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四川省成都七中2014届高三5月第三次周练数学(理)试题(含详细解答)


成都七中 2014 级考试数学试卷(理科)
命题人:刘在廷 审题人:周莉莉
B 的元素个数为(
6

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.) 1. 已知集合 A ? ?3,5,6,8? , B ? {4,5,7,8} ,则 A (A) 6 (B)
2



2 2 (C) 2 (D) 3 2 2. 已知命题 p : ?x0 ? R, x0 ? 2, 命题 q : ?x ? R, x ? x ,则( ) (A) 命题 p ? q 是假命题 (B)命题 p ? q 是真命题
(C)命题 p ? ?q 是假命题 (D) 命题 p ? ?q 是真命题 3. 已知 i 为虚数单位,则复数 a ? i (a ? R) 与 b ? i (b ? R) 的积是实数的充要条件是( (A) ab ? 1 (B) ab ? 1 ? 0 (C) a ? b ? 0 4.某四棱锥的三视图如图所示,记 A 为此棱锥所有棱的长度的 集合,则( ) 2 ? A (A) ,且 4 ? A (B) 2 ? A ,且 4 ? A (C) 2 ? A ,且 2 5 ? A (D) 2 ? A ,且 17 ? A 5. 国色天香的观览车的主架示意图如图所示,其中 O 为轮轴的 中 心 , 距 地 面 32m ( 即 OM 长 ) , 巨 轮 的 半 径 为 30m , 巨轮逆时针旋转且每 12 分钟转动一圈.若点 M AM ? BP ? 2 m, 为吊舱 P 的初始位置,经过 t 分钟,该吊舱 P 距离地面的高度为 h(t ) m,则 h (t ) =( )
1 1 正(主)视图 1 1 侧(左)视图 4



(D) a ? b

4

π π t ? ) ? 30 12 2 π π (C). 30sin( t ? ) ? 32 6 2
(A). 30sin(
2

(B). 30sin( t ? ) ? 30

π π 6 2 π π (D). 30sin( t ? ) 6 2

俯视图

B P O h A

x2 y 2 6.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于 a b A, B 两点,点 F 为抛物线与椭圆的公共焦点,且 A, B, F 共线
则该椭圆的离心率为( (A) 2 ? 1 ) (C) (B) 2( 2 ?1)

5 ?1 2 (D) 2 2

M

7.为贯彻落实 《四川省普通高中学分管理办法(试行)》 ,成都某中学的 4 名学生可从本年级开设的 3 门课程中选择,每个学生必须且只能选一门,且每门课必须有人选,则不同的选课方案有( )种 (A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72

2 x cos 2 x 8. 函数 f ( x ) ? 的图象大致为 ( 22 x ? 1

)

(A)

(B)

(C)

(D)

9. 已知 A, B, C 是平面上不共线的三点, 点 O 在 ? ABC 内, 且 OA ? 3OB ? 5OC ? 0 .若向 ? ABC 内(含边界)投一颗麦粒,则麦粒落在 ? AOB 内(含边界)的概率为( )

7 (A) 9

1 5 (C) (D) 3 9 10.若对任意一个三角形,其三边长为 a, b, c(a ? b ? c) ,且 a, b, c 都在函数 f ( x ) 的定义域内,若 f (a), f (b), f (c) 也 是 某 个 三 角 形 的 三 边 长 , 则 称 f ( x) 为 “ 保 三 角 形 函 数 ”。 若 M 的最大值为( 是保三角形函数。则 ) h( x)? s i n x ? x , (0 M , ) ? 3? 5 (A) (B) (C) ? (D) ? 4 2 6
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题答题卡上.) 11. 执行右图程序,当输入 68 时, 输出的结果是_________. 1 12.若 ( x2 ? )n (n ? N * ) 的展开式中只有第 4 项的二项 2x 3 式系数最大,则 x 的系数是_________(用数字作答). 13. 在 ? ABC 中,已知 AB ? 8, AC ? 5 , INPUT “F=”;F C=(F-32)*5/9 PRINT “C=”;C END

1 (B) 9

? ABC 的面积是 12,则 cos(2 B ? 2C ) 的值为________.

x2 y 2 14.已知椭圆 2 ? ? 1 (a ? 3) ,左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点, a 3 若 BF2 ? AF2 的最大值是 5 ,则 a 的值是_______.
15 . 若 OA, OB, OC 是 空 间 不 共 面 的 线 段 , 且 满 足 OA ? OB ? OC ? 1 , 二 面 角 B ? OA ? C, C ? OB ? A, A ? OC ? B 的大小分别为 ? , ? , ? ,以 O 为球心,半径为 r 作球面;给出 以下结论,其中正确的有__________;

sin a sin b sin c ? ? ; sin ? sin ? sin ? ②若 r ? 1 ,圆弧 AB 在点 A 处的切线 l1 与圆弧 CA 在点 A 处的切线 l2 的夹角为 ? ; ? ③若 ? ? ? ? ? ? ,球面与以 OA, OB, OC 为邻边所确定的平行六面体的所有表面的交线长度和为 2 3 f (r ) ,则 f (1) ? ? ; 2 ? ④若 ? ? ? ? ? ? ,球面与以 OA, OB, OC 为邻边所确定的平行六面体的所有表面的交线长度和为 2 f (r ) ,则 f (r ) ? a ? 0(a ? R) 的零点可能有 0 个,1 个,2 个,3 个,4 个。
①若 r ? 1 ,劣弧 BC , CA, AB 的长为 a, b, c ,则 三、 解答题(本大题共 6 小题.共 75 分. 16 ? 19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.) 3 2 1 16.已知数列 {an } ,其前 n 项和为 Sn ,点 (n, S n ) 在抛物线 y ? x ? x 上;各项都为正数的等比数 2 2 1 1 , b5 ? 列 {bn } 满足 b1b3 ? . 16 32 (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 Cn ? anbn ,求数列 {Cn } 的前 n 项和 Tn .

2

17. 在△ ABC 中, 角 A 、B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c , 且 为△ ABC 的面积) .

2 b 2 ? c2 ? a 8 ? S?ABC(其中 S?ABC 2 3

B?C ? cos 2 A ; 2 (Ⅱ)若 b ? 2 ,△ ABC 的面积为 3,求 a .
(Ⅰ)求 sin
2

18.成都某单位有车牌尾号为 3 的汽车 A 和尾号为 7 的汽车 B,两车分属于两个独立业务部门.对 一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计,在非限行日,A 车日出车频率 0.6,B 车日出车频率 0.5. 成都地区汽车限行规定如下: 车尾号 限行日 1和6 星期一 2和7 星期二 3和8 星期三 4和9 5和0 星期四 星期五

现将汽车日出车频率理解为日出车概率,且 A,B 两车出车相互独立. (Ⅰ)求该单位在星期一恰好出车一台的概率; (Ⅱ)设 X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和,求 X 的分布列及其数学期望 E(X).

19.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , AC ? BC , H 为 PC 的中点, M 为 AH 的 中点, PA ? AC ? 2 , BC ? 1 . (Ⅰ)求证: AH ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求 PM 与平面 AHB 成角的正弦值; (Ⅲ)设点 N 在线段 PB 上,且 求实数 ? 的值. P

PN ? ? , MN // 平面 ABC , PB
M A

H

C B

3

20.已知抛物线 x2 ? 8( y ? 8) 与 y 轴交点为 M ,动点 P, Q 在抛物线上滑动,且 MP ? MQ ? 0 (1)求 PQ 中点 R 的轨迹方程 W ; (2) 点 A, B, C , D 在 W 上,A, D 关于 y 轴对称, 过点 D 作切线 l , 且 BC 与 l 平行, 点 D 到 AB, AC 的距离为 d1 , d 2 ,且 d1 ? d2 ? 2 | AD | ,若 ?ABC 的面积 S ? 48 ,求点 A 的坐标 。

21.设函数 f ( x) ?

ln x , g ( x) ? x2 . 2 x

(1)求 f ( x) 的极大值; (2)求证: 12e ln n! ? (n2 ? n)(2n ? 1)(n ? N * )

a k ? 0(a ? R ? ) 有唯一解时,试探究函数 F ( x) ? x( x 2 f ?( x) ? k ) ? a ? (k ? R) 2e x 与 g ( x) 的图象在其公共点处是否存在公切线,若存在.研究 k 的值的个数;若不存在,请说明理由.
(3)当方程 f ( x) ?

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4

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成都七中 2014 级考试数学试卷(理科)(参考答案)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.) 1—5:ADCDB 6—10:ABDDC 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题答题卡上.) 11、20 12、 ? 5 13、 7 14、2 15、①③

三、 解答题(本大题共 6 小题.共 75 分. 16 ? 19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.) 16、解: (Ⅰ) Q S n ?

2

25

? 数列 ?an ? 是首项为 2,公差为 3 的等差数列,? an ? 3n ? 1 1 1 又 各项都为正数的等比数列 ?bn ? 满足 b1b3 ? , b5 ? 4 32 1 1 ? b2 ? b1q ? , b1q 4 ? 4 32 1 1 1 n 解得 b1 ? , q ? ,? bn ? ( ) ????????5 分 2 2 2 1 n (Ⅱ)由题得 cn ? (3n ? 1)( ) 2 1 1 1 1 ?Tn ? 2 ? ? 5 ? ( ) 2 ? ... ? (3n ? 4) ? ( ) n ?1 ? (3n ? 1) ? ( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 5 ? ( )3 ? ... ? (3n ? 4) ? ( ) n ? (3n ? 1) ? ( ) n ?1 2 2 2 2 2
①-②得

3 2 1 n ? n 2 2 n ? 1 当 时, a1 ? S1 ? 2 3 1 3 5 当n ? 2时,S n ?1 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? n 2 ? n ? 1 2 2 2 2 ? an ? S n ? S n ?1 ? 3n ? 1

① ②

1 1 1 ? 1 ? 1 Tn ? 1 ? 3 ?( )2 ? ( )3 ? L ? ( ) n ? ? (3n ? 1)( ) n?1 2 2 2 ? 2 ? 2
1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 2 ? 1? 3? 4 ? (3n ? 1) ? ( ) n ?1 1 2 1? 2

5 1 1 ? 3 ? ( ) n ? (3n ? 1) ? ( ) n ?1 2 2 2 3n ? 5 ?Tn ? 5 ? n ??????????????????12 分 2 2bc cos A 8 1 ? ? bc sin A 即 3 cos A ? 4 sin A ? 0 17、解析: (Ⅰ)由已知得 2 3 2 ?

5

? sin A ? cos A ?

3 5

4 5 B ? C 1 ? cos A cos A 1 sin 2 ? cos 2 A ? ? cos 2 A ? 2 cos 2 A ? ? 2 2 2 2 16 4 1 59 ? 2? ? ? ? ??????6 分 25 2 ? 5 2 50 1 3 S ? ABC ? bc s i n A ? 3, b ? 2 , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 5 2 ?c ? 5 又? a2 ? 62 ? c2 ? 2b cos A 4 ? a 2 ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 ? ? 13 5 ? a ? 13 ??????????????12 分 18、.解: (Ⅰ)设 A 车在星期 i 出车的事件为 Ai , B 车在星期 i 出车的事件为 Bi , i ? 1, 2,3, 4,5
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为 C , 因为 A, B 两车是否出车相互独立,且事件 A 1B 1, A 1B 1 互斥 所以 P(C) ? P( A 1B 1?A 1B 1 ) ? P( A 1B 1 ) ? P( A 1B 1 ) ? P( A 1 ) P( B 1 ) ? P( A 1 ) P( B 1) ? 0.6 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? 0.5 ? 0.5 所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为 0.5 . ????????5 分 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3

P( X ? 0) ? P( A1 B1 ) P( A2 ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.08 P( X ? 1) ? P(C)P( A2 ) ? P( A1 B1 )P( A2 ) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.32 P( X ? 2) ? P( A1B1 )P( A2 ) ? P(C)P( A2 ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.42 P( X ? 3) ? P( A1B1 ) P( A2 ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.18 所以 X 的的分布列为 0 1 2 3 X 0.08 0.32 0.42 0.18 P
E ( X ) ? 0 ? 0.08 ? 1? 0.32 ? 2 ? 0.42 ? 3 ? 0.18 ? 1.7 ??????12 分
19、 (Ⅰ)证明:因为 PA ? 底面 ABC , BC ? 底面 ABC , 所以 PA ? BC , 又因为 AC ? BC , PA AC ? A , 所以 BC ? 平面 PAC , 又因为 AH ? 平面 PAC , 所以 BC ? AH . 因为 PA ? AC, H 是 PC 中点, 所以 AH ? PC , 又因为 PC BC ? C , 所以 AH ? 平面 PBC . ??????????4 分 (Ⅱ)解:在平面 ABC 中,过点 A 作 AD // BC, 因为 BC ? 平面 PAC , 所以 AD ? 平面 PAC , 由 PA ? 底面 ABC ,得 PA , AC , AD 两两垂直, 所以以 A 为原点, AD , AC , AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(0, 0, 0) , P(0, 0, 2) , B(1, 2, 0) , C (0, 2,0) , H (0,1,1) , M (0, 设平面 AHB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

1 1 , ). 2 2

6

因为 AH ? (0,1,1) , AB ? (1, 2,0) , 由 ?

?n ? AH ? 0, ? ? ?n ? AB ? 0,

得 ?

? y ? z ? 0, ? x ? 2 y ? 0,

令 z ? 1 ,得 n ? (2, ?1,1) . 因为

1 3 PM ? (0, ,? ) , 2 2 1 3 2 ? 0 ? (?1) ? ? 1? (? ) PM ? n 2 2 , ? 所以 sin ? ? cos ? PM , n ? ? 5 PM ? n ? 6 2 2 15 即 sin ? ? ??????????8 分 15 (Ⅲ)解:因为 PB ? (1, 2, ?2) , PN ? ? PB , 所以 PN ? (?, 2?, ?2?) ,
设 PM 与平面 AHB 成角为 ? ,

1 3 1 3 所以 MN ? PN ? PM ? (? , 2? ? , ? 2? ) . 2 2 2 2 因为 MN // 平面 ABC ,平面 ABC 的法向量 AP ? (0,0, 2) ,
又因为 PM ? (0, , ? ) , 所以 MN ? AP ? 3 ? 4? ? 0 , 解得 ? ?

20、解: (1)显然直线 MP 的斜率存在且不为 0,设为 k ,设 PQ 的中点 R ( x, y )

3 . ????????????12 分 4

?直线 MP : y ? kx ? 8 与 x2 ? 8( y ? 8) 联立解得: P(8k ,8k 2 ? 8) 8 8 4 4 ? PQ 的中点 R(4k ? ,4k 2 ? 2 ? 8) 同理: Q(? , 2 ? 8) k k k k 4 ? x ? 4k ? ? ? k ?? , ?轨迹方程: x 2 ? 4 y ??????????6 分 4 ? y ? 4k 2 ? ? 8 ? k2 ? x2 x2 x2 x2 x2 x (2)由 y ? 得: y? ? ,设 D( x0 , 0 ), C ( x1 , 1 ), B ( x2 , 2 ) 则 A( ? x0 , 0 ) 4 4 4 4 4 2 1 1 ? kBC ? ( x1 ? x2 ) ? x0 , ? x1 ? x2 ? 2 x0 4 2 1 1 ? B(2 x0 ? x1 , (2 x0 ? x1 )2 ) ? k AC ? ( x1 ? x0 ) 4 4 1 又 k AB ? ( x0 ? x1 ) 则 k AC ? ?k AB 则 ?DAC ? ?DAB ? d1 ? d 2 4 又 d1 ? d2 ? 2 | AD | 则 ?DAC ? ?DAB ? 450 ? ?ABC 为直角三角形 1 1 设 AB : y ? x02 ? ?( x ? x0 ) 与抛物线联立得: B( x0 ? 4, ( x0 ? 4)2 ) 4 4 1 2 同理: C ( x0 ? 4, ( x0 ? 4) ) | 2 |0 x? 4 ? ? (0 x )?| 20 x | 2? ? | A B? 4 同理: | AC |? 2 | 2x0 ? 4 | 1 S ? | AB || AC |? 48 ,代入得: A(4,4)或(?4,4) ????????13 分 2
7

4|

21、解: (1) f ?( x) ?

x
f ?( x) f ( x)

x ? 2x ln x 1 ? 2ln x ? . 由 f ?( x) ? 0 得 x ? e , x4 x3 (0, e ) ( e , ??) e ? ? 0
递增 极大值 递减

从而 f ( x) 在 (0, e ) 单调递增,在 ( e , ??) 单调递减.

f ( x)极大 ? f ( e ) ?
(2)证明:

1 . ????????????????????4 分 2e 1 1 l nx 1 f ( x)极大 ? f ( e ) ? . ? f ( x) ? ? 2 ? 2e 2e x 2e

1 2 2 ? 2e l nx? x ????????????6 分 x 2e 2 ? 2e ln1 ? 12 , 2e ln 2 ? 22 , 2e l nn? n 分别令 x ? 1, 2,3, , n ?2e(ln1 ? ln 2 ? ln3 ? ? ln n) ? 12 ? 22 ? 32 ? ? n2 n(n ? 1)(2n ? 1) ?2e ln n! ? 6 ?12e ln n! ? (n2 ? n)(2n ? 1)(n ? N * ) ????????9 分 a ?a ?1 ? 0(a ? R ? ) 有唯一解 (3)解:由(1)的结论:方程 f ( x) ? 2e k 1 2 函数 F ( x) ? x( x f ?( x) ? k ) ? a ? ? k ( x ? ) ? 2 ln x x x 假设 F ( x), g ( x) 的图象在其公共点 ( x0 , y0 ) 处存在公切线, ?ln x ?

kx 2 ? 2 x ? k 由 F ?( x0 ) ? g ?( x0 ) 得: , g ?( x) ? 2 x x2 kx0 2 ? 2 x0 ? k ? 2 x0 ,即: 2x03 ? kx02 ? 2x0 ? k ? 0 2 x0 k ?( x02 ? 1)(2 x0 ? k ) ? 0, ? x0 ? 又函数的定义域为: (0, ??) 2 k 当 k ? 0 时, x0 ? ? (0, ??) ?函数 F ( x) 与 g ( x) 的图象在其公共点处不存在公切线; 2 k2 ? 8 k k2 k k2 k k ? ln ( k ? 0) ? 2ln ? 2 ? 当 k ? 0 时,令 F ( ) ? g ( ), 即: 即: 8 2 2 2 4 2 2 F ?( x) ?
k2 ?8 k ? ln 在 (0, ??) 解的个数 8 2 x2 ? 8 x 1 1 x2 ? 4 ? ln ( x ? 0) ? ?( x) ? x ? ? 令: ? ( x) ? 8 2 4 x 4x 1 ? ( x) 在 (0, 2) 递减, (2, ??) 递增; 且 ? (2) ? ? ? 0 2 且当 x ? 0,? ( x) ? ?? ; 当 x ? ??,? ( x) ? ?? ?? ( x) 在 (0, ??) 有两个零点
下面研究方程

k2 ?8 k ? ln 在 (0, ??) 解的个数为 2 8 2 k ? 0 综上:当 时,函数 F ( x) 与 g ( x) 的图象在其公共点处不存在公切线; 当 k ? 0 时,符合题意的 k 的值有 2 个????????????????14 分

?方程

8

9


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