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2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷2007.10.14


2007 年全国高中数学联合竞赛加试试卷
(考试时间:2007 年 10 月 14 日上午 10:00—12:00) 一、(本题满分 50 分)如图,在锐角△ABC 中,AB<AC, A AD 是边 BC 上的高, 是线段 AD 内一点。 P 作 PE⊥AC, P 过 垂足为 E,做 PF⊥AB,垂足为 F。O1、O2 分别是△BDF、 E △CDE 的外心。求证

:O1、O2、E、F 四点共圆的充要条 F P 件为 P 是△ABC 的垂心。 二、(本题满分 50 分)如图,在 7× 的长方形棋盘的每 8 O1 个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小 方格共边或共顶点,那么称这两个棋子相连。现从这 56 D B 个棋子中取出一些,使得棋盘上剩下的棋子,没有五个在 一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连。问最少取出多少个 棋子才可能满足要求?并说明理由。 三、(本题满分 50 分)设集合 P={1,2,3,4,5},对任意 k∈P 和正整数 m,记 f(m,k)= ? ? m
i ?1 5

O2 C

? ?

k ?1? ? ,其中[a]表示不 i ?1 ?

大于 a 的最大整数。求证:对任意正整数 n,存在 k∈P 和正 整数 m,使得 f(m,k)=n。

2007 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案
一、 (本题满分 50 分) 如图, 在锐角△ABC 中, AB<AC, A AD 是边 BC 上的高,P 是线段 AD 内一点。过 P 作 PE⊥AC,垂足为 E,作 PF⊥AB,垂足为 F。O1、O2 分 E 别是△BDF、△CDE 的外心。求证:O1、O2、E、F 四 F P 点共圆的充要条件为 P 是△ABC 的垂心。 证明: 连结 BP、 O1O2、 2、 FO1。 CP、 EO EF、 因为 PD⊥BC, O2 PF⊥AB,故 B、D、P、F 四点共圆,且 BP 为该圆的直 O1 径。又因为 O1 是△BDF 的外心,故 O1 在 BP 上且是 BP D B' C 的中点。同理可证 C、D、P、E 四点共圆,且 O2 是的 B CP 中点。综合以上知 O1O2∥BC,所以∠PO2O1=∠PCB。因为 AF· AB=AP· AD=AE· AC,所 以 B、C、E、F 四点共圆。 充分性:设 P 是△ABC 的垂心,由于 PE⊥AC,PF⊥AB,所以 B、O1、P、E 四点共线,C、 O2、P、F 四点共线,∠FO2O1=∠FCB=∠FEB=∠FEO1,故 O1、O2、E、F 四点共圆。 必要性:设 O1、O2、E、F 四点共圆,故∠O1O2E+∠EFO1=180° 。 由于∠PO2O1=∠PCB=∠ACB?∠ACP,又因为 O2 是直角△CEP 的斜边中点,也就是△CEP 的外心,所以∠PO2E=2∠ACP。因为 O1 是直角△BFP 的斜边中点,也就是△BFP 的外心, 从而∠PFO1=90°?∠BFO1=90°?∠ABP。因为 B、C、E、F 四点共圆,所以∠AFE=∠ACB, ∠PFE=90°?∠ACB。于是,由∠O1O2E+∠EFO1=180° 得 (∠ACB?∠ACP)+2∠ACP+(90°?∠ABP)+(90°?∠ACB)=180° ,即∠ABP=∠ACP。又因为 AB<AC,AD⊥BC,故 BD<CD。设 B'是点 B 关于直线 AD 的对称点,则 B'在线段 DC 上且 B'D=BD。连结 AB'、PB'。由对称性,有∠AB'P=∠ABP,从而∠AB'P=∠ACP,所以 A、P、 B'、C 四点共圆。由此可知∠PB'B=∠CAP=90°?∠ACB。因为∠PBC=∠PB'B, 故∠PBC+∠ACB=(90°?∠ACB)+∠ACB=90° ,故直线 BP 和 AC 垂直。由题设 P 在边 BC 的 高上,所以 P 是△ABC 的垂心。 二、(本题满分 50 分)如图,在 7× 的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。 8 如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点,那么称这两个棋子相连。现从这 56 个棋子中取 出一些,使得棋盘上剩下的棋子,没有五个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连。问 最少取出多少个棋子才可能满足要求?并说明理由。

解:最少要取出 11 个棋子,才可能满足要求。其原因如下: 如果一个方格在第 i 行第 j 列,则记这个方格为(i,j)。 第一步证明若任取 10 个棋子,则余下的棋子必有一个五子连 珠,即五个棋子在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连。 用反证法。假设可取出 10 个棋子,使余下的棋子没有一个五 子连珠。如图 1,在每一行的前五格中必须各取出一个棋子, 后三列的前五格中也必须各取出一个棋子。这样,10 个被取 出的棋子不会分布在右下角的阴影部分。同理,由对称性,也 不会分布在其他角上的阴影部分。第 1、2 行必在每行取出一 个,且只能分布在(1,4)、(1,5)、(2,4)、(2,5)这些方格。同理(6,4)、(6,5)、(7,4)、 (7,5)这些方格上至少要取出 2 个棋子。在第 1、2、3 列,每列至少要取出一个棋子,分布 在(3,1)、(3,2)、(3,3)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(5,1)、(5,2)、(5,3)所在区域,同理 (3,6)、(3,7)、(3,8)、(4,6)、(4,7)、(4,8)、(5,6)、(5,7)、(5,8)所在区域内至少取 出 3 个棋子。这样,在这些区域内至少已取出了 10 个棋子。因此,在中心阴影区域内不能 取出棋子。由于①、②、③、④这 4 个棋子至多被取出 2 个,从而,从斜的方向看必有五子 连珠了。矛盾。

图1 图2 第二步构造一种取法,共取走 11 个棋子,余下的棋子没有五子连珠。如图 2,只要取出有 标号位置的棋子,则余下的棋子不可能五子连珠。 综上所述,最少要取走 11 个棋子,才可能使得余下的棋子没有五子连珠。 三、(本题满分 50 分)设集合 P={1,2,3,4,5},对任意 k∈P 和正整数 m,记 f(m, ? ? m k)=
i ?1 5

? ?

k ?1? 其中[a]表示不大于 a 的最大整数。 求证: 对任意正整数 n, 存在 k∈P ?, i ?1 ?

和正整数 m,使得 f(m,k)=n。 证明:定义集合 A={ m k ? 1 |m∈N*,k∈P},其中 N*为正整数集。由于对任意 k、i∈P 且 k≠i,
k ?1 i ?1

是无理数,则对任意的 k1、k2∈P 和正整数 m1、m2, m 1 k 1 ? 1 ? m 2 k 2 ? 1 当

且仅当 m1=m2,k1=k2。由于 A 是一个无穷集,现将 A 中的元素按从小到大的顺序排成一个 无穷数列。对于任意的正整数 n,设此数列中第 n 项为 m k ? 1 。下面确定 n 与 m、k 的关 系。若 m 1 i ? 1 ? m k ? 1 ,则 m 1 ? m
? 满足这个条件的 m1 的个数为 ? m ?

k ?1 i ?1

。由 m1 是正整数可知,对 i=1,2,3,4,5,
k ?1? ? =f(m,k)。因此对任意 i ?1 ?

5 ? k ?1? ? 。从而 n= ? ? m i ?1 ? i ?1 ?

n∈N*,存在 m∈N*,k∈P,使得 f(m,k)=n。


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