x1 ? 2 x 2 ? 3x3 ? 15 ?2 x ? x ? 5 x ? 20 ? 2 3 s ?t ? 1 ? x1 ? 4 x 2 ? 2 x3 ? 10 ? x1 , x 2 ? 0 ?

5、 min f ? x1 ? x 2 ? x3

答案: x ? [?26.6667 ,?1.6667 ,15.00]

?

f ? ? ?13.333

6、有一块边长为 6m 的正方形铝板,四角截去相等的边长为 x 的方块并折转,造一个无盖的箱子,问如何 截法(x 取何值)才能获得最大容器的箱子。 7、任务分配问题:某车间有甲、乙两台机床,可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别 为 800 和 900,三种工件的数量分别为 400、600 和 500,且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所 需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务,才能既满足加工工件的要求,又使加工费用 最低? 答案:1、问题分析 车床 类 型 甲 乙 单位工件所需加工台时数 工件 1 0.4 0.5 工件 2 1.1 1.2 工件 3 1.0 1.3 单位工件的加工费用 工件 1 13 11 工件 2 9 12 工件 3 10 8 可用台 时数 800 900

2、设在甲车床上加工工件 1、2、3 的数量分别为 x1、x2、x3,在乙车床上加工工件 1、2、3 的数量分别为 x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型:

min z ? 13x1 ? 9x2 ? 10x3 ? 11x4 ? 12x5 ? 8x6

6

?x 1 ? x 4 ? 400 ? x ? x ? 600 5 ? 2 ? ? x ? x 6 ? 500 s.t. ? 3 ?0.4 x1 ? 1.1x 2 ? x3 ? 800 ?0.5 x 4 ? 1.2 x5 ? 1.3 x 6 ? 900 ? ? xi ? 0, i ? 1,2, ? ,6 ?
编写 M 文件如下: f = [13 9 10 11 12 8]; A = [0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3]; b = [800; 900]; Aeq=[1 0 0 1 0 0 010010 0 0 1 0 0 1]; beq=[400 600 500]; vlb = zeros(6,1); vub=[]; [x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 结果: x =[0.0, 600.0 ,0.0, 400.0, 0.0,500.0] fval =1.3800e+004 即在甲机床上加工 600 个工件 2,在乙机床上加工 400 个工件 1、500 个工件 3,可在满足条件的情况 下使总加工费最小为 13800。 8、已知:轴的一端作用载荷 P=1000N,扭矩 M=100N· m;轴长不得小于 8cm;材料的许用弯曲应力 [σ w]=120MPa,许用扭剪应力 [τ ]= 80MPa,许用挠度 [f] = 0.01cm;密度[ρ ] = 7.8t /m,弹性模量 E=2× 105MPa。 要求:设计销轴,在满足上述条件的同时,轴的质量应为最轻。

分析:设计目标是轴的质量最轻 设计限制条件有 5 个: 弯曲强度:σ max≤ [σ w] 扭转强度:τ ≤ [τ ] 刚度: f ≤ [f] 结构尺寸:l ≥ 8 d ≥ 0

Q =1 /4 π d2 lρ

→min. ;

7

设计参数中的未定变量:d、l 具体化:目标函数 Q = 1 /4 π d2 lρ →min. 3 约束函数 σ max = Pl / ( 0.1d )≤[σ w] τ = M / ( 0.2d3 )≤ [τ ] f = Pl3 / ( 3EJ )≤ [f] l ≥ 8 d ≥ 0 代入数据整理得数学模型: 设:X =[x1,x2 ]T = [d ,l ]T min. f(x)= x12x2 X∈R2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 ≤0 g2(x)= 6.25 - x13 ≤0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 ≤0 g4(x)= 8 - x2 ≤ 0 g5(x)= - x1 ≤0

7-8
1、 min f ? x1 ? 2 x 2 ? 4 x1 x 2 ? x1 ? x 2
2 2

? 2 x1 ? x 2 ? 2 ? s ? t ?? x1 ? 2 x 2 ? 2 ? x ,x ? 0 ? 1 2

答案: x ? ? [0.0,0.250]

f ? ? ?0.125
? 2 x1 ? x 2? x ? 3 2 ? ?2 x ? x ? 5 x ? ? 6 ? 1 2 3 s.t. ? ?6 ? 4 x1 ? x 2? x 3 ? ? xi ? 0, i ? 1, 2,3, 4,5, 6

2、 max f ? x1 ? 2 x2 ? x3

答案: x ? [0, 4, 2]

?

f ? ? 10

3、 min f ? ( x1 ? x4 ) 2 ? ( x2 ? x5 ) 2 ? ( x3 ? x6 ) 2
8

2 2 ? x12 ? x 2 ? x3 ?5 ? 2 2 ?( x ? 3) ? x5 ? 1 s ?t ? 4 x6 ? 8 ? ? ? 4 ? x4 ? 0

答案: x ? ? [1,0,2,2,0,4]
2 2 4、 min f ? 0.5( x1 ? x2 / 3)

f ? ?5 s ? t :0 x1 ? x2 ? 1 ? 0

答案: x ? ? [0.25,0.75]

f ? ? 0.125

4 5、求函数 f ( x1 , x2 ) ? 3x1 ? 2x1x2 ? (1 ? 5x2 )2 的极小点。

答案: x ? [0.3287, ?0.2131]

?

f ? ? ?0.1008

6、某工厂有一张边长为 5m 的正方形的铁板,欲制成一个方形无盖水槽,问在该铁板的 4 个角处剪去多大 的相等的正方形才能使水槽的容积最大? 答案:

m i n : f ? ?x (? 5 x 22 ) 1 1
x? ? [0.8333] f ? ? ?9.2593

st.

1

x?

0

7、某车间生产甲(如轴) 、乙(如齿轮)两种产品。生产甲种产品每件需要用材料 9 ㎏,3 个工时、4kw 电,可获利 60 元;生产乙种产品每件需要用材料 4 ㎏、10 个工时, 5kw 电,可获利 120 元。若每天能供 应材料 360 ㎏,有 300 个工时,能供电 200kw 电,问每天生产甲、乙两种产品各多少件,才能够获得最大 的利润。

min f=-60x1-120x2 S.T -360+9x1+4x2≤0 -300+3x1+10x2≤0 -200+4x1+5x2≤0 -x1≤0 -x2≤0
x ? ? [20.0,24.0] f ? ? ?4080 .0

8、 已知: 轴上作用均布载荷 q=100N/ cm, 扭矩 M=100N· m; 轴长不得小于 8cm; 材料的许用弯曲应力 [σ w]=120MPa,许用扭剪应力 [τ ]= 80MPa,许用挠度 [f] = 0.01cm;密度[ρ ] = 7.8t /m,弹性模量 E=2× 105MPa。要求:设计销轴,在满足上述条件的同时,轴的质量应为最轻。

9

设计限制条件有 5 个: 弯曲强度:σ max≤ [σ w] 扭转强度:τ ≤ [τ ] 刚度: f ≤ [f] 结构尺寸:l ≥ 8 d ≥ 0 设计参数中的未定变量:d、l 具体化:目标函数 Q = 1 /4 π d2 lρ →min. 3 约束函数 σ max = Pl / ( 0.1d )≤[σ w] τ = M / ( 0.2d3 )≤ [τ ] f =ql4 / ( 8EJ )≤ [f] l ≥ 8 d ≥ 0 注: I

?

?
64

d4

9-10
1、 min f ? x1 ? x 2 ? x1 x 2 ? 3 x1
2 2

?? x ? x 2 ? ?2 s ?t ? 1 ? x1 , x 2 ? 0

答案: x ? [1.5,0.5]

?

f ? ? ?2.75
? x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? ?1.5 ? s ?t ? x1 x 2 ? ?10 ? x12 ? x 2 ? 1 ?

2、 min f ? e (4 x ? 2 x ? 4 x1 x 2 ? 2 x 2 ? 1)
x1 2 1 2 2

答案: x ? [0.1578 ,1.311 ] 3、 min f ( x) ? x2 ? x1 答案: x ? [1,3.778 ?10 ]
? ?4

?

f ? ? 10.2971

? ln x1 ? 0 s ?t ? ? x1 ? x2 ? 1
f ? ? ?1.0

2 2 4、求函数 f ( x1 , x2 ) ? x1 ? 2x2 ? 2x1x2 ? 4x1 ? x2 的极小点。

答案: x ? [3.5,1.5]

?

f ? ? ?6.25
10

5、已知某汽车行驶速度 x 与每公里耗油量的函数关系为 f(x)=x + 20/x,试用 0.618 法确定速度 x 在每分钟 0.2~1 公里时的经济速度 x*。 答案: x? ? [0.9967]

f ? ? 21.062

6、确定具有最小表面面积圆柱体的尺寸,此圆柱体的金属可以浇铸半径为 10 mm 的金属球体。

答案:

min

? x12 ? 2? x1 x2

s ?t

x? ? [11.0064,11.0064]

4 3 ? f ? 1.1417 ?103

? x12 x2 ? ? ?103 ? 0

7、喜糖问题:需要购买甲乙两种喜糖,喜糖甲 20 元/斤,喜糖乙 10 元/斤。要求花钱不超过 200 元,总斤 数不少于 10 斤,甲糖不少于 5 斤。问:(1) 购买甲糖、乙糖分别多少斤,才能在满足要求的条件下花钱最 少?(2) 购买甲糖、乙糖分别多少斤,才能在满足要求的条件下所买的糖最多? 设购买甲糖 x1 斤,乙糖 x2 斤。 可以列出如下数学模型:

m i nf1 ( x ) ? 20x1 ? 10x2 , x ? R 2 m a xf 2 ( x ) ? x1 ? x2 , x ? R 2 s.t. 20x1 ? 10x2 ? 200 x1 ? x2 ? 10 x1 ? 5
(1)最优解为: x =[5 5], min f1 ( x ) ? 150元。(2)最优解为: x =[5 10], max f 2 ( x ) ? 15 斤。 8、 由两根实心圆杆组成对称的两杆桁架, 其顶点承受负载 2p=500000N, 两支座之间的水平距离 2L=160cm, 杆的密度ρ =7800kg/m3,弹性模量为 E=2.1×105MPa,许用压应力σ y=420MPa。求在桁架压应力不超过 许用压应力和失稳临界应力的条件下,使桁架重量最轻的桁架高度 h 及圆杆直径 d。 答案:

解:桁杆的截面积为 : S ? 0.25?d

2

桁杆的总重量为: W ? 0.5?d 2 L2 ? h 2 ?

负载 2p 在每个杆上的分力为:

p1 ?

p p L2 ? h 2 ? cos? h
11

于是杆截面的应力为: ? 1 ?

p1 ? L2 ? h2 ? s 0.25? d 2 h

p L2 ? h 2 ?? 此应力要求小于材料的屈服极限,即: ?dhB
圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知:压杆稳定的临界力为 则临界应力 ? cr 为 ? cr ?

pcr ?

? 2 EI
l2
,

? 2 EI ?d 2
l2 / 4

?

? 3 Ed 4
64 l 2 ? h 2

?

?

?

4 ? 3 Ed 2 ? ?d 2 16 l 2 ? h 2

?

?

由此得稳定约束:

? 3 Ed 2
16 l 2 ? h 2

?

?

?

p l 2 ? h2 ?0 0.25?d 2 h

另外还要考虑到设计变量 d 和 h 有界。 从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型:

? min 0.5?d 2 l 2 ? h 2 ? p l 2 ? h2 ? s.t. ?? ? 0 2 ? 0 . 25 ? d h ? ? p L2 ? h 2 ? 3 Ed 2 ? ?0 ? 2 2 2 0 . 25 ? d h 16 l ? h ? d ? d max ? 0 ?d min ? d ? 0 ?h ?h ?0 h ? hmax ? 0 ? min

?

?

11-12
1、 min f ? x1 ? 2 x 2 ? x3 ? 2 x1 x 2 ? x3
2 2 2

? x ? x 2 ? x3 ? 4 s ?t ? 1 ?2 x1 ? x 2 ? x3 ? 2

答案: x ? [1.9091 ,1.9535 ,0.1363 ]
2 2 2、 min f ( x) ? x1 ? x2 ? 2x1 ?1

?

f ? ? 3.9773

s ?t

3 ? x2 ? 0

答案: x ? [1,3] 3、 min

?

f ? ?9

2 f ( X ) ? ( x1 ? 2)2 ? x2

s.t. g1 ( X ) ? ? x1 ? 0 g2 ( X ) ? ? x2 ? 0
2 g3 ( X ) ? ? x12 ? x2 ?1 ? 0

答案: x ? [1,0]
x 2

?

f ? ?1
2

4、 min f ? e 1 ( 4 x1 ? 2 x 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 x 2 ? 1)

? x x ? x1 ? x 2 ? 1.5 ? 0 s ?t ? 1 2 ? x1 x 2 ? 10 ? 0 ?
12

答案: x ? ? [?9.5474 ,1.0474 ] 5、 max f ( x) ? 220 x1 ? 250 x2

f ? ? 0.017757

s.t. x1 ? x2 +x 3 ? 1200 2 x1 ? x2 +x 4 ? 1800 x1 ? x5 = 800 x2 +x6 = 1000
答案: x? ? [200,1000] 5、 max f ( x) ? 220 x1 ? 250 x2

s.t. x1 ? x2 +x 3 ? 1200 2 x1 ? x2 +x 4 ? 1800 x1 ? x5 = 800 x2 +x6 = 1000
答案: x ? [200,1000] 6、喜糖问题:需要购买甲乙两种喜糖,喜糖甲 10 元/斤,喜糖乙 20 元/斤。要求花钱不超过 300 元,总斤 数不少于 15 斤,乙糖不少于 10 斤。问:(1) 购买甲糖、乙糖分别多少斤,才能在满足要求的条件下花钱 最少?(2) 购买甲糖、乙糖分别多少斤,才能在满足要求的条件下所买的糖最多? 设购买甲糖 x1 斤,乙糖 x2 斤。 可以列出如下数学模型:
?

m i nf1 ( x ) ? 10 x1 ? 20 x2 , x ? R 2 m a xf 2 ( x ) ? x1 ? x2 , x ? R 2

s.t. 10x1 ? 20 x2 ? 300 x1 ? x2 ? 15 x2 ? 5
(1)最优解为: x =[5 5], min f1 ( x ) ? 150元。(2)最优解为: x =[5 10], max f 2 ( x ) ? 15 斤。 7、一根长 L 的铅丝截成两段,一段弯成圆圈,另一段弯折成方形,问应以怎样的比例截断铅丝,才能使 圆和方形的面积之和为最大? 答案: min:

? x ? ? 1 ? x1 ? f ? ?? ? 1 ? ? ? ? ? 2? ? ? 4 ?

2

2

s ? t : 0 ? x1 ? 1

x? ? [0.0121]

f ? ? 0.0617

8、 由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架, 其顶点承受负载 2p=300000N, 两支座之间的水平距离 2L=152cm, 圆杆的壁厚 B=0.25cm,杆的密度ρ =7800kg/m3,弹性模量为 E=2.1×105MPa,许用压应力σ y=420MPa。 求在桁架压应力不超过许用压应力和失稳临界应力的条件下,使桁架重量最轻的桁架高度 h 及圆杆平均直 径 d。

13

解: h ? B ?
*

152 2F 4 ? FB cm ? 76cm, B* ? ? 6.43cm, m* ? ? 8.47 kg 2 ? T? y ?y

答案: x ? [h, d ] ? [76cm,6.43cm]

?

f ? ? ?8.47kg

13-14
1、求函数 f ( x1 , x2 ) ? x1 ( x1 ? 2 x2 ? 5) ? x2 (3x2 ? 7) 的极小值 答案: x ? [5.5,3.0]
?

f ? ? ?24.25

2、 max f ( X ) ? 2 x1 ? x2 ? 2 x3

s.t. x1 ? x2 ? 2 x3 ? 5 x1 ? 3x2 ? x3 ? 3 x1 , x2 , x3 ? 0
答案: x ? [3.4696,0.0,0.4696] 3、 min f ( x) ? ( x1 ? 5)2 ? 4( x2 ? 6)2
2 s.t. g1 ( x ) ? 64 ? x12 ? x2 ?0

?

f ? ? ?6.000

g 2 ( x ) ? x2 ? x1 ? 10 ? 0 g3 ( x ) ? x1 ? 10 ? 0
答案: x ? [5.2186,6.0635]
?

f ? ? 0.0639

4、 min f ( x) ? ( x1 ?1)2 ? ( x2 ? 2)2 ?1

s.t. g1 ( x ) ? 2 x1 ? x2 ? 1 g 2 ( x ) ? x1 ? x2 ? 2 g3 ( x ) ? ? x1 ? 0 g4 ( x) ? ? x2 ? 0

14

答案: x? ? [1.0, 2.0]

f ? ? 1.000


5、确定具有最小表面面积圆柱体的尺寸,此圆柱体的金属可以浇铸半径为 10 mm 的金属球体。 答 案

min

?x12 ? 2?x1 x 2

s ?t

?x12 x2 ? ? ? 10 3 ? 0

4 3

x ? ? [11.0064 ,11.0064 ]

f ? ? 1.1417 ? 10 3

6、某工厂要生产两种规格的电冰箱,分别用Ⅰ和Ⅱ表示。生产电冰箱需要两种原材料 A 和 B,另外需设备
C。生产两种电冰箱所需原材料、设备台时、资源供给量及两种产品可获得的利润如表 1-1 所示。问工厂 应分别生产Ⅰ、Ⅱ型电冰箱多台,才能使工厂获利最多?
表 1.1 资源需求与限制 资源 设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 产品Ⅰ用原料限制 Ⅰ 1 2 0 220 元 Ⅱ 1 1 1 250 元 资源限制 1200 台时 1800 千克 1000 千克 求最大收益

? 800 千克 解:设生产Ⅰ、Ⅱ两种产品的数量分别为 x1 , x2 。则可获得的最大收益为
max f ( x) ? 220 x1 ? 250 x2 , x ? R2
s.t. x1 ? x2 ? 1200 2 x1 ? x2 x1 ? 1800 1000 ? 800 x2 ? x1 , x2 ? 0
Matlab 求解程序如下:
%li_1_2 clc; close all; f=-[220 250]; A=[1 1;2 1;1 0;0 1]; b=[1200;1800;800;1000]; xl=[0 0]; [x,fval]=linprog(f,A,b,[ ],[ ],xl) x1=[0:1800]; x2=[0:2000];

7、已知:轴一端作用载荷 p=1000N/ cm,扭矩 M=100N· m;轴长不得小于 8cm;材料的许用弯曲应力 [σ w]=120MPa,许用扭剪应力 [τ ]= 80MPa,许用挠度 [f] = 0.01cm;密度[ρ ] = 7.8t /m,弹性模量 E=2× 105MPa。要求:设计销轴,在满足上述条件的同时,轴的质量应为最轻。

15

设计限制条件有 5 个: 弯曲强度:σ max≤ [σ w] 扭转强度:τ ≤ [τ ] 刚度: f ≤ [f] 结构尺寸:l ≥ 8 d ≥ 0 设计参数中的未定变量:d、l 具体化:目标函数 Q = 1 /4 π d2 lρ →min. 3 约束函数 σ max = Pl / ( 0.1d )≤[σ w] τ = M / ( 0.2d3 )≤ [τ ] f =Pl3 / ( 3EJ )≤ [f] l ≥ 8 d ≥ 0 代入数据整理得数学模型: 设:X =[x1,x2 ]T = [d ,l ]T min. f(x)= x12x2 X∈R2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 ≤0 g2(x)= 6.25 - x13 ≤0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 ≤0 g4(x)= 8 - x2 ≤ 0 g5(x)= - x1 ≤0 根据数学模型: 设: X =[x1,x2 ]T = [d ,l ]T min. f(x)= x12x2 X∈R2 s.t. g1(x)= 8.33x2- x13 ≤0 g2(x)= 6.25 - x13 ≤0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 ≤0 g4(x)= 8 - x2 ≤ 0 g5(x)= - x1≤0

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