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高三数 学 试 卷


高三数 学 试 卷(理)
(本试卷满分 150 分,答卷时间 120 分钟) 一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 。 k 1 k 1 1. 设集合 M ? {x | x ? ? , k ? Z }, N ? {x | x ? ? , k ? Z } 则(B 2 2 4 2
A. M ? N C. M ? N B. M ? N D. M ? N ? ?





2. 命题“若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0且b ? 0 ”的逆否命题是( D A.若 a ? b ? 0, 则a ? 0且b ? 0
2 2 2 2 2 2

B.若 a ? b ? 0, 则a ? 0或b ? 0
2 2

C.若则 a ? 0且b ? 0, 则a ? b ? 0 D.若 a ? 0或b ? 0, 则a ? b ? 0

3.已知 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? a x ? | log a x | 的零点个数为(A ) A.2 B.3 C.4 D.2 或 3 或 4
4.已知 tan(? ?

?

1 ? sin 2? ? 2 cos 2 ? ) ? ? ,且 ? ? ? ? ,则 等于( A ) ? 4 2 2 sin(? ? ) 4
B. ?

A. ?

2 5 5

3 5 10

C.

2 5 5

D.

3 10 10

2 3 2 3 5 2 5 2 5 ( ( ( 4.设 a ? ),b ? ),c ? ) ,则 a, b,c 的大小关系是( 5 5 5

D )

A.b>c>a B.a>b>c C.c>a>b D.a>c>b x 5.设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b ( b 为常 数) , 则 f (?1) ? ( D ) A.3 B. 1 C.-1 D.-3 6.设曲线 y ? (C ) A.2
3 2 x ?1 在点 (3, 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? 2) x ?1

B.

1 2
3 2

C. ?2 C. (?1, ]
3 2

D. ? )

1 2

7.函数 y ? ln(4 ? 3x ? x 2 ) 的单调递减区间是(D A. (??, ] B. [ , ??)

D. [ , 4)

3 2

7. 为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? A. 向左平移 个单位

? ?

?? ? 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象( C 6?
B. 向右平移 个单位



C. 向右平移

个单位

D. 向左平移

个单位

8.由直线 x ? ,x=2,曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积为( A A. 2ln 2 B. ln 2
1 2

1 2

1 x



C.
2

15 4
2

D.

17 4

9. 设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x +y ≥4”的( A) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 10.已知函数 f ( x) ? A. B. B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件 ,若| |≥ C. [?2,1] ,则 的取值范围是( D. [?2, 0] D)

12.已知定义在 R 上的偶函数 f (x)在[0,+∞]上是增函数,不等式 f (ax + 1)≤f (x –2) 对 任意 x∈[

1 ,1]恒成立,则实数 a 的取值范围是(B 2
B. [–2,0] C. [–5,1]

) D. [–2,1]

A. [–3,–1]

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13.幂函数 f ( x) ? (m 2 ? m ? 1) x m ? m?3 在 (0, ??) 上为增函数,则 m ? ___________.
2

14.函数 f(x)=-x4+2x2+3 的最大值为



15.已知函数 y ? log 1 (3x 2 ? ax ? 5) 在[-1,+ ∞)上是减函数,则 a 的取值范围
2



. .

2sin2x+1 π 16、设 x∈?0, ?,则函数 y= 的最小值为 sin 2x 2? ? 17. (本小题满分 12 分)

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 设命题 p:函数 f(x)=lg(ax -4x+a)的定义域为 R;命题 q:不等式 2x +x>2+ax,对
2 2

? x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的
取值范围.

18.(本题满分 12 分)已知 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ,

(1)如果对一切 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x ?[?3,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? a ln x(a ? R) 2

(1)若 a ? 2, 求f ( x)的单调区间和极值。 (2)若函数 f ( x) 在 ?1, ? ? ? 上是增函数,求 a 的取值范围 20、设向量 a=(4cosα ,sinα ),b=(sinβ ,4cosβ ),c=(cosβ ,-4sinβ ). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α +β )的值; (2)求|b+c|的最大值;

21.(本题 12 分)已知向量 a =(sinx, cosx),向量 b =(cosx, sinx),x?R,函数

f(x)= a ( a + b ). (1)求函数 f(x)的最大值、最小值与最小正周期;
3 成立的 x 的取值范围. 2 22.(本小题满分 12 分)

(2)求使不等式 f(x)≥

已知函数 f ( x ) ?

2 ? aLnx ? 2(a ? 0) . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2)记 g ( x) ? f ( x) ? x ? b (b ? R) .当 a ? 1 时,函数 g ( x) 在区间 [e ?1 , e] 上 有两个零点,求实数 b 的取值范围. 高三数学试题答案 一、 选择题 二 填空题 13. 2

15、(-8,6] 16. 3 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. 解:p:?<0 且 a>0,故 a>2; q:a>2x-2/x+1,对 ? x∈(-∞,-1),上恒成立,增函数(2x-2/x+1)<1 此时 x=-1,故 a≥1 “p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,等价于 p,q 一真一假.故 1≤a≤2 18.解:(1) ? ? 4(a ? 2) ? 16 ? 0 ? 0 ? a ? 4 ;
2

14. 4

(2) ?

? ?(a ? 2) ? ?3 ??3 ? ?(a ? 2) ? 1 ??(a ? 2) ? 1 或? 或? , ? f (?3) ? 0 ?? ? 0 ? f (1) ? 0 1 1 解得 a ? ? 或 1 ? a ? 4 或 ? ? a ? 1 ,∴ a 的取值范围为 ( ? , 4) . 2 2

19、 (1)当 x∈(0,√2)时, f'(x)<0,f(x)是减函数 当 x∈(√2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)是增函数 当 x=√2 是 f (x) 是极小值点,f (√2)=1-ln√2 ] 无极大值点 (2)a≤1

20.解、(1)因为 a 与 b-2c 垂直,所以 a·(b-2c)=a·b-2a·c=0. 所以 4sin(α +β )-8cos(α +β )=0,所以 tan(α +β )=2. (2)由条件得,b+c=(sinβ +cosβ ,4cosβ -4sinβ ). 2 2 2 2 2 所以|b + c| =sin β +2sinβ cosβ +cos β +16cos β -32cosβ sinβ +16sin β = 17-30sinβ cosβ =17-15sin2β . 又 17-15sin2β 的最大值为 32, 所以|b+c|的最大值为 4 2.
[来源:Z,xx,k.Com]

21.(本小题满分 12 分) .(1) 向量 a =(sinx, cosx),向量 b =(cosx, sinx),x?R,

f(x)= a ( a + b )= a + a ? b =1+2sinxcosx=1+sin2x.
函数 f(x)的最大值为 2,最小值为 0,最小正周期为?; (2)由 f(x)≥
1 , 2 ? 5? 即 2k?+ ≤2x≤2k?+ , 6 6 ? 5? 即 k?+ ≤x≤k?+ ,k?Z. 12 12

2

3 得: 2

sin2x≥

22.(本小题满分 12 分) 解 : ( I ) 直 线 y ? x ? 2 的 斜 率 为 1 . 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 (0, ??) , 2 a 2 a f ?( x) ? ? 2 ? , 所 以 f ?(1) ? ? 2 ? ? ?1 , 所 以 a ? 1 . 所 以 1 1 x x 2 f ( x) ? ? ln x ? 2 .分 x x?2 f ?( x) ? 2 .由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 2 ;由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 2 . x 所以 f ( x) 的单调增区间是 (2, ??) ,单调减区间是 (0, 2) .
x2 ? x ? 2 2 .由 g ?( x) ? 0 解 ? ln x ? x ? 2 ? b ,则 g ?( x) ? x2 x 得 x ? 1 ;由 g ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 1 . 所以函数 g ( x) 在区间 (0, 1) 为减函数,在区间 (1, ? ?) 为增函数.

(II)依题得 g ( x) ?

? g (e?1 ) ≥ 0, ? 又因为函数 g ( x) 在区间 [e ?1 , e] 上有两个零点,所以 ? g (e) ≥ 0, ? g (1) ? 0. ? 2 2 解得 1 ? b ≤ ? e ? 1 .所以 b 的取值范围是 (1, ? e ? 1] . e e
23. (本题满分 12 分) 设函数 f(x)= f ( x) ? a ? b ,其中向量 a =(2cosx ,1), b =(cosx,,2 3 sinxcosx+m). (1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间; (2)当 x ? [0,

?
6

] 时,有﹣4≤ f(x)≤4 恒成立,求实数 m 的取值范围.

? 5 24、 (本小题满分 12 分)已知 sin( ? x) ?
4

13

,0 ? x ?

?
4





cos 2 x cos( ? x) 4

?

的值。

? 5 24. (本小题满分 12 分)解:∵ sin( ? x) ?
4

13

? ? 5 ?? ? cos? ? ( ? x)? ? sin( ? x) ? 4 4 13 ?2 ?



? ? ? ? ? 5 ∵0 ? x ? ∴ ? x ? ? 从而 sin( ? ? x) ? 12 ,而 cos( ? x) ? 4 13 4 4 4 2 4 13
? ?? ? 12 5 12 5 120 cos 2 x ? cos ?( ? x) ? ( ? x) ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? 13 13 13 13 169



120 24 ? 169 ? ? 5 13 cos( ? x) 4 13 cos 2 x

法 2
原式 ?

? cos x ? sin x ?? cos x ? sin x ? ?
2 ? cos x ? sin x ? 2

?? ?= 2cos ? ? x ? ?4 ?

24 13

25、 (本小题满分 12 分)若定义域为 R 的函数 f ( x) ?

? 2x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

(1)求 a ,b 的值; (2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

25 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 解 (
f (0) ? 0,即 ?1? b ? 0, 解得b ? 1 2?a

(1)

因 为 f (x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 所 以

x 从而有 f ( x) ? ? 2 ? 1 . 又由 f (1) ? ? f (?1)知 ? 2 ? 1 ? ? ? 2 ? 1 ,解得 a ? 2 x ?1

1

2

?a

4?a

1? a

(2) 由 解: (1) f ( x) ? ? 2 ? 1 ? ? 1 ? 知 x ?1
x

1 又因 f (x) , 由上式易知 f (x) 在 R 上为减函数, 2x ?1 是奇函数,从而不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 ,等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (?2t 2 ? k ). 2 ?2 2

因 f (x) 是 R 上的减函数,由上式推得 t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? k. 即对一切 t ? R有3t 2 ? 2t ? k ? 0, 从而 ? ? 4 ? 12 k ? 0, 解得k ? ? 1
3
x?3

26、 (本小题满分 12 分)已知 p : x ? 2 ? 0 , q : x ? 2 ? a ? a ? 0 ? , 若 q 是 ?p 的必要 不充分条件,求实数 a 的取值范围。

26. (本小题满分 12 分解:由已知得, p : x ? ?3 或 x ? 2 ,从而,

?p : ?3 ? x ? 2 ,
? 2?a ? 2

q : 2 ? a ? x ? 2 ? a ,又由已知得, ?p 是 q 的充分不必要条件,所以, ?2 ? a ? ?3 ? a ? 5 ?


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